Trysekcja Nikomedesa 1/6

1. Około roku 225 p.n.e. Nikomedes, Grek pracujący w Aleksandrii, w traktacie omawiającym zadanie podziału kąta na 3 równe części, przedstawił krzywą, którą nazywa się powszechnie muszla Nikomedesa. Jest to konchoida prostej. Trysekcja Nikomedesa 1/6 Definicja konchoidy. Niech dane będą krzywa płaska p, punkt S nie leżący na niej i liczba b. Konchoida krzywej p, wyznaczona względem punktu S i przez liczbę b, jest to zbiór punktów C płaszczyzny takich, że QC=b, gdzie Q oznacza punkt przecięcia prostej SC z krzywą p. Trysekcja Nikomedesa Weźmy na przykład prostą prostopadłą do osi poziomej Ox układu kartezjańskiego Oxy. Każda taka prosta różna od osi pionowej ma równanie x = a, gdzie a  0. W układzie Or współrzędnych biegunowych (r,) ma ona równanie r = a/cos. Dlatego konchoida tej prostej względem początku O obu układów ma równanie r = a/cos + b. Na rysunku obok pokazane są trzy konchoidy prostej x=3 wyznaczone względem początku układu O i dla liczb b=0, 2 i 5.

2. Trysekcja Nikomedesa 2/6 Wiemy już, że konchoida prostej r = a/cos() wyznaczona względem początku O układu współrzędnych biegunowych (r,) i przez liczbę b, ma równanie r = a/cos + b. Ponieważ między współrzędnymi (x,y) a (r,) zachodzą związki: x=r·cos, y=r·sin, więc równanie biegunowe konchoidy Nikomedesa, po pomnożeniu obustronnym przez cos, można zapisać w postaci x=a+b·x/(x2+y2). Równania kartezjańskie konchoidy Nikomedesa Eksponowana w Centro Museo Universitario di Storia Naturale e della Strumentazione Scientifica w Modenie deska Nikomedesa, na której wyznacza się 1/3 danego kąta. Położenie listwy OM jest wyznaczone dwoma punktami. Pierwszy z nich, stały punkt M listwy, poruszać się może po linii prostej f-f . Drugim punktem jest stały punkt O deski. Tak więc listwa obraca się wokół punktu O. Wraz z obrotem punkt M wędruje po prostej f-f, zaś punkty P i Q listwy OM, niezmiennie spełniające warunek |PM| = |MQ| = b, gdzie b jest zadaną z góry liczbą,, kreślą konchoidę Nikomedesa. Po prostych przekształceniach uzyskujemy równanie muszli Nikomedesa we współrzędnych kartezjańskich: (x-a)2·(x2+y2)–b2x2=0.

3. Trysekcja Nikomedesa 3/6 Wykorzystanie konchoidy Nikodemesa do trysekcji kąta ostrego, np. AOB, oparte na na konstrukcji, którą pokazują rysunki. Trysekcja Nikkomedesa k1. Na ramieniu OB obieramy dowolny punkt D i prowadzimy przez niego proste do ramienia OA prostopadłą i równoległą. k2. Z wierzchołka O kreślimy prostą tak, by punkty S i C, w jakich przecina ona odpowiednio prostopadłą i równoległą, były od siebie oddalone o 2w, gdzie w = OD. Teraz jest AOC = 1/3·AOB. Dowód (oznaczenia jak na rysunku obok ). u1. Dzielimy odcinek SC na pół punktem M. u2. Wtedy DM = w. u3. Zatem DS=2w·sin, gdzie  = OCD. u4.W OED jest |DE| = w·sin oraz |OE| = w·cos, gdzie  =AOB. Dowód trysekcyjny Nikomedesa u5.W OES jest |ES| = |OE|·tg = w·cos·tg . u6.Dlatego równość |DE| = |DS.| + |SE| znaczy, że sin(–)=sin(2). u7. A że 0 <  <  < 90º, więc stąd od razu =3.

