第三章恒定电流的电场和磁场

第三章恒定电流的电场和磁场 §3.1 恒定电流的电场 分类：传导电流与运流电流传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流。运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。

设垂直通过ΔS 的电流为ΔI，则该点处的电流密度为一、电流分布 1、（体）电流密度

电流密度与流过任意面积S的电流强度 I 的关系：载流导体内每一点都有一个电流密度，构成一个矢量场，称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做电流线。通过面积 S 的电流等于电流密度在 S 上的通量

设垂直通过ΔL的电流为ΔI，则该点处的电流密度 为 2、（面）电流密度

二、电流连续性方程 在电流场中有一闭合曲面S，由电荷守恒定律电流连续性方程

要该积分对任意的体积V均成立，必须有被积函数为零要该积分对任意的体积V均成立，必须有被积函数为零电流连续性方程微分形式电流连续性方程积分形式

若电荷分布恒定，即 恒定电场的电流连续性方程

三、欧姆定律的微分形式电功率密度 一段载流I导体，端电压为U，电阻为R，由欧姆定律欧姆定律微分形式

电导率为无限大的导体称为理想导电体。在理想导电体中，无需电场推动即可形成电流，所以在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。电导率为无限大的导体称为理想导电体。在理想导电体中，无需电场推动即可形成电流，所以在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。理想介质内无电流存在。电导率不为零的媒质，具有导电能力，这种媒质称为导电介质。

媒质 电导率(S/m) 媒质电导率(S/m) 表常用材料的电导率银海水 4 紫铜淡水金干土铝变压器油黄铜玻璃铁橡胶

按电导率对介质的分类 理想导体理想介质（绝缘介质）导电媒质与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。

运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同。可以证明运流电流的电流密度与运动速度 的关系为式中  为电荷密度。

焦耳定律电功率密度 当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电场力对电荷所作的功——电功率在导体中，沿电流线方向取一长度为ΔL、截面为ΔS的体积元，该体积元内消耗的功率为

载流导体内任一点的热功率密度为 焦耳定律的微分形式焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶格碰撞的热能。

积分形式 微分形式本构关系四、恒定电流场的基本方程电位方程载流导电媒质中恒定电场的基本方程（不包括电源）

电位及电位方程 对于均匀的导电媒质恒定电场的电位满足拉普拉斯方程

y U t (r,) 当角度时，电位。 r 当角度时，电位。  0 x 0 a b 例设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之间的电阻。解选用圆柱坐标系。设两个端面之间的电位差为U，且令由于导电媒质中的电位 仅与角度有关，电位满足的方程式为此式的通解为

利用给定的边界条件，求得 导电媒质中的电流密度 J 为由的端面流进该导电媒质的电流 I为该导电块的两个端面之间的电阻 R 为

五、恒定电流场的边界条件 由积分形式可得恒定电流场中不同导电媒质分界面的边界条件

即恒定电流场的边界条件为恒定电流场中不同导电媒质分界面两侧的电场强度切向分量连续，但其法向分量不连续；而电流密度的法向分量连续，但其切向分量不连续。

应用边界条件，可得分界面处的折射定理 在恒定电场中，分界面处用电位表示的边界条件为

讨论： • 两种导电媒质当一种导电媒质为不良导体，另一种导电媒质为良导体，若电导率，如同轴线的内外导体通常由电导率很高(107数量级)的铜或铝制成，填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质, 总有很小的漏电导存在，如聚乙烯的电导率为 10 -10数量级，由

当σ1>>σ2，第一种媒质为良导体时，第二种媒质为不良导体时， 只要θ1≠π/2, θ2≈0，即在不良导体中，电力线近似地与界面垂直，这时可将良导体的表面近似地看作等位面。

2）理想介质与良导体

可知E2不垂直导体表面, 导体表面不是等位面, 导体也不是等位体, 这是由于σ1有限, 导体中沿电流方向存在电场。而在静电场中, 导体内电场强度为零, 介质中的场强总是垂直导体表面, 导体是等位体, 其表面是等位面。在这一点, 恒定电场与静电场有根本的区别。由上知，在均匀导体内电流沿平行于导体表面流动。

