第 3 章続 振動 講義

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2. などのように 振り子、ブランコ 振動 例えば、 ばね、 同じ変化を繰り返す現象 を振動という 振幅 中心を基準にした振動の幅 振動 ここで、振動についていくつかの 重要な概念を導入しよう 振幅 呼吸 歩く 震え 痙攣 眼振 心拍 ここで、振動についていくつかの 重要な概念を導入しよう 繊毛運動 声帯 聴覚器 目 1

3. などのように 振り子、ブランコ 振動 例えば、 ばね、 同じ変化を繰り返す現象 を振動という 振幅 中心を基準にした振動の幅 周期 周期 繰り返しの1回分の時間 0.2s 1s 例えば左の時計が 1周で1sとすると 1回 この振動の周期は 0.2s 時間 わかりやすくするため、 時計の動きを実際より 遅くして表示しています 振幅 ここで、振動についていくつかの 重要な概念を導入しよう 目 1

4. などのように 振り子、ブランコ 振動 例えば、 ばね、 1s 時間 同じ変化を繰り返す現象 を振動という 振幅 中心を基準にした振動の幅 周期 周期 繰り返しの1回分の時間 0.2s 1s 例えば左の時計が 1周で1sとすると 1回 この振動の周期は 0.2s 時間 振動数 単位時間当りの振動回数 1s当り なので 例えばこの振動の振動数は 5 = 振動数 5 /s Hz /s 振動数の単位は = Hz (ヘルツ) 0.2s 回数 これらの定義から 周期 × 振動数 = 1 /s 4 2 5 3 1 ここで、振動についていくつかの 重要な概念を導入しよう 周期 振動数 T T = 1 を 、 をとすると f f 振動数 目 0.2s × 5/s = 1 この例では 1

5. 振動のグラフ 時間tを横軸に、変位xを縦軸にとりグラフを書く x t 単振動 x=Asin(wt+f0) (w, f0は定数) とくに と表されるとき この振動を単振動という。 振幅 A 周期をTとすると wT =2p ∴ T = 2p / w 振動数 f = = w / 2p 1/T 目 w =2pf を角振動数、 f0を初期位相という 2

6. ばね振子 目 3

7. ばね振子 変位x, 質量m, ばね定数 弾性力　 加速度a, 時間tとする。 2回微分すると 自分に比例する 運動方程式　 釣合い の位置 解く　 x=Asin(wt+f0)　とおく (A, w, f0:定数) w 速度 v = Acos(wt+f0) 微分 微分 -w Asin(wt+f0) ∴ 2 = - Asin(wt+f0) ∴ w2Asin(wt+f0) -k m = mw2 k ∴ ある瞬間 の位置 ∴解は w x= Asin(wt+f0) m k 2 ばね振子の運動は単振動である。 m k 周期 2p 振動数 目 k 2p m 3

8. 単振子　 長さl の糸でつるした質量mのおもり 支点の真下を原点とし経路の円弧に そって座標xをとる。 / 振れ角q = x l 糸の張力Tは経路に垂直なので、 q l 力の経路方向成分は重力の成分のみで となる。 - = ( ) x /l mg sin q -mg sin sin q mg 加速度の経路方向成分をaとする。 x 0 運動方程式(経路方向成分) q ma= -mg sin (x /l) g q が小さいとき sinq≒q ∴ x a = - l とすればばね振子と同じ式 単振動 目 周期 T = x= Asin(wt+f0) 4

9. その他の振動 減衰振動 抵抗力があるとき　 振幅が次第に減少 強制力があるとき　 強制振動 外から加えた振動数で振動 強制振動の振動数が固有振動数に一致すると 共鳴　(共振) 振幅が非常に大きくなる レーザー 時計 MRI チューニング 聴覚 発声 視覚 等々 目 合成振動 色々な振動の重ね合わせ 5

10. 「第3章続　振動」要点 x 0 s 振動 周期 単位 振動数 Hz 単位 周期,振動数の関係 周期×振動数=1 ばね振子 変位x, 質量m, ばね定数 運動方程式　 x= 解 Asin(wt+f0) A:振幅, f0:初期位相 単振動 周期 T = 減衰振動 強制振動 共鳴　(共振) 単振子　 運動方程式　 ma= -mg sin (x /l) 振れ角小さい時 a= -g x /l 目 x= Asin(wt+f0) 周期 T = 6

11. 例題 　　　　おもりの質量m=1.6kg, ばね定数k=40N/mのばね振子がある。ばねをb=10cm伸ばし、その位置から静かに放した。時間をt、おもりの座標をxとし、ばねの伸びる方向を正とし、自然長のときx=0,放した瞬間をt=0とする。重力はない。 • (1) 運動方程式を書き、解を求めよ(文字式で)。 • (2) 初めて最高点に達する時間を求めよ。 • (3) 3.0秒後のおもりの位置を求めよ。 • 運動方程式 • ma=-kx 解(1)加速度をaとする。 x= A,w,f0は定数。 Asin(wt+f0)とおく。 =A(sinwtcosf0+coswtsinf0) b coswt t=0のとき x=bなので x= A=b, f0=p/2として a= -bcoswt v= 加速度は 速度は -b sinwt 運動方程式に代入すると x= よって解は bcoswt となる。ただし

12. m=1.6kg k=40N/m b=10cm b coswt x= 解 • (2) 初めて最高点に達する時間を求めよ。 求める時間は周期Tの半分なので T/2=p /w =3.14/(5.0/s) = 0.628s 答 • 0.63s (3) 3.0秒後のおもりの位置を求めよ。 = (10cm)cos(5.0/s×3.0s) b coswt x= 答 -7.6cm = (10cm)cos(15rad) = (10cm)(-0.76) = 電卓を使うときは角度の単位に注意。 (radで表した数値)=(度で表した数値)×p /180

13. 第3章続　振動　講義　終り 目