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自動定理証明の紹介

自動定理証明の紹介. ～ Proof Summit ～ 2011-09-25 酒井 政裕. 自己紹介. 酒井 政裕 Blog: ヒビルテ Twitter: @masahiro_sakai Haskeller Agda: Agda1 のころ遊んでた Coq: 最近入門 最近、 Alloy の本を翻訳. Alloy 本. 『 抽象によるソフトウェア設計 Alloy ではじめる形式手法 』 オーム社より 好評発売中！. この LT の趣旨. Coq とか Agda の話ばかりで ツマラン ので、 息抜き にちょっとは違う話を. 話したかったこと.

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Presentation Transcript

  1. 自動定理証明の紹介 ～Proof Summit～ 2011-09-25 酒井 政裕

  2. 自己紹介 酒井 政裕 • Blog: ヒビルテ • Twitter: @masahiro_sakai • Haskeller • Agda: Agda1のころ遊んでた • Coq: 最近入門 • 最近、Alloyの本を翻訳

  3. Alloy本 『抽象によるソフトウェア設計Alloyではじめる形式手法』 • オーム社より好評発売中！

  4. このLTの趣旨 CoqとかAgdaの話ばかりでツマランので、息抜きにちょっとは違う話を

  5. 話したかったこと • 自動定理証明 • Automated Theorem Proving • モデル発見 • 色々な Decision procedure • SAT/SMT

  6. CoqやAgdaへのイチャモン • 自分が考えた証明を形式化し、正しさを確認したり、リファクタリングしたりには便利 • だけど、何かを証明したいときに、本当に支援になるのか?

  7. CoqやAgdaへのイチャモン そもそも機械に分からせるために、細部まで証明を書くなど機械の奴隷では?

  8. 対話的定理証明 vs 自動定理証明

  9. 多分この辺り Comparing mathematical provers (by Freek Wiedijk, 2003) より

  10. 数学的な表現力は弱い • が、その分自動化されている！

  11. 自動定理証明器 • Otter • 自動定理証明器が有名になるきっかけになった証明器 • SPASS • 様相論理などもサポート • E • The E Equational Theorem Prover (eprover) • 他にも沢山 • Prover9, Vampire, Waldmeister, …

  12. begin_problem(Sokrates1). list_of_descriptions. name({*Sokrates*}). author({*Christoph Weidenbach*}). status(unsatisfiable). description({* Sokrates is mortal and since all humans are mortal, he is mortal too. *}). end_of_list. list_of_symbols. functions[(sokrates,0)]. predicates[(Human,1),(Mortal,1)]. end_of_list. list_of_formulae(axioms). formula(Human(sokrates)). formula(forall([x],implies(Human(x),Mortal(x)))). end_of_list. list_of_formulae(conjectures). formula(Mortal(sokrates)). end_of_list. end_problem. 簡単な例: ソクラテスは死ぬ(SPASS) 公理 ヘッダ 証明したいゴール 関数・述語とアリティの宣言

  13. 簡単な例: ソクラテスは死ぬ(SPASS) % SPASS -DocProof Socrate.dfg (中略) Here is a proof with depth 1, length 5 : 1[0:Inp] || -> Human(sokrates)*. 2[0:Inp] || Mortal(sokrates)* -> . 3[0:Inp] Human(U) || -> Mortal(U)*. 4[0:Res:3.1,2.0] Human(sokrates) || -> . 5[0:MRR:4.0,1.0] || -> . Formulae used in the proof : axiom0 conjecture0 axiom1

  14. 簡単な例: ソクラテスは死ぬ(SPASS) Human(U) || -> Mortal(U)*. || Mortal(sokrates)* -> ゴールの否定 公理2 Res Human(sokrates) || -> || -> Human(sokrates)* 公理1 MRR || -> 矛盾

  15. 表現力の弱さ • 有限個の公理のみ & 一階 • たとえば、数学的帰納法は公理化不能: • 各述語Pに対して公理がひとつ必要 • 高階なら ∀P : N→Prop. ～ として、単一の公理で公理化できる P(n) ∧ (∀n. P(n)→P(s(n))) → ∀n. P(n)

