第三章极小值原理及应用

第三章极小值原理及应用 经典变分法缺陷： 1、应用前提：a 、控制量 u(t)的取值不受任何限制，没有任何不等式约束。 b 、 f、L、等函数对其自变量有充分可微性。 2、实际控制要求：，i=1,2,3…… a 、控制量u受不等式约束，如： b 、性能指标有时并不完全可微

如：燃料最优控制： 若采用经典变分：

若采用经典变分法： 不再适用，求不出解来极小值原理实际应为若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值原理与经典变分法，所得结论一致。

一、<定理>极小值原理：[时变系统] 为容许控制时变受控系统，其中控制向量，域， U(t)是在内取值的任何分段连续函数，为使状态向量由初始，转移到末端满足约束：，未定，并使性能指标达为最优状态轨到极小值。设和是如上J为最小的最优解，线，则必存在不为0的n维向量，满足: 2、边界条件： 1、规范方程：

3、与 对应的哈密顿函数H取极小值。即:设为满足状态方程和协状态方程的最优解。在中。把H仅看作U的函数，若J为最小，必要条件为使得仅看作U的函数时也取最小值。极小值原理的证明：应用数学基础较多，有些书中用很大篇幅进行证明，省略。二、极小值原理的意义： 1 、容许控制条件放宽且即使U不受限制，变分法：在整个控制域，对U没有约束有时计算不易。极小值原理：H在U的约束闭集中取极小值。变分法仅为极小值原理的一个特例。

使哈密顿函数H取极小值，极小值原理由此得名。使哈密顿函数H取极小值，极小值原理由此得名。 2、最优控制这一原理是苏联学者 “庞特里亚金”等人首先提出，而后加以证明得。在证明过程中：与H得符号与这里所定义的相反。 ∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。一般:对于实际系统有最优解有唯一解最优解

三、几种边界条件得讨论： 已知。受约束，自由的最一般上面所讨论的是和情况。若和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件即可。 1）已知，边界条件为： 2) 给定，未给定，自由，确定边界条件： 3) 已知，给定,末端受约束边界条件为: 若自由:外加:

四、例题分析:设一阶系统状态方程： x(0)=5 控制约束: 试求使性能指标: 为极小值的最优控制及最优性能指标解:定常系统, 固定,末端自由问题根据极小值原理,使H绝对极小相当于使J为极小所以由协状态方程:

由横截条件: 显然:当时，产生切换所以

由x(0)=5代入,得 所以令t=0.307可得0.307≤t≤1时x(t)的初始条件: 解得所以将代入J可得:

例2: 0 求 a)对U没有约束 b) |u| 解:a)

解得: b) |u| 由极小值原理: 当t=1时在[0,1]区间所以

五、极小值原理中哈密顿函数H的性质讨论 用途：对于所求解的最优控制的验证，或帮助求解最优控制及 1、线性定常系统：固定，包括则: 常数。 H中不显函t} { • (与末端状态无关) 自由，沿最优控制轨线：（与末端状态无关）常数因为中不显函t所以又因为自由,

2、对于时变系统： 固定: 证明：见胡寿松P91页，末端自由: 若末端自由:

第四节最小值原理在实际中的应用 几个典型例子： 1.时间最优控制问题 2.最小燃料消耗问题 3.最小能量控制问题 4.线性调节问题 • 介绍重点： • 时间最优控制问题（其他求解思想与此类似）

一、时间最优控制问题 所谓时间最优控制，就是把系统从初始状态转移到目标状态的时间作为性能指标，即使转移时间为最短。这也是发展得最早的最优控制问题之一。

1、问题提出（时变系统） 已知受控系统并设 f和 B对X(t)和t 连续可微。 X：n×1 状态向量 u： r×1 控制向量 f ：n×1 函数向量 B：n×r 函数值矩阵控制向量约束条件: 末端状态： g：p ×1维函数向量目标函数： : 自由问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态，目标函数J 为最小

应用最小值原理进行问题的求解 ⑵由控制方程求u*(t) ∵u有约束， ∴H在u*上取得极小值，即：令 q:r ×1维向量函数 [注： ] 步骤： ⑴列写哈密顿函数

则有： j=1，2…r 最优控制u*(t)是使为极小，则：＋１ u*(t) +1 －１奇异 t -1 不定可见：当时，有确定值，正常情况当时，不定，奇异情况

⑶根据规范方程： 及初始条件和横截条件：可求得x*(t)及我们仅研究正常情况 u*(t)写成符号函数sgn{}形式则 j=1，2…r 向量形式：u*(t)=-sgn{q*(t)} =-sgn{ }

