Projekt z Rachunku Prawdopodobieństwa MAEW00104 MAP1064 Gabriel Szuter, 170877

1. Projekt z Rachunku Prawdopodobieństwa MAEW00104 MAP1064 Gabriel Szuter, 170877 Wydział Elektroniki Kierunek Teleinformatyka Temat: Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych.

2. gdzie D to obszar zamknięty w kwadracie • [a,b] x [a,b]obliczamy w następujący sposób: • Losujemy niezależnie liczby u1, u2, … , un oraz v1, v2, … , vn z rozkładu jednostajnego U[0, 1]; • Przekształcamy xk= a + (b - a)uk i yk= a + (b - a)vk dla k = 1, 2, . . . , n; • Jako przybliżoną wartość całki przyjmujemy: Metoda Monte Carlo liczenia całek podwójnych: Całkę przy czym przyjmujemy 0 dla punktów leżących poza D.

3. Zajmijmy się teraz kolejno różnymi funkcjami: 1) Niech D będzie kwadratem [0,2] x [0,2], natomiast

4. Policzmy dokładną wartość całki: Wylosowane liczby będziemy przeliczać następująco: xk=2uk yk=2vk Nasza całka przyjmie postać:

5. Policzmy wartości całki dla różnych rzędów n • Dla n=100: • Dla n=1000: • Dla n=3000:

6. Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:

7. Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach: n=100 n=1000 n=3000

8. Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:

9. 2) Teraz niech obszar będzie ograniczony krzywymi: Funkcją niech pozostanie:

10. Policzmy dokładną wartość całki:

11. Policzmy wartości całki dla różnych n: • Dla n=100: • Dla n=1000: • Dla n=3000:

12. Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:

13. Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach: n=100 n=1000 n=3000

14. Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:

15. 3)Nasz obszar umieśćmy w kwadracie: [2,5] x [2,5] y = 3 , y = (0,5x - 2)2 + 2 , y = (x - 4)3 + 2 Niech będzie on ograniczony prostymi: Nasza funkcja będzie miała postać:

16. Policzmy dokładną wartość całki:

17. Policzmy wartości całki dla różnych n: • Dla n=100: • Dla n=1000: • Dla n=3000:

18. Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:

19. Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach: n=100 n=1000 n=3000

20. Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:

21. 4)Niech obszar znajduje się w kwadracie: [2,6] x [2,6]Zamknijmy go prostymi: Funkcją pozostanie:

22. Policzmy dokładną wartość całki: Znajdźmy punkty przecięcia się prostych zamykających obszar: x=2,272 lub x=5,707

23. Policzmy wartości całki dla różnych n: • Dla n=100: • Dla n=1000: • Dla n=3000:

24. Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:

25. Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach: n=100 n=1000 n=3000

26. Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:

27. Wnioski: • Widzimy, iż wraz ze wzrostem ilości losowanych liczb błąd przybliżenia maleje; • Przy n=3000 we wszystkich przypadkach zostało uzyskane zadowalające przybliżenie; • Im mniejszą część kwadratu zajmuje badany obszar, tym bardziej błąd przybliżenia rośnie.

28. Do obliczeń, a także rysowania wykresów użyto następujących aplikacji: • MS Excel • Derive 6 Obszary całkowania i funkcje podcałkowe na podstawie własnej wyobraźni 