§1.4 向量和矩阵范数

1. 定义1：Rn空间的向量范数 || · || ,对任意 满足下列条件 对任意 常用向量范数： n v  n = 2 v || x || | x |  = || x || | x | 2 i = 1 i 1 i v = 1 i = || x || max | x |  i   1 i n §1.4 向量和矩阵范数  向量范数 ( vector norms )

2. 性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖ 性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数. 范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在 常数 C1、C2> 0 使得 ,则称 ‖·‖A 和‖·‖B等价。 定理1.4.1 Rn上一切范数都等价。 主要性质 性质1:‖-x‖=‖x‖

3. 定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，…., 又设x*＝（x1*，x2*，…，xn*)Ｔ是Rn上的向量. 如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…，n成立， 那么,称向量x*是向量序列｛xk｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的. 定理1.4.2 对任意一种向量范数‖·‖而言，向量 序列｛xk｝收敛于向量x*的充分必要条件是

4. 定义3:对任意 ,称|| · || 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| · ||满足(1)-(3)： 对任意 若还满足(4),称为相容的矩阵范数 (4) || AB ||  || A || · || B ||  矩阵范数 ( matrix norms )

5. 证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数. 证明：设 从而 例5: 设A＝(aij)∈M. 定义

6. 设A∈M，‖A‖是矩阵范数,x∈Rn，‖x‖是 向量范数.如果满足不等式: ‖Ax‖≤‖A‖‖x‖ 则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容. 相容性 （1）矩阵范数与矩阵范数的相容:‖AB‖≤‖A‖‖B‖ （2）矩阵范数与向量范数

7. Frobenius范数: (向量|| · ||2的直接推广) 可以证明,对方阵 和 有: ， 算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数: 由向量范数 || · ||p 导出关于矩阵A Rnn的 p 范数: 利用Cauchy 不等式 可证（例6）。 则 常用的算子范数： （行和范数） （列和范数） （谱范数 ( spectral norm )）

8. 定理1.4.6 对任意算子范数 || · || 有: 证明： 由算子范数的相容性，得到 将任意一个特征根  所对应的特征向量 代入 命题(P26，推论1） 若A对称，则有: 证明： 若 是 A的一个特征根，则2 必是 A2的特征根。 对某个A的特征根 成立 又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A) 为非负实数， 故得证。 A对称 所以2-范数亦称为谱范数。

9. 若矩阵 A对某个算子范数满足 ||A|| < 1，则必有 可逆； ①. ②. ① 若不然，则 有非零解，即存在非零向量 使得 定理1.4.4 证明：  ②

10.  设 A精确， 有误差　 ，得到的解为 ，即 又 §1.5 线性方程组的性态（误差分析） ( Error Analysis for Linear system of Equations ) 思考:求解 时, A和 的误差对解有何影响？ 绝对误差放大因子 相对误差放大因子

11. 是关键 的误差放大因子，称为 A的状态数(条件数)， 记为cond (A) ,  设 精确，A有误差 　 ，得到的解为 ，即 (只要 A充分小，使得

12. 注:cond (A) 与 所取的范数有关 常用条件数有： cond (A)1 =‖A‖1 ‖ ‖1 cond (A) =‖A‖‖ ‖ 特别地，若 A 对称，则 cond (A)2

13. 例：Hilbert 阵 cond (H2) = 27 cond (H3)  748 cond (H6) = 2.9  106 注：现在用Matlab数学软件可以很方便求矩阵的状态数! 定义2:设线性方程组的系数矩阵是非奇异的,如果 cond(A)越大,就称这个方程组越病态.反之,cond(A) 越小,就称这个方程组越良态.