⑷求最优控制u*(t) →砰一砰控制 2、砰一砰控制定理：要求控制量始终为最大或最小设u*(t)是上述问题提出的解，x*(t), 是相应的状态轨线和协状态轨线。若问题正常(非奇异)，则这是一个继电器控制方式，称为砰一砰控制

3、线性定常系统的最小时间控制问题的解法：3、线性定常系统的最小时间控制问题的解法： ⑴如何确定最优控制u*(t) 设线性定常系统的状态方程为：其中，X：n ×1维状态向量 u：控制变量 A，B分别为n ×n，n ×1矩阵约束条件：　　　　　　　　末端条件：求　　　，使系统状态从　　　　转移到　　　　　　所用时间最短，即使　　　　　　为最小

⑵问题的求解 ①首先列写哈密顿函数： ②根据极小值原理分析可得：注：为标量函数，题意要求 ③有规范方程：

代入　　　得： 　　可见，　　的值完全由　的符号决定　　但是，　的确定是不容易的。因为它还和系统的状态变量有关系。通常采用的方法是：先设一个　，求出　　，求出　　，判定若为０，则　　即为所求；否则修正　　重复上述过程

⑶开关次数定理： 设线性系统是正常的（不存在非奇异问题），若矩阵A的特征值均为实数，假定时间最优控制存在，并令其为则u*(t)的切换次数最多不超过（n-1）次，n为系统的维数。以下将根据极小值定理，开关次数定理及相平于状态空间分析，求u* 例题分析1：时间最优控制问题求u*(t)

解：对象为二阶线性系统[双积分模型的时间最优控制]（应用最普通最广泛的一种）解：对象为二阶线性系统[双积分模型的时间最优控制]（应用最普通最广泛的一种）由规范方程：则

由 C1，C2的取值要求：保证由开关次数定理知：切换一次，设切换时间为ts，则令为了求出ts，必须首先找出状态在平面上的转移轨线。 ts tf

由设u=1，则 X2 则： s t 0 p 其中如图(a)所示，为一组抛物线，当K=0时经过原点[pos]

若u=-1，则 X2 N o X1 T u=-1 为一组抛物线，如图(b)，当K1=0时过原点[NOT]

显然：若 初始状态在NO或在PO上，可进一步转移到目标原点，称NOP为开关曲线由题意假设它落在u=-1相应抛物线组中的一条上，即AQB，这时在u=-1的作用下，状态由沿AQB 转移到B，进行切换，B位于PO上，一步可到达原点。 X2 N u=-1 A[1,1] o X1 u=+1 B p

因此，问题的解为: ①先以u=-1控制到达Po曲线上的B点 ②以u=+1沿开关曲线Po到达原点从初始状态到达末端状态的轨迹为AQBO，即 u*= 进而，可求出转移时间ts及最优时间把状态轨线控制序列分成若干段，逐步算出所需时间，最后相加。求及ts 在AQB段,u=-1, 切换次数为1 -1,+1 到达B点：t=ts,

BO段：u=+1， 当时，，则在B点应有：联立求解：即：

例题分析2：二阶积分系统的最小时间控制系统例题分析2：二阶积分系统的最小时间控制系统最小时间控制问题：求u*(t),使系统由初态转移到末端状态的时间为最小，且满足解：⑴列写哈密顿函数： ⑵求解协状态方程设，则：

⑶确定控制序列： 显然，由⑵知，为一条直线，其形式有可能为4种 +1 -1 -1 u u u u 因此，u相应的控制序列为：{-1}，{+1，-1}， {-1，+1} {+1}

⑷状态轨线： 由⑶知，u有4种可能的取值，其值为±1，代入状态方程：注：

利用上式，消去中间变量t，可导出x1和x2的关系为：利用上式，消去中间变量t，可导出x1和x2的关系为：其在X1，X2平面上为一组抛物线如图：u=+1为实 u=-1为虚 X2 A X1 u=-1 u=+1 B

⑸确定开关曲线：使系统状态直接回到末端状态的曲线AO和BO⑸确定开关曲线：使系统状态直接回到末端状态的曲线AO和BO 总的开关曲线：AOB 显然： X2 A O X1 u=-1 AOB将状态平面分为两部分和 B 显然：

