The History of the Fast Fourier Transform

1. The History of the Fast Fourier Transform 翟旭平 整理 2009.6

2. The application of DFT • Discrete Fourier Transform (DFT) 离散傅立叶变换 • 特点：获取频谱、频率成分，以及使离散卷积和相关计算更容易。 • Applications • Spectral analysis信号频谱分析 • Data compression数据压缩 • Partial differential equations计算偏微分方程 • Polynomial multiplication多项式乘积 Joseph Fourier (1768 –1830)

3. FFT的提出 DFT最大的缺陷：计算复杂度太大 • Fast Fourier Transform (FFT) • 是一种高效地计算DFT的方法。 军事上，工程上都需要这种高效性。 J. W. Cooley and J. W. Tukey, An algorithm for machine calculation of complex Fourier series,1965 FFT开始大规模应用于数字信号处理，数值分析等领域 比较：使用DFT计算需要N2次计算，而使用FFT仅仅需要N*logN。 • For example: In 1969, the 2048 point analysis of a seismic trace took 13 ½ hours. Using the FFT, the same task on the same machine took 2.4 seconds!

4. 高效计算DFT的根源 H. H. GOLDSTINE,1977 A History of Numerical Analysis from the16th Through the 19thCentury， 考究高效计算DFT的根源可追溯到： • CARL FRIEDRICH GAUSS, 提出了一种类似于FFT的快速计算傅立叶级数系数的算法，1805年。 但当时没有公开出版，只是在手稿中发现。 比人们之前了解的，提出高效傅立叶级数计算的时间提早100多年。

5. 高斯理论的背景（一） LEONHARD EULER (1707--1783) 历史上最伟大的数学家之一。 欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种 参数的表达式的人，例如：y = f(x)。 他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。 给出了一个用实变量函数表示傅立叶级数系数的方程； 用三角级数来描述离散声音在弹性媒介中传播， 发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。

6. 高斯理论的背景（二） • Joseph Louis Lagrange（1736 –1813 ） 法国籍意大利裔数学家和天文学家 著名的拉格朗日中值定理 拉格朗日力学等 值得一提的是，欧拉十分看重这位数学家 他主要关注于轨道力学的计算与检测， 使用内插理论来判断行星轨迹。 内插是数学领域数值分析中的通过已知的 离散数据求未知数据的过程或方法。

7. An interpolation approach to orbit determination使用内插法检测行星轨道 • 一个偶数周期的函数f(x)，可以用有限的三角级数描述为 • 问题是要从N的值求出系数{ak} 解决：令f(x)等于在横坐标{xn}上观察到的值， 那么系数{ak}可以通过观察到的f(x)的DFT求得。

8. 关于Gauss Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855) A German mathematician and scientist who contributed significantly to many fields, including number theory（数学理论） statistics（统计学）, analysis（解析学), differential geometry（微分几何学）, geodesy(大地测量学）, electrostatics（静电学）, astronomy（天文学） and optics（光学）. 1+2+…+100的故事 Gauss的作品不是很多，因为对出版十分慎重。也就是他所追求的“few, but ripe”。 其实这些手稿里面含有许多重要的发现，包括高效的傅立叶变换计算等。 Mathematical historian Eric Temple Bell estimated that hadGauss timely published all of his discoveries, Gauss would have advanced mathematics by fifty years.

9. The research of Gauss • 在某种情况下，天文学计算（也是现在FFT应用的领域之一）与等距观察的有限集中的行星轨道的内插值有关。 • 由于当时计算都是靠手工，所以产生一种快速算法的迫切需要。 而且，更少的计算量同时也代表着错误的机会更少， 正确性更高。 • 高斯发现，一个富氏级数有宽度N=N1*N2，可以分成几个部分。计算N2子样本DFT的N1长度和N1子样本DFT的N2长度。

10. Dating of Gauss' Work on the FFT Theoria

11. G. C. Danielson and Cornelius Lanczos Some Improvements in Practical Fourier Analysis and their Application to X-ray Scattering from Liquids (1942). • X-ray晶体学，也是当今FFT应用的一个重要领域。 • 他们提出的Doubling Trick显示，怎样通过额外计算，将2N点的DFT减少为N点的2个DFT。计算N点的DFT需要的时间大致为0.37*NlogN，时间大大节省。 • 举例来说，10分钟计算8个系数，25分钟16个系数。

12. FFT的正式提出 • 直到1965年，Cooley和Tukey在《计算机科学 》发表著名的《机器计算傅立叶级数的一种算法》论文，FFT才开始大规模应用。 • 那个年代，有个肯尼迪总统科学咨询委员会。其中有项研究主题是，对苏联核测试进行检测，Tukey就是其中一员。 • 美国/苏联核测试提案的批准，主要取决于不实地访问核测试设施而做出检测的方法的发展。 • 其中一个想法是，分析离海岸的地震计情况，这种计算需要快速算法来计算DFT。其它应用是国家安全，如用声学探测远距离的核潜艇。 • 所以在军事上，迫切需要一种快速的傅立叶变换算法， 这也促进了FFT的正式提出。

13. FFT的继续改进 之后，桑德（G.Sand）-图基等快速算法相继出现，几经改进，很快形成了一套高效运算方法，这就是现在的快速傅立叶变换（FFT）。这种算法使DFT的运算效率提高1到2个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了良好的条件，大大推进了数学信号处理技术。1984年，法国的杜哈梅（P.Dohamel）和霍尔曼（H.Hollamann）提出的分裂基块快速算法，使运算效率进一步提高。 Advanced FFT is still developing…

14. Principal Discoveries of Efficient Methods of Computing the DFT（部分）

15. Thank You !