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直线 ､ 平面垂直的判定及其性质

直线 ､ 平面垂直的判定及其性质. 回归课本. 1. 直线与平面所成的角 (1) 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的 锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 . 一条直线 垂直 于平面 , 就说它们所成的角是直角 ; 一条直线和平面平行或在平面内 , 就说它们所成的角是 0° 的角 , 可见 , 直线和平面所成的角的范围是. (2) 直线与平面垂直 ①定义 : 如果一条直线 l 和一个平面 α 内的 任意一条直线 都垂直 , 那么就说直线 l 和平面 α 互相垂直 . ② 判定定理 : 如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线 都垂直 , 那么这条直线垂直于这个平面 .

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直线 ､ 平面垂直的判定及其性质

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  1. 直线､平面垂直的判定及其性质 共 71 页

  2. 回归课本 共 71 页

  3. 1.直线与平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,就说它们所成的角是0°的角,可见,直线和平面所成的角的范围是 共 71 页

  4. (2)直线与平面垂直 ①定义:如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直,那么就说直线l和平面α互相垂直. ②判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. ③性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 共 71 页

  5. 注意:(1)定义中的“任意一条”与“所有条”是同义词,不同于“无数条”.注意:(1)定义中的“任意一条”与“所有条”是同义词,不同于“无数条”. (2)判定定理在应用时,一定要明确“平面内的两条相交直线”. (3)直线与平面垂直是直线与平面相交的特例. 共 71 页

  6. 2.二面角 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,叫做二面角. 二面角的平面角:一个平面垂直于二面角α—l—β的棱l,且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB,O为垂足,则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角. 直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角. 二面角的平面角的范围是:0°≤θ≤180°,当两个半平面重合时,θ=0°;相交时0°<θ<180°;共面时θ=180°. 共 71 页

  7. (2)两个平面垂直 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (3)两个平面垂直的判定定理及性质定理 ①平面和平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. ②平面和平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 共 71 页

  8. 考点陪练 共 71 页

  9. 1.(2010·改编题)在三棱锥V—ABC中,VA=VC,AB=BC,则下列结论一定成立的是( ) A.VA⊥BC B.AB⊥VC C.VB⊥AC D.VA⊥VB 答案:C 共 71 页

  10. 2.(2010·改编题)如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,则图中互相垂直的平面共有( ) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 答案:B 共 71 页

  11. 3.菱形ABCD中,∠BAD=60°,如图所示沿对角线BD将△BCD向上折起,使AC=AB,则二面角C—BD—A的余弦值的大小为( ) 答案:A 共 71 页

  12. 4.(2010·全国卷Ⅰ)正方体ABCD—A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( ) 共 71 页

  13. 解析:BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角,在三棱锥D—ACD1中,由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H,连接D1H,DH,则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角,设正方体棱长为a,则cos∠DD1H= ,故选D. 答案:D 共 71 页

  14. 5.(2010·滨州月考)对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 共 71 页

  15. 解析:如果l⊂α,那么,α内的直线m不可能与l异面,所以,选项D不正确.解析:如果l⊂α,那么,α内的直线m不可能与l异面,所以,选项D不正确. 如果l与α相交,那么,α内的直线m不可能与l平行,所以,选项A不正确. 如果l∥α,那么,α内的直线m不可能与l相交,所以,选项B不正确. 在上述三种情况下,α内总存在直线m,使得m⊥l. 答案:C 共 71 页

  16. 类型一 线线垂直 解题准备:判定直线与直线垂直的方法: (1)计算两直线所成的角为90°(包括平面角与异面直线所成的角). (2)线面垂直的性质(若a⊥α,b⊂α,则a⊥b). (3)a·b=0⇔a⊥b. 共 71 页

  17. 【典例1】 如图,α∩β=CD,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,求证:CD⊥AB. [分析] 要证CD⊥AB,只需证CD⊥平面ABE即可. 共 71 页