⑹确定最优控制作用u* u*与初始状态有关分析： ①若位于BO上，则u*= +1； ②若位于AO上，则u*= -1； ③若位于内，则u*=[ -1，+1]； ④若位于内，则u*=[ +1，-1]； ③④在开关曲线上为转折点

例3：升降机的快速降落问题： 设有一升降机W，它的质量为1，升降机一方面受重力g的作用，另一方面受控制器的作用力u(t)的作用，且（M＞g是常数）设x(t)为升降机离开地面的距离，当t= 时， [离地面距离] [垂直运动速度 ] 问题：求u*（t）,使升降机最快的到达地面，并且到达地面时的速度为零。即： u 最小，自由 W X(t) g

解：建立升降机系统的数学模型，F=ma 即：令：即：哈密顿函数：显然，为了使H为最小，则即：不确定

协状态方程：即： 常数相应于的4种可能，u*的取值有4种可能 {+M}，{-M}，{+M,-M}，{-M，+M} 因此，下面只研究u=±M时升降机的状态轨线设u=M，则状态方程为： …① …② ①/②：是一组抛物线，图中实线箭头表示状态运动的方向在此族曲线中，只有到达原点，

设u=-M，同理可得： 如图虚线所示只有到达原点，开关曲线 r将相平面分为两部分，在r下半部的记为，包括在r上半部的记位，包括 ∵u*只取+M或-M，切换最多一次，因此可得到结论：〈ⅰ〉初始状态在上，状态沿回原点

〈ⅱ〉当在曲线上时， 状态沿回原点〈ⅲ〉当时，沿相应的虚线抛物线运动到时，沿回到原点。马上切换〈ⅳ〉当时，，沿相应的实抛物线运动到时，马上切换，沿回到原点。总之：

对于实际问题升降机的分析： 它在地面之上，∴ ，处于相平面的右半部分，且设 a〉若，而时状态沿实抛物线运动与轴交于N ，这意味着升降机到达地面时，速度不为0，不合要求。 <b> 当即开始以最大推力向下最用，使升降机尽快下降。当其状态检测到达时，马上改变控制，使它以的最大推力向上作用，这样升降机将以速度0到达地面。 N

从上例可以看出：快速最优控制有如下特点： <ⅰ > u*要么最大，要么最小。 < ⅱ> u*的取值经过有限的（n-1）次（可为最多次）数切换可到达平衡点。 < ⅲ > u*的取值仅在开管曲线上切换。注意：时间最优控制的应用中，有些实际问题并不要求将相点控制到状态空间原点，而是到某一集合，其分析方法与上类似（若二阶系统为一般的二阶系统，特征值为实数时，分析方法类似；为复数或纯虚数时，开关次数定理不成立，问题较为复杂，如无阻尼振荡二阶系统。

二、燃料最优控制问题 节约能源，减少燃料消耗在国民经济各部门中都是一项重要的技术经济课题。在航空和宇航中使用的原料是由地面起飞时带到空间去的。在空中携带的燃料是有限的，要保证长时间的飞行计划，就希望空中的控制系统消耗的燃料最小，而燃料的消耗一般是和控制力u的大小成正比的。U有正有负。因袭燃料消耗的性能指标：也可以以升降机系统分析，只是相应于时间最优控制，要求到达地于所用时间最小，相应于燃料最优控制，要求达到目的地时所用燃料最小

1、数学描述[以二阶级分模型的燃料最优控制为例]1、数学描述[以二阶级分模型的燃料最优控制为例] 系统：约束：要求：系统从初始状态转移到（0，0）使最小，给定。解：应用极小值原理

正常：仅在有限个点上 奇异：至少在一段时间[t1，t2]间隔内正常：u*可取+1，-1，0随着t增大，u*在三个值上切换，是一种三位控制{开关控制}。奇异：不能用极小值，死区函数。为使Ｈ为最小，则使　　　　为最小分析：①若ｕ＝＋１，则　　　　　　　　若使Ｈ最小，则　　　②若ｕ＝－１，则　　　　若使Ｈ最小，则　　　③若

由： +1 和相应的最优控制　　之间的关系： -1 +1 -1 +1 显然，燃料最优控制也是开关式控制，控制器应为一个具有死区的继电器。 -1 +1 ta tb tf -1

和　的计标 当　　　时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　相平面上一组抛物线［实线］相平面上一组抛物线［虚线］当　　　时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　当　　　时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

第三章 极小值原理及应用