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六、网络演算

六、网络演算. 引言. Motivations 在交换式网络实时通信中，服务规程是交换式节点调度的基础，然而，它们细致的限定了各节点的行为，并对于每个 flow 保证其性能，属于特殊的处理方法 … 更广义地，考虑流和服务的关系，及其与性能的关系。 —— 性能评价 需求！ 网络演算不关心这些规程是如何出现的，而是关心这些规程下（或其它规程），对特定通信任务的时间性能的影响。. 历史. [Cruz 1991] IEEE Trans. on Information 确定性排队论 Cruz R L , Le Boudec J Y, Chang C-S…

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六、网络演算

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  1. 六、网络演算

  2. 引言 • Motivations • 在交换式网络实时通信中，服务规程是交换式节点调度的基础，然而，它们细致的限定了各节点的行为，并对于每个flow保证其性能，属于特殊的处理方法… • 更广义地，考虑流和服务的关系，及其与性能的关系。——性能评价需求！ • 网络演算不关心这些规程是如何出现的，而是关心这些规程下（或其它规程），对特定通信任务的时间性能的影响。

  3. 历史 • [Cruz 1991] • IEEE Trans. on Information • 确定性排队论 • Cruz R L , Le Boudec J Y, Chang C-S… • 将离散事件动态系统中的异构代数工具引进 • 随机网络演算 • 利用大偏离原理

  4. 提纲 • 引言——网络演算的概念与历史 • 基本的网络演算方法 • 网络演算与min-plus代数 • *随机网络演算 • *共轭网络演算

  5. 引言 基本的网络演算方法 网络演算与min-plus代数 *随机网络演算 六、网络演算 2013

  6. 基本的网络演算方法 • [Cruz 1991] • 分组交换（packet switching）网络的模型 • “Part I: Network Element in Isolation” • “Part II: Network Analysis” • Deterministic Queuing Theory

  7. 基本的网络演算方法——分组交换网络的模型 • 模型 • 网络的结构，网络协议 • 通信负载（业务）模型

  8. … … DEMUX MUX 寻址固定时延 拥塞，缓冲排队 基本的网络演算方法——分组交换网络的模型 • 分组交换网络 • Packeting Switch：交换开关，分组 • MUX的非固定时延

  9. 分组交换网络的模型 • 通信负载模型 • 业务特性：尺度上的，模式上的 • 业务量参数：峰值（突发）速率、突发长度、可维持（平均）速率 …… • 业务描述器：业务量参数与服务质量（请求）参数合称为“业务描述器(descriptor)” • traffic descriptor 分析、仿真模型

  10. 分组交换网络的模型 • 通信负载模型（续） • 不同的业务流合成的流量非常复杂难以描述，如何对这样的系统进行建模与控制？ • 对合成的业务流进行整形(shape, reshape, smoothing) 为了提供服务保证，将通信流的通信量进行映射，以近似模种预知的模式。只要符合该模式，网络实体就能够提供服务级别保证。 在某种情况下，整形甚至让链路空闲，以确保后续通信的服务质量。”

  11. 基本的网络演算——WC延迟计算 • 最不利条件下的延迟 • 例：[Cruz 1991] • 通信流量的形状受“bustiness constraint”（突发度函数）b(t)约束。 • 常用的突发度函数为：b(t)=σ+ρt，记作b ~ (σ, ρ)。 • σ突发流量ρ可维持的流速率 • 在通信流量模型的前提下，计算最大可能的延迟。 • 不变延迟：baseline； • 可变延迟：主要是MUX输出端排队延迟。

  12. b(t) b(t) b(t)对D(t)进行包络 D(I) 斜率ρ 本例中，流量W(I)是分段连续的线性斜坡 C*u α 对流量D(t)微分，得到到达率R(I) 0.5*C*u 斜率ρ C*u C*u C u 2u 3u 4u 5u 6u b(t)=σ+ρt 基本的网络演算——通信负载模型下的约束 • bustiness constraint: b(t)=σ+ρt • b(t)对流量进行包络（t可取任意时间间隔）

  13. C C C C C C C C Δ Δ 溢出 图2a 图2b 负载模型下网络延迟计算 • 负载模型下的延迟计算（续） 只有保证在任意一段设计规定的时间尺度内，缓存积压量不大于设计允许值，才能保证最坏条件下的实时性能 • 常见的流量描述器，e.g. (sigma,rou)描述器

  14. Wρ(R)(t’’) ∫[0,t]R(t) Wρ(R)(t’) 斜率=R(t) 斜率ρ 斜率ρ t’ a b t’’ t R(t) C t 基本的网络演算——通信负载模型下的约束 • 对于以数据流b~(σ, ρ)作为输入，以定常速率ρ尽力地(work-conserving)输出；由于突发而造成的缓冲排队积压量W(t)不超过σ。

