Рекурсия

1. Рекурсия « Я оглянулся посмотреть, не оглянулась ли она, чтоб посмотреть, не оглянулся ли я...» М. Леонидов

2. Примеры рекурсий • Матрешка • Зеркало в зеркале • Телевизор в телевизоре • Задача о Ханойских башнях • Лингвистические рекурсии: • У попа была собака… • Дом, который построил Джек… • (Р. Бернс)

4. Рекурсивной называют процедуру или функцию, внутри которой происходит обращение самой к себе, но с другими параметрами. Это прямая рекурсия.

5. Косвенной называется рекурсия, когда две или более процедуры или функции вызывают друг друга.Пример косвенного вызова процедуры или функции: процедура A вызывает процедуруB, а процедура B вызывает процедуру A

6. Структура описания рекурсивных процедур (функций) имеет следующий вид: <действия на входе в рекурсию>; if <условие>then <действия выхода из рекурсии> else <вызов процедуры (функции) с другими параметрами>

7. Рекурсия должна иметь условие завершения, в ней должна быть не рекурсивная ветвь.В качестве <условие> выступают граничные случаи параметров, при которых результат работы рекурсии известен. Это условие завершения процесса вхождения в рекурсию.

8. Механизм работы рекурсии 1.Со входом в рекурсию осуществляется вызов процедур (функций), а для выхода необходимо помнить, откуда пришли, т.е помнить точки возврата (адреса). 2. Место хранения точек возврата называется стеком вызова и для него отводится определенная область оперативной памяти.

9. Механизм работы рекурсии 3. Встеке запоминаются также значения всех локальных переменных, т.е. создается копия параметров процедур (функций). 4. Стек ограничен! Возможно его переполнение – это главный недостаток рекурсии!

10. Вычисление факториала N!0!=1!=12!=2=1!*2=1*23!=2!*3=1!*2*3=1*2*3/………………………..N!= 1*2*3*4*….*n function fact(n:byte):longint; begin If (n=0)or (n=1) then fact:=1 else fact:=fact(n-1)*n; end;

11. Работа рекурсивной функции для n=3 1. n=3 Fuction fact(3); begin fact:=3*fact(2); end; 2. n=2 Fuction fact(2); begin fact:=2*fact(1); end; 3. n=1 Fuction fact(1); begin fact:=1; end;

12. Процедура ввода с клавиатуры последовательности чисел (окончание ввода - 0) и вывода ее на экран в обратном порядке. procedure solve; var n:integer; begin readln(n); if n<>0 then solve; write (n:5); end;

13. Работа рекурсивной функции для n=3 1. n=3 procedure solve; var n:integer; begin readln(3); if 3<>0 then solve; write (n:5); end; 2. n=2 procedure solve; var n:integer; begin readln(2); if 2<>0 then solve; write (n:5); end; 3. n=0 procedure solve; var n:integer; begin readln(0); {if 0<>0 then solve;} write (n:5); end;

14. Поиск n-ного числа Фибоначи (1,1,2,3,5,8,….) Function fib (n:integer):integer; begin If n<=2 then fib:=1 else fib:=fib(n-1)+fib(n-2); End;

15. Работа рекурсивной функции для n=3 1. n=3 Function fib (3); begin If 3<=2 then fib:=1 else fib:=fib(2)+fib(1); End; 2. n=2 Function fib (2); begin If 2<=2 then fib:=1; End;

16. Найти сумму n членов арифметической прогрессии(первый член – а, разность – d) Function sa (n,a:integer):integer; begin If n>0 then sa:=a+sa(n-1,a+d) else sa:=0; End;

17. Работа рекурсивной функции для n=3 1. n=3 Function sa(3,a); begin If 3>0 then sa:=a+sa(2,a+d); End; 2. n=2 Function sa (2,a+d); begin If 2>0 then sa:=(a+d)+sa(1,a+2*d); End; 3. n=1 Function sa (1,a+2*d); begin If 1>0 then sa:=(a+2*d)+sa(0,a+d); End; 4. n=0 Function sa (0,a+d); begin sa:=0; End;

18. Процедура, определяющая минимум среди элементов массива а • a- глобальная переменная; • n – размерность массива; • если n>=2, то минимум среди a[n] и минимума изпервых n-1 элементов массива • если n=1, то минимум равен a[1]

19. Procedure a_min(n:integer; var x:integer); begin if n=1 then x:=a[1] else begin a_min(n-1,x); if a[n]<x then x:=a[n]; end; end;

20. Работа процедуры для массива из 4-х чисел с элементами 3,1,-2,4 Прямой порядок • a_min(4,x);n<>1 • a_min(3,x); n<>1 • a_min(2,x); n<>1 • a_min(1,x);n=1; x:=a[1]=3; Обратный порядок • n=2; a[2]<x; x:=a[2]=1; • n=3; a[3]<x; x:=a[3]=-2; • n=4; a[4]<x; x:=a[3]=-2;

21. Домашнее задание: • Для приведенных примеров прорисуйте схемы работы процедур (функций) для конкретных входных данных (не оченьбольших!, иначе глубина рекурсии будет очень большой) • Найти максимальный элемент в глобальном одномерном массиве А.