4. Rozszerzenie definicji krzywej Nikomedesa na liczby zespolone [4/6] Wprowadźmy zmienną zespoloną z = x + î·y = (x2+y2)·(cos + î·sin) = r·exp(î·), gdzie x, y, , r = (x2+y2) R. Wówczas, po pomnożeniu równania konchoidy Nikodemesa przez exp(î·) oraz skorzystaniu z równości cos(w) = cosh(î·) zachodzącej dla w = î·, otrzymujemy związek Funkcja zespolona Nikomedesa z = a·{1 + tgh(w)} + b·exp(w). Zdefiniowane nim przyporządkowanie z=z(a,b,w) zwane funkcja Nikodemesa. Przykładowe wykresy tej funkcji dla a=–4, –2, 0, 2, 4 i b=1, oraz dla a=1 i b=–2, –1,0,1, pokazują rysunki obok.

5. Funkcje harmoniczne Nikomedesa [5/6] W równaniu z = a·{1 + tgh(w)} + b·exp(w) podstawmy w = u + î·v, gdzie u, v R. Otrzymujemy w ten sposób przekształcenie, które wartości zespolonej w przyporządkowuje wartość zespoloną (*) z(u + î·v) = a·{1 + tgh(u + î·v)} + b·exp(u + î·v). Funkcje harminiczne Nikomedesa Ponieważ sinh(u + î·v) = sinh(u)·c+cosh(u)·s, cosh(u + î·v) = cosh(u)·c+sinh(u)·s, 1+tgh(u + î·v) = 2exp(2u)/M·{exp(2u)+ î·exp(î·2v)}, gdzie c=cos(v), s=sin(v) oraz M =1/{exp(4u)+2exp(2u)·cos(2v)+1}, więc zależność (*) możemy przedstawić w postaci z = U + î·V, gdzie części rzeczywista U=U(u,v) i urojona V=V(u,v) wynoszą U = 2a·exp(2u)·{exp(2u)+cos(2v)} + b ·cos(v), V =2a ·exp(2u)·sin(2v) + b·sin(v). Te dwie funkcje spełniają równania Cauchy-Riemana: Są zatem rozwiązaniami równania Laplace’a: Wynik ten przedstawili Lin,Yu, Yuang i Luk w pracy „Conchoid of Nicomedes and limacon of Pascal as electrode of static field and as waveguide of high frequency wave”, Progres in Electromagnetics Research 30 (2001), 273-84.

6. Równanie zespolonej funkcji Nikomedesa: z=a·{1+tgh(w)}+b·exp(w), w którym z=x+î·y, w=u+î·v oraz x, y, u, vR, określa tzw. transformację Nikodemesa NT: w  z. Transformacja Nikomedesa [6/6] Na rysunku z prawej strony widzimy odcinek łączący punkty (1,0) i (2,0) oraz jego NT-obraz. Obraz ten jest lekko zniekształconym okręgiem (aby pokazać różnicę, na rysunku wkreślony jest także okrąg). Krzywa ta jest nie tylko NT-obrazem wiadomego odcinka, lecz także całej prostej o równaniu u=1 (czyli w=1+ î·v, gdy -<v<). Transformacja Nikomedesa Rysunek z lewej strony pokazuje NT-obrazy 4 odcinków u+î·v dla v=1, 2, 4 i 5 uzyskanych gdy u zmienia się w przedziale <–2,1>. Jeden z tych odcinków - ten dla v=1, czyli łaczący punkty A=–2+î B=1+î - też został zaznaczony. NT(A)  0.058+0.147î, NT(B)  3.55+2.56î Transformacja Nikodemesa NT wykazuje wysoką nieregularność. Co więcej, nie jest jednoznacznie odwracalna. Widać to po przekształceniu równania tgh(w)={exp(2w) –1}/{exp(2w)+1}, do postaci s3 + t·s +s – z/b = 0, gdzie t =(z-2a)/b i s = exp(w).