Gimnasio Fontana José Luis Zamora Docente de Matemáticas.

1. DERIVADAS Parte I Gimnasio Fontana José Luis Zamora Docente de Matemáticas. Tomado de Miriam Benhayón (UNIMED) y Marcos sandoval (UNIANDES) Complementos : Joseluis Zamora.

2. CONCEPTOS • RECTAS TANGENTES A UNA CURVA f(x) • LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

3. RECTAS TANGENTES/ DERIVADAS ¿Cómo se halla la tangente a una curva? Descartes (Siglo XVII) “El problema de hallar la tangente a una curva es no sólo el problema más útil y más general que conozco, sino que pudiera desear conocer....”

4. f(x) y f(b) f(a) x a b m = f(b)-f(a) b-a RECTA SECANTE A UNA CURVA

5. f(x) y f(a) a x m =??????? Solo tenemos un solo punto… RECTA TANGENTE A UNA CURVA Recta tangente a la curva f(x) en el punto x=a

6. f(x) y f(a+h) f(a) a+h a x RECTA TANGENTE A UNA CURVA Donde h tiende a cero...

7. PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO x=a f ’(a) Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en el punto x=a

8. PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO X CUALQUIERA f ’(x) Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en un punto x cualquiera perteneciente al dominio de f(x)

9. DERIVADA La pendiente de la recta tangente a una curva f(x) en un punto de su dominio

10. NOTACIÓN

11. TANGENTE VERTICAL (asíntota vertical) Si una curva f(x) posee una tangente vertical en x=a de su dominio, entonces se cumple:

12. TANGENTE HORIZANTAL (Asíntota horizontal) Si la derivada es nula en un punto de un intervalo (mtan=0), f(x) presentará una tangente horizontal en ese punto. Si f´(c) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=c

13. ECUACIÓN DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO X=a ejercicio Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábloa y=x2 en el punto (-2,4)

14. y=f(x) c x CONSIDERACIÓN f(x) es continua en x=c pero no es derivable en ese punto. Ninguna función es derivable ni en sus picos ni en sus esquinas y mucho menos en sus discontinuidades

15. TEOREMA Si f(x) es derivable o diferenciable en x=a, entonces es continua en ese punto NOTA: el recíproco NO es cierto!

16. REGLAS DE DERIVACIÓN • SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN NECESIDAD DE HALLAR EL LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0…. • Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.

17. REGLAS DE DERIVACIÓN Derivada de una función de la forma f(x)=xn

18. REGLAS DE DERIVACIÓN Regla del múltiplo constante K ,de la forma: g(x) = K . f(x)

19. REGLAS DE DERIVACIÓN Regla del producto de funciones: Ejemplo:f(x)=x3cos(x) F(x)=ex.tanx

20. REGLAS DE DERIVACIÓN Regla del cociente de funciones: Ejemplos: f(x)=x3 / cos(x) F(x)=3ex/(tanx-2)

21. REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

22. PROBLEMA 6 Aplique las reglas de derivación para hallar f ´ :

23. PROBLEMA 6 -RESPUESTAS

24. PROBLEMA 9 Un problema interesante… Dada f(x) y las condiciones que se indican, encuentre f’(4)

25. REGLA GENERAL REGLA DE LA CADENA Sea una función compuesta: f(g(x)) cualquiera entonces: ( f (g(x)) )´= f´(g(x)). g´(x) Regla para derivar funciones compuestas

26. REGLA GENERAL Consideremos el siguiente cociente de funciones Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la cadena tenemos que

27. REGLA de la CADENA Ejemplo Sea La función puede escribirse también de la siguiente forma: y

28. REGLA de la CADENA Consideremos la ecuación de la circunferencia: f(x) Cuyagráficaes : x f(x) f(x)

29. REGLA de la CADENA

30. REGLA de la CADENA y Derivación Implícita.

31. EJEMPLOS DERIVACION IMPLICITA 1. 2. 3. 4.

32. 6.

33. REFLEXIONES m=0 En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa. m>0 m<0 m<0 En los puntos de máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0) m=0