  15. R1 C FCFS MUX Rout C R2 C 基本的网络演算——通信负载模型下的约束 • 在流量模型下，计算MUX的输出延迟。 • 设定： • MUX遵守FCFS（先到先服务） • 最大的报文长度为L • 链路传输的最大容量为C

  16. R1 C FCFS MUX Rout C R2 C • 粗略地讲：聚合(aggregative)流量 (σ1, ρ1)， (σ2, ρ2) (σ1+σ2, ρ1+ρ2) • 经过多路复用器的延迟 • 设定：链路传输的最大容量为C

  17. 基本的网络演算——通信负载模型下的约束 • 定义延迟：DFCFS MUX .1为 supremum{ 数据流1中的任意一个bit的数据经过FCFS_MUX的延迟 } • 数据之所以延迟，是由于等待“积压”的数据W(R1+R2)(t)输出；考虑“积压”的最不利的情况。 • 排队规则：（对于数据包）先到先服务。

  18. 未修正 斜率ρ 未修正 数据量 输入数据流的突发度约束 b1(t)~(α1,ρ1) b2(t)~(α2,ρ2) 并且约定：输入数据流的瞬时速率不大于C b(t)=σ+ρt σ2+ρ2（L/C）+σ1 最大积压 b1(t) 斜率C 修正 b2(t+L/C) 斜率ρ b1(t)+b2(t+L/C)-Ct α2+ ρ2（L/C） α1 时间 L/C t 基本的网络演算——通信负载模型下的约束 • 设R1:b1~(σ1,ρ1)R2:b2~(σ2,ρ2) • 考虑输入量链路最大容量为C，修正输入burstiness constraints函数。 不够“紧” L

  19. C ρ1 数据量 输入数据流的突发度约束 b1(t)~(α1,ρ1) b2(t)~(α2,ρ2) 并且约定： 输入数据流的瞬时速率不大于C -C C*t C ρ1 +ρ2-C ρ1 b2(t+L/C) b2(t) 最大积压 b1(t) C ρ2 b1(t)+b2(t+L/C)-Ct 速率ρ1 速率C 时间 t L/C α2/(C –ρ2) - L/C α1/(C –ρ1 ) • 情况1 当L较小时，即： α2/(C-ρ 2) - L/C ≥ α 1/(C- ρ1) ，有： DFCFSMUX = 1/C×{ C×[σ 1/(C-ρ1) ] + ρ1×[σ2/(C- ρ2) – σ1/(C- ρ1)-L/C] + L }； 整理得：

  20. C ρ1 数据量 输入数据流的突发度约束 b1(t)~(α1,ρ1) b2(t)~(α2,ρ2) 并且约定： 输入数据流的瞬时速率不大于C C*t -C C ρ2 ρ1 +ρ2-C b2(t) 最大积压 b2(t+L/C) C ρ2 b1(t) b1(t)+b2(t+L/C)-Ct 速率ρ2 速率C 时间 L/C t α2/(C –ρ2 ) α1/(C –ρ1) - α2/(C –ρ2) - L/C • 情况2 当L较大时，即： α2/(C-ρ 2) - L/C < α 1/(C- ρ1) ，有： DFCFSMUX = 1/C×{ C×[σ2/(C-ρ2) –L/C] + ρ2×[σ1/(C- ρ1)+ L/C–σ2/(C- ρ2)] + L }； 整理得：

  21. C ρ1 C ρ1 1 C ρ2 C ρ2 经过整理: 另一种简便的解法： 情况1 情况2 b1 b1 √ Cty等于α1+ρ1ty 0 tx 0 ty b2 b2 C(tx+L/C)等于α2+ρ2(tx+L/C) √ 2 L 1 抵消 3 -L/C 0 tx 0 ty

  22. 基本的网络演算——通信负载模型下的约束 • 输出数据流的突发度约束函数 • 大略地说，数据流经过一个网络元件，如果最大的延迟D较小，数据数据流的形状就越接近输入数据流。 • 有这样的说法…，有延迟的网络部件，输出数据流的突发度小于 输入数据流。 （但破坏了流量约束！如果再有独立的流量在下一级作用，） • 对于任意网络部件，如果Rin~(σ,ρ)，则∫[x,y]Rout≤(σ+ ρD)+ρ(y-x) • 2、3是否矛盾？因为3中的定理“不紧”?! • 主要要看什么样的延迟… • 多级缓存破坏数据流的形状，所以“reshape”。 以对时间确定性的伤害衡量，一般情况下，经过一级交换，“突发度”增大

