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第二章 逻辑和证明

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第二章 逻辑和证明. 2.7 小结 数理逻辑的基本思想:逻辑推理机械(演算)化 数理逻辑的基本方法:符号化 两个层次的符号化:命题公式、一阶谓词公式 数理逻辑只关心命题和推理的结构(框架)、形式,不关心命题的具体含义. 2.7.1 命题逻辑 数理逻辑的基本元素 --- 命题 符号化:用字母表示原子命题 比较:命题变量与代数变量、命题符号与常量符号、具体命题与具体数值 命题的真值:命题的真假, T ( 1 )或 F ( 0 ) 复合命题的符号化:使用联结词连接多个命题,命题公式 五种联结词的符号化: ,,,, (注意优先级)

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第二章 逻辑和证明

2.7小结

数理逻辑的基本思想:逻辑推理机械(演算)化

数理逻辑的基本方法:符号化

两个层次的符号化:命题公式、一阶谓词公式

数理逻辑只关心命题和推理的结构(框架)、形式,不关心命题的具体含义

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2.7.1命题逻辑
  • 数理逻辑的基本元素---命题

符号化:用字母表示原子命题

比较:命题变量与代数变量、命题符号与常量符号、具体命题与具体数值

  • 命题的真值:命题的真假,T(1)或F(0)
  • 复合命题的符号化:使用联结词连接多个命题,命题公式
  • 五种联结词的符号化:,,,,(注意优先级)
  • 命题公式:表示了命题的组成结构,但不是命题,数理逻辑不关心具体的命题

比较:命题公式与代数公式

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真值表:给出命题真值之间的关系

代数公式的数值表?

  • 永真公式、永假公式、可能公式

代数公式的相应物?

  • 命题公式的逻辑等价

14组基本等价式,与集合的恒等式做比较

对偶原理

命题等值演算

比较:命题公式的等价与代数公式的相等、命题等值演算与代数演算

  • 主析取范式和主合取范式:真值表求法
  • 命题符号化过程:找出原子命题,用适当的联结词联结起来
  • 命题逻辑的局限
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2.7.2一阶谓词
  • 原子命题(陈述句)进一步分解为两个组成成分:主语和谓语

“命题函数”进一步分解为两个组成成分:变量和谓词

变量:某个对象,谓词:对象的性质或相互之间的关系

  • 谓词:论域到{T,F}的函数

符号化:大写字母

  • 全称判断和特称判断的符号化:全称量词、存在量词

  • 全称判断和特称判断的含义和真假性判断
  • 谓词公式:含谓词、变量、量词的公式

进一步深入地表示出原子命题的组成结构,把不同的原子命题关联起来

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谓词公式的逻辑等价

命题公式的等价模式在谓词公式中都成立

有关量词顺序

xyP(x,y) yxP(x,y)

xyP(x,y) yxP(x,y)

xyP(x,y)≠ yxP(x,y)

有关量词的否定

xP(x) xP(x)

xP(x) xP(x)

有关变量名

xBB(B不含自由的x)

xBB

xA(x) yA(y)(A(x)不含y)

xA(x) yA(y)

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(接上页)有关量词作用域 :
  • 前束范式
  • 一阶谓词符号化:全称量化使用蕴涵式、存在量化使用合取式
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2.7.3推理
  • 推理、正确的推理
  • 数理逻辑只关心推理的形式(框架)
  • 正确的推理对应一个永真的蕴涵公式

  • 定理:公理 定理成立
  • 证明:满足一定条件的公式的序列
  • 常用推理规则
  • 各种证明方法的符号表示和验证
  • 两种数学归纳法和良序性
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2.7.4递归定义
  • 函数和集合的递归定义
  • 归纳证明
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