線性規劃導論

線性規劃導論 • 簡單的最大化問題 • 圖解法 • 簡單的最小化問題 • 特殊情形 • 線性規劃的標準式 3-1

基本觀念 • 數學規劃: 數學模式的結構中包括兩大部份-目標式及限制式. • 線性規劃:在數學規劃中, 其目標式及限制式皆為線性的. 3-2

線性規劃模型的建構 • 說明建立線性規劃模型的一般通則： • 徹底瞭解問題 • 描述目標式 • 描述每一個限制式 • 定義決策變數 • 以決策變數表示目標式 • 以決策變數表示限制式 3-3

力新公司高爾夫球袋生產相關資料 3-4

範例說明(1/12) 題目請見課本p34 • 數學模型： Max 9X + 10Y 總利潤 Subject to (s.t.) 4X + 7Y  4220 切割與染整 7X + 6Y  4510 縫合 9X + 8Y  7200 組裝 6X + 3Y  3600 檢驗與包裝 X, Y  0 3-5

範例說明(2/12) • 圖解法：線性規劃問題若是只有兩個決策變數的話，則可以使用圖解法來求解 3-6

範例說明(3/12) • 首先畫出等式部份，之後才考慮不等式部份(<) 3-7

範例說明(4/12) • 不等式表示直線某一邊的所有點都會滿足限制式要決定哪一邊的點，通常選擇原點(0, 0)來檢驗。 3-8

範例說明(5/12) • 重複這樣的計算過程，可畫出第一、第二與第四條限制式的可行區域，如圖3.4、圖3.5與圖3.6。 3-9

範例說明(6/12) 3-10

範例說明(7/12) 3-11

範例說明(8/12) • 考慮一種產品生產組合方案：X=200, Y=400，是否可行，可檢驗其是否滿足所有的限制式，若滿足所有的限制條件，則為可行解，反之，只要違反其中任一或幾條限制式，則為不可行解。依此原則可畫出可行解區域(圖3.7) 3-12

範例說明(9/12) 3-13

範例說明(10/12) • 解法一:斜率分析 • 其最佳解都會落在可行區域的「端點」，所以只要檢查端點，再計算出端點的目標函數值，最後從中選出一個最佳值。 • 茲將各端點的座標(從原點依照順時鐘方向)與利潤值列於下頁表： 3-14

範例說明(11/12) 最大的利潤為值6,850元，因此產生6,850元的點(250, 460)就是問題的最佳解 3-15

Important Observations • 線性規劃問題的最佳解都會落在可行區域的「端點」(extreme point) . • 端點: 二維問題中, 一端點可由兩個限制式等號成立決定之. 3-16

範例說明(12/12) • 管理者也想知道要達成最佳產量時須花費多少資源，對力新問題而言，即是各部門必須使用多少人力。 3-17

名詞介紹 • 剩餘時數：在最佳產量下各部門未用完人力時數 • 從上分析，可知由於切染與縫合兩部門人力相對不足而限制了兩種球袋產量，亦即本問題受到切染與縫合兩個限制式的束縛，所得最大利潤只有6,850元。 • 這種對問題構成束縛的限制式稱之為「束縛限制式」束縛限制式的剩餘時數為零。 3-18

簡單的最小化問題 • 桃園廠的單位成本為90萬元，台南廠的單位成本為80萬元。桃園廠的產能為每週40台，台南廠的產能為每週50台。依據公司所簽下的合約，每週必須運送50台到美國，且公司希望每一個廠每週至少須有基本的生產數量，也就是桃園廠至少須生產15台，台南廠至少須生產30台。公司希望知道兩座工廠的產量，期使總生產成本最低。 3-19

簡單的最小化問題(1/4) 題目請見課本p72 • 將問題模式化 • 問題是使成本最小化，而限制式包括： • 兩廠的總產量至少要有50台。 • 桃園廠的產量最小為15台，最大為40台。 • 台南廠的產量最小為30台，最大為50台。 • 決策變數 • X1 = 桃園廠的生產數量(台) • X2 = 台南廠的生產數量(台) 3-20

簡單的最小化問題(2/4) • 模型 Min = 90X1 + 80X2 總成本 s.t. X1 + X2 >= 50 兩廠的總產量 X1 >= 15 桃園廠的最小產量 X1 <= 40 桃園廠的最大產量 X2 >= 30 台南廠的最小產量 X2 <= 50 台南廠的最大產量 Xi >= 0 i=1, 2 3-21