  18. [证明] ∵α∩β=CD,∴CD⊂α,CD⊂β. 又EA⊥α,CD⊂α,∴EA⊥CD, 同理EB⊥CD. EA∩EB=E, ∴CD⊥平面EAB.∵AB⊂平面EAB, ∴AB⊥CD. 共 71 页

  19. [反思感悟] 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理,等腰三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明. 共 71 页

  20. 类型二 线面垂直的判定和性质 解题准备:1.判定定理可以简单的记为“线线垂直⇒线面垂直”,定理中的关键词语是“平面内两条相交直线”和“都垂直”. 2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,即 共 71 页

  21. 3.直线和平面垂直的性质: (1)垂直于同一个平面的两条直线平行. (2)如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线. (3)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直;过一点有且只有一个平面和已知直线垂直. (4)如果一条直线与两个平面都垂直,那么这两个平面平行. 共 71 页

  22. 【典例2】 如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M､N分别是AB､PC的中点,若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD. 共 71 页

  23. [证明] 如图,取PD的中点E,连接AE,NE. ∵E､N分别为PD､PC的中点, ∴EN 又∵M为AB的中点, ∴AM ∴EN AM,∴四边形AMNE为平行四边形. ∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD,∠PDA=45°, ∴△PAD为等腰直角三角形.∴AE⊥PD. 共 71 页

  24. 又∵CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A, ∴CD⊥平面PAD,而AE⊂平面PAD,∴CD⊥AE. 又CD∩PD=D,∴AE⊥平面PCD. ∴MN⊥平面PCD. 共 71 页

  25. [反思感悟] 取PD的中点E,连接AE,则有MN∥AE,考虑证明AE⊥平面PCD. 共 71 页

  26. 证明线面垂直的常用方法: (1)利用线面垂直的定义:证一直线垂直于平面内任一直线,这条直线垂直于该平面. (2)用线面垂直的判定定理:证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直,这条直线与平面垂直. (3)利用线面垂直的性质:两平行线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面. (4)用面面垂直的性质定理:两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面. 共 71 页

  27. (5)用面面平行的性质定理:一直线垂直于两平行平面中的一个,那么它必定垂直于另一个平面.(5)用面面平行的性质定理:一直线垂直于两平行平面中的一个,那么它必定垂直于另一个平面. (6)用面面垂直的性质:两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两相交平面的交线垂直于第三个平面. 共 71 页

  28. 类型三 面面垂直的判定和性质 解题准备:利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中存在,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并有利于证明,不能随意添加. 共 71 页

  29. 【典例3】 如图,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形,O1,O分别为上,下底面的中心,且A1在底面ABCD的射影是O.求证:平面O1DC⊥平面ABCD. 共 71 页

  30. [证明] 如图.连接AC,BD,A1C1,B1D1,则O为AC,BD的交点,O1为A1C1,B1D1的交点.由平行六面体的性质知:A1O1∥OC,且A1O1=OC,∴四边形A1OCO1为平行四边形,∴A1O∥O1C. ∵A1O⊥平面ABCD,∴O1C⊥平面ABCD. 又∵O1C⊂平面O1DC,∴平面O1DC⊥平面ABCD. 共 71 页

  31. [反思感悟] 证明面面垂直,可先证线面垂直,即设法先找到其中一平面的一条垂线,再证明这条垂线在另一平面内或与另一平面内一直线平行. 共 71 页

  32. 类型四 求直线和平面所成的角 解题准备:斜线和平面所成的角,简称“线面角”,它是平面的斜线与它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解,可以简述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”.通常,通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角的关键. 共 71 页

  33. 【典例4】 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于( ) 共 71 页

  34. 共 71 页

  35. [答案] B 共 71 页

  36. [反思感悟] 求线面角的关键是作出这个角.而作出这个角就要过平面斜线上的一点作平面的垂线,一般方法是有直接法和根据面面垂直的性质定理的方法. 共 71 页

