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算 法 案 例

算 法 案 例. ( 第一课时 ). 解： 2 1 8 2 4 用公有质因数 2 除， 3 9 1 2 用公有质因数 3 除， 3 4 3和4互质不除了。 得：18 和 24 最大公约数是： 2 × 3 ＝ 6. 例 1 、求18与24的最大公约数：. 短除法. 想一想 ， 如何求 8251 与 6105 的最大公约数？. 点拨： 辗转相除法 是解决上述问题的有效方法之一，此算法是欧几 里得在公元前 300 左右首先提

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算 法 案 例

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Presentation Transcript

  1. 算 法 案 例 (第一课时)

  2. 解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 1 2 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。 得：18和24最大公约数是：2×3＝6 例1、求18与24的最大公约数： 短除法 想一想，如何求8251与6105的最大公约数？ 点拨：辗转相除法是解决上述问题的有效方法之一，此算法是欧几 里得在公元前300左右首先提 出的，因而，又叫欧几里得 算法．

  3. 辗转相除法（欧几里得算法） 观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146 结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。 为什么呢？ 第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 思考：从上述的过程你体会到了什么？

  4. 完整的过程 例2 用辗转相除法求319和261的最大公约数 8251=6105×1+2146 319=261×1+58 6105=2146×2+1813 261=58×4+29 2146=1813×1+333 58=29×2 显然29是58和261的最大公约数，也就是261和319的最大公约数 1813=333×5+148 思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？ 333=148×2+37 148=37×4+0 S1：用大数除以小数 显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数 S2：除数变成被除数，余数变成除数 S3：重复S1，直到余数为0

  5. 例3、下面是求115与276的最大公约数的程序，把程序补充完整。 (学案T6) a=115 b=276 DO r=_____________________ a=b b=r LOOP UNTIL ___________________ PRINT a END 思考：辗转相除直到何时结束？主要运用的是哪种算法结构？

  6. 程序： 程序框图： 开始 输入a，b r=a mod b a＝b b ＝ r 否 r＝0 是 输出a 结束 INPUT “a，b”；a，b DO r=a mod b a=b b=r LOOP UNTIL r=0 PRINT a END

  7. 思考:你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？写出程序框图和程序。思考:你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？写出程序框图和程序。

  8. 算法案例

  9. 《九章算术》——更相减损术 算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数或这个等数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。

  10. 例4、用更相减损术求120与75的最大公约数； 试着写出它的算法框图。（学案T4） 解：由于75不是偶数，把120和75以大数减小数，并辗转相减。 120-75=45 75-45=30 45-30=15 30-15=15 所以，120和75的最大公约数等于15。 更相减损是一个反复执行直到减数等于差时停止的步骤， 这实际也是一个循环结构

  11. 开始 输入：a,b i=0 i=i+1 是 a MOD 2=0且b MOD 2=0? a=a/2,b=b/2 否 b>a? 否 是 t=a,a=b,b=t a=a-b 否 a=b? 是 输出：a×2i 结束 程序： INPUT “a,b”;a,b i=0 WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0 a=a/2 b=b/2 i=i+1 WEND DO IF b>a THEN t=a a=b b=t END IF a=a-b LOOP UNTIL a=b PRINT a*2^i END

  12. 知识拓展 • 问题提出：如何求三个正整数的最大公约数？ • 分析：可以先求出其中两个数的最大公约数，用这两个数的最大公约数再与第三个数求最大公约数，所得结果就是这三个数的最大公约数。 例5，求46，115，276的最大公约数(学案T5)

  13. 小 结 辗转相除法与更相减损术的区别： （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法 为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算 次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的 区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除 余数为0而得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到的。

  14. 再见

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