簡單的最小化問題(3/4) • 本題只有兩個決策變數，可利用圖解法來求最佳解。其步驟與上題求解類似，簡述如下： • 畫出每條限制式所對應的直線方程式。 • 判斷每條限制式所對應的可行區域(在直線的哪一邊)。 • 決定問題的可行區域。 • 畫出與目標函數斜率相同的任一直線，儘量向左下方平行移動，所能碰到可行區域最外側的一點，就是成本最小點。 • 前面步驟1至3與最大化問題完全一樣，只有在步驟4中平行移動的方向與最大化問題相反。 3-22

簡單的最小化問題(4/4) • 以所有可行區域端點，算出所有可能成本最小的成本為4,150元，因此產生4,150元的點(15, 35)就是問題的最佳解 3-23

最大化VS最小化 • 從以上例子可知道，求解最小化問題與前一節中求解最大化問題過程中，最主要的差異有二： • 最小化問題：目標函數線往成本遞減的方向移動，最佳解為使目標函數值最小的端點。 • 最大化問題：目標函數線往利潤遞增的方向移動，最佳解為使目標函數值最大的端點。 3-24

特殊情形 • 線性規劃可能會出現許多特殊情況，如： • 多重最佳解(Alternative optimal solutions) • 不可行性(Infeasibility) • 無限性(Unboundedness) • 多餘限制式(Redundant constraints)等問題。 3-25

多重最佳解 • 線性規劃模型可能有一個以上最佳解，此時，即稱線性規劃模型有「多重最佳解」 • 如果這種情形發生，一定是目標函數線與其中一條限制線平行。管理者會發現在決策時多了許多彈性，如力新問題可選擇不同的生產數量，而都可以達成最大利潤的目標。 3-26

不可行性 • 線性規劃模型中的限制式間若是相互衝突可能會造成無可行區域，因為這兩條限制式與其他任一限制式皆衝突，則稱問題有「不可行性」 • 當得不到可行解時，可能是因為問題中有太多的限制式，或有些限制式太嚴格了。若要解決，可嘗試找出哪些限制式引起這樣的情況，如果可能的話，放寬限制。 3-27

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無限性 (1/2) • 最大化線性規劃模型中，若目標值沒有上限，則稱這個問題具有「無限性」。造成原因，可能是在構建模型的誤失，常見的為遺漏某些限制條件，而使限制太寬鬆，造成無界的可行區域。 • 例子： Max X + 2Y s.t. X >= 10 Y <= 20 X, Y >= 0 3-29

無限性(2/2) • 圖3.10為此模型可行區域與目標函數之平行線，圖中可發現可行區域可向右無限延伸，為了求極大值，目標函數的平行線可向右上方移動至無窮遠，故此問題具有無限性。 3-30

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多餘限制式 • 不會改變可行區域的限制式稱為「多餘限制式」 • 力新問題模型中，若多增加兩條限制式： X <= 700 Y <= 800 • 如圖3.11所示，可行區域仍然不變，當然最佳解還是(250, 460)，最大利潤仍為6,850元。所以，所增加的這兩條限制式均為多餘限制式，可不必放入模型中。 3-32

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線性規劃標準式 (1/3) • 將線性規劃模型所有限制式都寫成等式，則稱此線性規劃模型已經表示成標準式。 • 在小於或等於的限制式左邊加上寬裕變數(slack variable)，或在大於等於的限制式左邊減去剩餘變數(surplus variable)，即可將線性規劃模型表示為標準式。 • 特別注意兩種變數皆為非負的實數 3-34

線性規劃標準式(2/3) 題目請見課本p79 • 比較力新問題的標準式，發現在最佳解X*=250，Y*=460，寬裕變數值如下：限制式寬裕變數值切割與染色 S1* = 0 縫合 S2* = 0 組裝 S3* = 1270 檢驗與包裝 S4* = 720 • 寬裕變數值，即是在最佳解時，小於等於限制式左右兩邊的差額 3-35

線性規劃標準式(3/3) 題目請見課本p80 • 比較億泰問題的標準式，我們可以發現在最佳解X1*=15，X2*=35，限制式寬裕變數值剩餘變數值 (1)兩廠的總產量 S1* = 0 (2)桃園廠的最小產量 S2* = 0 (3)桃園廠的最大產量 S3* = 25 (4)台南廠的最小產量 S4* = 5 (5)台南廠的最大產量 S5* = 15 3-36

作業 • P.81: 2, 4, 7, 9, 10, 11, 14. 3-37

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