  37. 类型五 二面角 解题准备:二面角大小的求法:由于二面角的大小是用它的平面角的大小度量的,因此求解二面角的大小的关键是作出它的平面角,将面面角的计算转化为一个平面上的线线角的计算.其基本步骤是作(作平面角)→证(证所作即所求)→算(计算平面角的大小). 共 71 页

  38. 作二面角的平面角的常用方法有: (1)直接法:根据平面角的概念直接作,如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边,就可以取棱的中心; (2)垂面法:过二面角棱上一点作棱的垂面,则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角; 共 71 页

  39. (3)垂线法:过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面的垂线,再从垂足B向二面角的棱作垂线,垂足为C,这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC,连接AC,则AC也与二面角的棱垂直,∠ACB就是二面角的平面角或其补角,这样就把问题归结为解一个直角三角形,这是求解二面角的最基本､最重要的方法.(3)垂线法:过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面的垂线,再从垂足B向二面角的棱作垂线,垂足为C,这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC,连接AC,则AC也与二面角的棱垂直,∠ACB就是二面角的平面角或其补角,这样就把问题归结为解一个直角三角形,这是求解二面角的最基本､最重要的方法. 共 71 页

  40. 【典例5】 如图,已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,且PA=AB. 共 71 页

  41. (1)求平面PDC与平面ABCD所成二面角的大小; (2)求二面角B-PC-D的大小; (3)求二面角A-PB-C的大小; (4)求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小. [分析] 根据所求的二面角,选择适当的作二面角的方法作出二面角,然后求解. 共 71 页

  42. [解] (1)∵PA⊥平面ABCD. DC⊂平面ABCD,∴DC⊥PA. 由正方形ABCD,有DC⊥AD, ∴DC⊥PD(三垂线定理),故∠PDA即为平面PDC与平面ABCD所成二面角的平面角. ∵PA=AB,AB=AD, ∴△PAD为等腰直角三角形. ∴∠PDA=45°,即平面PDC与平面ABCD所成二面角的大小为45°. 共 71 页

  43. (2)在Rt△PCB与Rt△PCD中,BC=DC,∠POC=∠PBC= ,PC为公共边, ∴△PCB≌△PCD. 在平面PBC内作BE⊥PC于点E, 连接DE,则DE⊥PC. ∠BED即为二面角B-PC-D的平面角,且BE=DE. 又设PA=AB=a,则PB=PD= ∴BE=DE=a× 共 71 页

  44. 又BD= ,在△BDE中, cos∠BED= 又0°<∠BED≤180°,∴∠BED=120°. 即二面角B-PC-D的大小为120°. 共 71 页

  45. (3)解法一:∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD, ∴PA⊥BC.又BC⊥AB,且PA∩AB=A, ∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC, ∴平面PBC⊥平面PAB. 故二面角A-PB-C为直二面角. 共 71 页

  46. 解法二:∵BC⊥AB,BC⊥PA,∴BC⊥平面PAB. 点B为点C在平面PAB上的射影, 线段PB为△PBC在平面PAB内的射影. ∴二面角A-PB-C为直二面角. 共 71 页

  47. (4)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD. 又ABCD为正方形,∴AD⊥AB. 从而有AD⊥平面PAB,同理CB⊥平面PAB. △PAB是△PCD在平面PAB上的射影. 设平面PAB与平面PCD所成的二面角为θ,则 cosθ= 共 71 页

  48. 共 71 页

  49. [反思感悟] 二面角的作法种数较多,要根据题设条件和所求,选择最优方法作角.在计算中,适当设棱长为一个字母表示长度,可简化计算步骤. 共 71 页

  50. 类型六 线面垂直中的探索性问题 解题准备:立体几何中的开放题在近几年的各地高考试题中是出现较多的,开放题很好地考查了学生发散思维和探究学习的能力,解题中常规作法一是根据对题目的综合分析和观察猜想出点或线的位置,再加以证明,二是假设 所求的点或线存在,并用设定的参数表示出来,再根据其满足的条件确定参数. 共 71 页

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