4）载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在4）载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在即，载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在，电荷分布在载流导体的表面。

4）有电流流过两种导电媒质分界面时界面的电荷4）有电流流过两种导电媒质分界面时界面的电荷当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。

当时， 分界面上的面电荷密度为零。分界面上的面电荷密度可见,在两种导电媒质分界面上一般有一层自由电荷分布。如果导电媒质不均匀, 在媒质中还会有体电荷的存在。

六、恒定电流场与静电场的比拟

静电场 恒定电场物理量的对偶关系

因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟法。因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟法。静电比拟法的理论依据：解的唯一性定理可利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。

例如，已知面积为 S ，间距为 d的平板电容器的电容，若填充的非理想介质的电导率为  ，则极板间的漏电导为又如单位长度内同轴线的电容；若同轴线填充介质具有的电导率为  ，则单位长度内同轴线的漏电导利用两种场方程，可求两个电极间的电阻及电导与电容的关系为若已知两电极之间的电容，由上述两式可求得两电极间的电阻及电导。

第三章恒定电流的电场和磁场 1、真空中恒定磁场的基本方程 2、矢量磁位 3、磁偶极子 4、磁介质中的基本方程 5、不同磁介质分界面的边界条件 6、标量磁位 7、互感和自感 8、磁场能量 9、虚位移法求磁场力

§3.2~ §3.3 恒定磁场的基本方程 1、电流产生磁场的规律安培力的实验定律指出：在真空中载有电流I 1的回路C1上任一线元对另一载有电流I2的回路C2上任一线元的作用力为

电流元受的作用实际是电流元 产生的磁场对它的作用, 即电流元在电流元处产生的磁场为上式就是熟知的毕——萨定律

叠加原理 若电流是具有体分布的电流，则为积分公式若电流是具有面分布的电流，则为积分公式对于整个线电流产生的磁感应强度为

2、磁场的几何描述——磁感线 磁感应强度可用一系列有向曲线来表示。曲线上某点的切线方向为磁感应强度矢量的方向，这些曲线称为磁感线（磁力线）。磁场线的矢量方程为

3、恒定磁场的基本方程 1）磁通连续性原理（磁场的高斯定理）以线电流的磁场为例，求一闭合曲面的磁通量

故上式可写为 由矢量恒定式

上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度是一个无源(指散度源)场。磁通连续性原理（磁场的高斯定理）由于上式中积分区域V是任意的，所以对空间的各点，有

2）安培环路定理 其中的电流I为穿过以闭合曲线C为边界的曲面上电流的代数和，即电流与闭合曲线相交链。

因上式的积分区域S是任意的，因而有 上式是安培环路定理的微分形式，它说明磁场的涡旋源是电流。

真空中恒定磁场的基本方程 积分形式微分形式

定义： 为矢量磁位(简称磁矢位)，其单位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韦伯/米)。矢量磁位是一个辅助量。 §3.4 矢量磁位  1、定义某点磁感应强度 B 等于该点矢量磁位A 的旋度。

因为仅仅规定了磁矢位 的旋度，由亥姆霍兹定理知：还必须规定其散度，否则不唯一，如：若有一矢量满足，另一矢量（是一个任意标量函数），和是两个不同的矢量函数。、具有相同的旋度，说明不唯一，应规定其散度。关于矢量磁位说明： 1）对于磁矢位散度的规定

规定（库仑规定） 2）磁通的计算可通过矢量磁位计算 C是曲面S的边界线。

由关于散度的规定 2、矢量磁位方程使用矢量恒等式

对于无电流分布的区域( )，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程关于磁场的求解问题，可归结为求解磁矢位的泊松方程或拉普拉斯方程的边界问题磁矢位的泊松方程

每一个分量方程都是一个二阶的偏微分方程。 对于球坐标和圆柱坐标，其表达式不是这样简单。在直角坐标系中其分量方程为

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