22. Функция подсчета в строке суммы цифр function f(s:string):integer; var x,c,k:integer; begin n:=length(s); if n=0 then f:=0 else begin val(s[n],x,c); k:=0;if c=0 then k:=x; s:=copy(s,1,n-1); f:=f(s)+k end; end;

23. Процедура удаления из строки всех точек procedure f(s:string); begin if length(s)>0 then begin s:=copy(s,1,length(s)-1);f(s) end; if s[length(s)]<>'.' then write(s[length(s)]); end;

24. Фракталом называется множество, части которого являются повторением образа самого множества.

25. В данном рисунке 2 уровня, на каждом из которых большая окружность окружена четырьмя окружностями поменьше, каждая из меньших в свою очередь окружена еще меньшими окружностями и т.д. Алгоритм построения будет заключаться в следующем: • Написать процедуру изображения одной окружности с четырьмя окружностями поменьше • Использовать эту процедуру с другими параметрами для построения окружностей следующего уровня

26. Для построения каждого уровня необходимо знать расстояние от центра большой окружности до малой и радиус малой окружности. rm, rб, ro- радиус малой окружности, радиус большой окружности и радиус орбиты (т.е. расстояние от центра большой окружности до малой) соответственно. • k1= rm / rб, k2= ro / rб. Задав значения k1, k2 можно на каждом уровне вычислять расстояние от центра большой окружности до малой и радиус малой окружности. • Формальными параметрами процедуры являются: х, у - координаты центра большой окружности данного уровня, г - радиус большой окружности данного уровня, г1 - радиус орбиты, n - номер уровня. При каждом вызове процедуры номер уровня уменьшается на 1 и выход из рекурсии осуществляетсяприn=0.

27. uses graph; var x, y, n, r, r1, gd, gm: integer; k1,k2:real; procedure picture2(x,y,r,r1,n:integer); var x1,y1, i: integer; begin if n>0 then begin circle(x,y,r); r1:=trunc(r*k2); for i:=1 to 4 do begin x1 :=trunc(x+r1 *cos(pi/2*i)); y1 :=trunc(y+r1 *sin(pi/2*i)); picture2(x1,y1, trunc(r*k1),r1,n-1); end; end; end; begin x:=300; y:=200; k1:=0.3; k2:=2; readln(n); readln(r); Gd :=detect; InitGraph(Gd, Gm,’ ‘); picture2(x,y,r,r1,n); Readln; closegraph; end.

28. Написать программу построения следующего изображения: • В треугольнике проведены три средние линии. В результате он разбивается на 4 новых треугольника. В каждом треугольнике, кроме центрального, опять проводятся средние линии и т.д.

29. uses graph; var xa, xb, xc, ya, yb, yc, n, gd, gm,r: integer; procedure triangle(xa,ya,xb,yb,xc,yc,n:integer); var xp, xq, xr, yp, yq, yr: integer; begin if n>0 then begin{высчитываются координаты средних линий треугольников} xp:=(xb+xc) div 2; yp:=(yb+yc) div 2; xq:=(xa+xc) div 2; yq:=(ya+yc) div 2; xr:=(xb+xa) div 2; yr:=(yb+ya) div 2; {рисуемсредниелиниитреугольника} line(xp,yp,xq,yq); line(xq,yq,xr,yr); line(xp,yp,xr,yr); {рекурсивно вызываем алгоритм для новых треугольников} triangle(xa,ya,xr,yr,xq,yq,n-1); triangle(xb,yb,xp,yp,xr,yr,n-1); triangle(xc,yc,xq,yq,xp,yp,n-1); end; end;

30. begin xc;=300; yc:=0; xb:=600; yb:=400; xa:=0; ya:=400; readln(n); Gd := Detect; lnitGraph(Gd, Grn, ‘’); line(xa,ya,xb,yb); line(xb,yb,xc,yc); line(xa,ya,xc,yc); triangle(xa,ya,xb,yb,xc,yc,n); readln; closegraph; end.

31. Дан линейный массив чисел, записать его в обратном порядке. var A:array [1..10] of integer; procedure invertItem(N1, M1:integer); begin t := A[N1]; A[N1] := A[M1] A[M1] := t inc(N1); dec(M1); if N1 < M1 then invertItem(N1, M1) end; invertItem(1, 10);

32. Дан массив, напишите рекурсивную программу для вычисления суммы 1/a[i] function summa(n: integer): real; var S: real; begin if n = 0 then summa:=0 else begin S:=summa(n-1); summa:=S+1/a[n]; end; end; Или function s(r:integer):integer; begin inc(i); if i<=10 then begin v:=v+r; s:=s(a[i]); end; end;

33. алгоритм вычисления суммы элементов массива • function Summa(k:byte;x:Mas):integer; begin if k=0 then Summa:=0 else Summa:=x[k]+Summa(k-1,x) {если массив пуст, сумма=0, иначе к предыдущей сумме добавляем значение текущего элемента} end;