  23. 引言 基本的网络演算方法 网络演算与min-plus代数 *随机网络演算 六、网络演算 2013

  24. 概述 • 推出“网络演算”的目的 在交换式网络实时通信中，… • 更广义地，考虑流和服务的关系，及其与性能的关系。——性能评价需求！ • 网络演算不关心通信服务规程是如何出现的，而是关心这些规程下（或其它规程），对特定通信任务的时间性能的影响。 • 从“网络演算” 到 计算机网络的“信号与系统”

  25. 引言——min-plus网络演算 • 学者 • Cruz R L • Le Boudec J Y 等瑞士洛桑联邦综合技术学院——EPFL • 专著

  26. min-plus代数简介 到达曲线 用min-plus代数定义 几种到达曲线：漏桶、GCRA等 到达曲线的性质 最小到达曲线 流量整形 Greedy Shaper Packetizer 服务曲线 用min-plus定义 几种服务曲线：速率时延曲线、GR、PSRG等 服务曲线的性质 Pay Burst Only Once min-plus网络演算初步 DiffServ服务的网络演算案例 网络演算与min-plus代数

  27. min-plus代数简介 到达曲线 流量整形 服务曲线 min-plus网络演算初步 *案例——DiffServ服务 网络演算与min-plus代数 2013

  28. LTI线性时不变系统 x(t) y(t) min-plus简介——系统理论 • 对比：普通代数系统(R, +, ×)下的LTI滤波器 • 输入信号x(t) • 系统=以冲激响应h(t)表示 • 输出= x(t)和h(t)的卷积 • y(t) = h(t)x(t)= h(t-s) x(s) ds

  29. 简介——网络演算：计算机网络的系统理论 • 异构代数下的“标准线性系统理论” • 实际上，不仅仅是“极小代数”，可以是 • Min-Plus —— 最常用 • Max-Plus • Min-Max （min相当于“加法”，max相当于“乘法”） • Min-Plus dioid（二元算子） • ( R ∪ {+∞}, ^, + ) • “addition”  “computation of infimum” —— “^,” • “multiplication” ”addition” • 例如：(3^4)+5=(3+5) ^(4+5)=8^9=8

  30. 简介——代数基础 • (Closure of ^) For all a,b ∈R ∪ {+∞}, a ^ b ∈R ∪ {+∞} • (Associativity of ^) For all a,b,c ∈R ∪ {+∞}, (a^b)^c=a^(b^c) • (Existence of a zero element of ^) There is some e = +∞, such that • for all a ∈R ∪ {+∞}, a ^ e = a. • (Idempotency of ^) For all a ∈R ∪ {+∞}, a ^ a = a. • (Commutativity of ^) For all a,b ∈R ∪ {+∞}, a ^ b = b ^ a. • (Closure of +) For all a,b ∈R ∪ {+∞}, a + b ∈R ∪ {+∞}. • (Zero element of ^ is absorbing for +) For all a ∈R ∪ {+∞}, • a + e = e = e + a. • (Existence of neutral element for +) There is some u ∈R ∪ {+∞} such that • for all a ∈R ∪ {+∞}, a + u = a = u + a. • (Distributivity of + with respect to ^) For all a,b,c ∈R ∪ {+∞}, • (a ^ b) + c = (a + c) ^ (b + c) = c + (a ^ b) “0”元是{+∞} “0”元是{+∞} “1”元是0 拷贝自[Bettati 2009n]

  31. 简介——数学基础 • Infimum 和 Minimum • min-plus中的“^”实质是指Infimum • 设：S是R的非空子集，则 • 左连续 • 自变量从左边趋近t，极限存在且等于函数值

  32. 简介——函数域 和 积分 • 非负广义增函数 • 广义增函数：对于所有s ≤ t，均有f(s) ≤ f(t) • 非负广义增函数 • F：非负广义增函数，且t<0时f(t) =0 • 积分 • 常规代数： • min-plus代数：

  33. 简介——min-plus的卷积和解卷积 • min-plus卷积（convolution） • 设fF且gF（或为F上的序列） • 定义： • min-plus解卷积（ de-convolution） • 设fF且gF（或为F上的序列） • 定义： (fg)(t)= • 注意：解卷积操作不封闭，即一般情况下(fg)并不一定在t≤0时等于0 卷积和解卷积的性质，见“min-plus网络演算初步”

  34. min-plus代数简介 到达曲线 流量整形 服务曲线 min-plus网络演算初步 *案例——DiffServ服务 网络演算与min-plus代数 2013

  35. 到达曲线 Arrival Curve • 流量累积函数 • 用min-plus定义的到达曲线 • 几种到达曲线 • 漏桶、阶梯、GCRA，及其之间的转换关系 • 到达曲线的性质 • 到达曲线与min-plus卷积 • “好”到达曲线——到达曲线的闭包 • 最小到达曲线 • 到达曲线与min-plus解卷积