  16. 例: 自然数の加算の結合性(E / TPTP) fof( plus_z, axiom, ![X] : plus(X,z)=X ). fof( plus_s, axiom, ![X,Y] : plus(X,s(Y))=s(plus(X,Y)) ). fof( plusAssocP_def, axiom, ![X,Y,Z] : ( plusAssocP(X,Y,Z) <=> (plus(plus(X,Y),Z)=plus(X,plus(Y,Z))) ) ). fof( plusAssocP_ind, axiom, ![X,Y] : ( (plusAssocP(X,Y,z) & (![Z] : plusAssocP(X,Y,Z) => plusAssocP(X,Y,s(Z)))) => ![Z] : plusAssocP(X,Y,Z) ) ). fof( plus_assoc, conjecture, ![X,Y,Z] : plus(plus(X,Y),Z) = plus(X,plus(Y,Z)) ). ! は ∀ 帰納法のインスタンスを明示的に公理に eprover -l 2 --tptp3-format nat1.tptp

  17. TPTP • Thousands of Problems for Theorem Provers • http://www.cs.miami.edu/~tptp/ • ATP向けの諸々を提供 • 問題セット • 入力ファイルフォーマット • 各種ユーティリティ • 証明を見やすく表示したり、他のツール用に変換したりといったツールもあった気がするが、忘れた • SATLIB, SMTLIB, MIPLIB等のATP版

  18. 応用: プログラム検証Jahob

  19. チャレンジSeven Trees 問題 • 関数記号: +, ×, T • 公理: 半環の公理 + {T = 1 + T2} • ゴール: T = T7 • あなたの使っている定理証明系は、こういうのを解くのを支援してくれる?

  20. 自動定理証明器に解かせてみた (1) fof( coprod_comm, axiom, ![X,Y] : coprod(X,Y) = coprod(Y,X) ). fof( coprod_assoc, axiom, ![X,Y,Z] : coprod(X,coprod(Y,Z)) = coprod(coprod(X,Y),Z) ). fof( prod_comm, axiom, ![X,Y] : prod(X,Y) = prod(Y,X) ). fof( prod_assoc, axiom, ![X,Y,Z] : prod(X,prod(Y,Z)) = prod(prod(X,Y),Z) ). fof( dist, axiom, ![X,Y,Z] : prod(X,coprod(Y,Z)) = coprod(prod(X,Y),prod(X,Z)) ). fof( prod_unit, axiom, ![X] : prod(one, X) = X ). fof( t, axiom, t = coprod(one, prod(t, t)) ). fof( seven_trees, conjecture, t = prod(t,prod(t,prod(t,prod(t,prod(t,prod(t,t)))))) ). 爆発

  21. 自動定理証明器に解かせてみた (2) fof( comm, axiom, ![X,Y] : coprod(X,Y) = coprod(Y,X) ). fof( assoc, axiom, ![X,Y,Z] : coprod(X,coprod(Y,Z)) = coprod(coprod(X,Y),Z) ). fof( t1, axiom, t1 = coprod(t0, t2) ). fof( t2, axiom, t2 = coprod(t1, t3) ). fof( t3, axiom, t3 = coprod(t2, t4) ). fof( t4, axiom, t4 = coprod(t3, t5) ). fof( t5, axiom, t5 = coprod(t4, t6) ). fof( t6, axiom, t6 = coprod(t5, t7) ). fof( t7, axiom, t7 = coprod(t6, t8) ). fof( t8, axiom, t8 = coprod(t7, t9) ). fof( seven_trees, conjecture, t1 = t7 ). 解けた

  22. チャレンジ:Otterが有名になった例 • Two inverter problem • 3入力3出力の組み合わせ回路で、各出力が対応する入力の否定になっているものを作れ • ただし、andとorは何個使ってもよいが、notは2個しか使えない • OtterはPrologのメタ述語のような機能を持っていて、それを利用して解いた • (今の一般的な定理証明系では使えない) • あなたの使っている定理証明系は、こういうのを解くのを支援してくれる?

  23. CASC • The CADE ATP System Competition • http://www.cs.miami.edu/~tptp/CASC/ • CADE(the Conference on Automated Deduction)で毎年やってるコンペ • CASC‑23 (2011) の勝者:

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