  36. 到达曲线——流量累积函数 • Cumulative flow R(t) F ,t 是实数或整数 • 一般，函数连续的模型取——左连续 bits bits bits R1(t) R2(t) R3(t) 1 2 5 6 7 1 5 5.5 1 2 5 6 time t time t time t Discrete-time model (left continuous) Fluid model (continuous) Packet model (left continuous) 图形拷贝自[LeBoudec 2002s]

  37. bits slope r b time 到达曲线——定义 • Arrival curve  • 对于任意时间0 st，累积流量函数R(.) 满足 R(t) -R(s)(t-s) • 例如：仿射（affine）到达曲线 gr,b R(t) 相当于Cruz R L的(σ,ρ) 图形拷贝自[LeBoudec 2002s]

  38. 到达曲线——定义 • 用min-plus定义的到达曲线 • 对于所有0 st，存在x(t) -x(s)(t-s) • 则： x(t) x(s)+(t-s)，对于所有0 stx(t) inf0ut{ x(u) + (t-u)} • 所以 xx

  39. bits slope r b time 几种到达曲线——仿射曲线 • 仿射到达曲线 gr,b——持续速率r，突发度b 图形拷贝自[LeBoudec 2002s]

  40. 几种到达曲线——漏桶 • R中的所有所有数据包遵守某个漏桶（Leaky Bucket）流量整形器 • 持续速率r • 漏桶深度b • 则，在t>0，遵守（conform to）仿射到达曲线的约束gr,b • 证明见下页… R(t) b x(t) t 1 5 5.5 图形拷贝自[LeBoudec 2002s]

  41. 引理1.2.2p11 几种到达曲线——漏桶（续） • 设漏桶当前缓存x(t)，速率r， x(0)=0， 需证明 • 证明1：由无溢出条件可知 ；得到 。 • 证明2：设：t0为t以前最早的缓冲器空的时间，在队列不空的时候，以速率r输出，即 ，R左连续，则 • 如保证不溢出需 • 则由引理：

  42. 几种到达曲线——阶梯曲线 • 阶梯（ staircase）到达曲线 • (t) = kvT,τ(t) =k(t+τ)/T • T 周期,t相位（tolerance），k 固定数据包长度 bits 4k 3k 2k 确切地说，如果是左连续，要加上条件(t)=0 k 3T-t t 2T-t T-t time

  43. 几种到达曲线——GCRA(T,τ) • GCRA——通用信元速率算法Generic Cell Rate Algorithm • 所有信元固定长度k • 第n次到达的时间An • 在第n次到达后的理论到达时间qn=max(An,qn-1)+ T • 如果An+1≥qn – t 则符合GCRA(T,τ)；否则，不符合。 • 算法…

  44. 几种到达曲线——GCRA(T,τ) • 算法 • 初始化， tat = 0 • 当信元在 t 时刻到达，则 • if (t < tat - tau) • result = NON-CONFORMANT; //丢弃或降级 • else { • tat = max (t, tat) + T; • result = CONFORMANT; }

  45. 几种到达曲线——组合漏桶和T-SPEC • (u) = min (pu+M, ru+b) = (pu+M)(ru+b) • (b,r) ——深度b，补充速率r • p ——注入网络的最大突发速率 • M ——最大数据报长度 T-SPEC ~ATM VBR T-SPEC ~ATM VBR

  46. 几种到达曲线之间的转换关系 • 漏桶 (b, r)遵守 gr,b • 阶梯 (t) = kvT,τ(t) =k(t+τ)/T遵守 gr,b其中r = k/T，b = k(t+T)/T • GCRA(T,τ)遵守： • 仿射（和漏桶）——gr,b • r = k/T，b = k(t+T)/T • 阶梯——kvT,τ 这也是为什么阶梯到达曲线中t的也叫容忍度

  47. f(t) R f(s) K t (fg)(t) T (fg)(t) r K+b g(t-s) K R s t T 到达曲线的性质 • 卷积运算（例子） g(t) r t b 图形拷贝自[LeBoudec 2002s]

  48. (f  g)(t) 到达曲线的性质 • 到达曲线的min-plus卷积 g(t) f(t) 变得尽可能平缓 t 图形拷贝自[LeBoudec 2002s]

  49. 到达曲线的性质 寻找“好”的到达曲线 • 下凹性（concave） • 但有些“好”的到达曲线不是concave的 图形拷贝自[LeBoudec 2002s]

  50. 到达曲线的性质——“好”的到达曲线 • 次可加性 • f is sub-additive f (t) + f(s)  f(t+s) • 次可加性 与 下凹性的关系 • f is concave with f(0) = 0 f is sub-additive • f,g are sub-additive and pass through the origin (f(0) = g(0) = 0)  fg is sub-additive 拷贝自[LeBoudec 2002s]

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