slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО PowerPoint Presentation
Download Presentation
ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 30

ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО - PowerPoint PPT Presentation


  • 130 Views
  • Uploaded on

ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО. ШКОЛСКА 2011/12. ГОДИНА ПРОЛЕЋНИ СЕМЕСТАР НАСТАВНИ ПРЕДМЕТ: КВАНТИТАТИВНЕ МЕТОДЕ ТЕМА 4. ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ ВАЉЕВО, 22.0 2 .2012. НАСТАВНА ТЕМА 4. ФУНКЦИЈА ДВЕ НЕЗАВИСНО ПРОМЕНЉИВЕ ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ УСЛОВНИ ЕКСТРЕМИ.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО' - garnet


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО

ШКОЛСКА 2011/12. ГОДИНАПРОЛЕЋНИ СЕМЕСТАРНАСТАВНИ ПРЕДМЕТ:КВАНТИТАТИВНЕ МЕТОДЕТЕМА 4.ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕВАЉЕВО, 22.02.2012.

slide2
НАСТАВНА ТЕМА 4.

ФУНКЦИЈА ДВЕ НЕЗАВИСНО ПРОМЕНЉИВЕ

ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ

УСЛОВНИ ЕКСТРЕМИ

slide3
1.1. ПОЈАМ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ НЕЗАВИСНО ПРОМЕНЉИВЕ
  • Нека је X = R х R = R2 = {(x,y) | x  R  y  R} и нека је Z = R. Функција f: Х  Z која сваком уређеном пару (х, у) из Х додељује неки елеменат z из Z, назива се функција две независно променљиве и симболички записује z = f (х, у).
  • Променљиве х и у су независно променљиве, а променљива z је зависно променљива јер се њена вредност мења ѕависно од правила f и независно променљивих х и у.
  • Скуп X = D(f)  R2назива се домен функције, а скуп Z R кодомен функције f.
  • Функција z = f (х, у) има своје геометријско тумачење.
slide4
1.1. ПОЈАМ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ НЕЗАВИСНО ПРОМЕНЉИВЕ
  • Пример 1: Дата је функција z = 3 – х – у. Одредити њену област дефинисаности. Шта представља дата функција у геометријском смислу?
  • Пример 2: Одредити област дефинисаности функције .
  • Пример 3: За које вредности х и у је

дефинисана функција .

slide5
1.2. ОСОБИНЕ ФУНКЦИЈА ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ
  • За особине функција две променљиве важе слични принципи као и код функција једне променљиве. Дакле, одређују су област дефинисаности, нуле, знак функције, парност, непарност, граничне вредности функције, изводи, монотоност, ...
  • Пример 4: Дата је функција z = х2 + у2 – 2х – 99 . Одредити особине дате функције.
slide6
1.3. ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ
  • Функција z = f (х, у) тежи коначној граничној вредности В, кад х тежи ка а и у тежи ка b, ако за произвољно, унапред задато  (   0), постоји ()  0 такво да када је  х – а    и у - b   , онда  f (х, у) – В  .
  • Симболички се ово записује
slide7
1.3. ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ
  • Пример 5: Одредити
slide8
1.4. НЕПРЕКИДНОСТ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ
  • Функција z = f (х, у) је непрекидна у тачки М (а, b) ако је .
  • Пример 6: Функција z = 3х + 2у – 1 је непрекидна у тачки (2, 2).
  • Пример 7: Функција z = [х] + [у] – 1 није непрекидна у тачки (3, 4).
slide9
1.5. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕЊИВЕ
  • Парцијалним изводом првог реда функције z = f (х, у) по аргументу х у тачки М (а, b) назива се вредност прог извода функције f (х, b) у тачки М.
  • Ово се симболички означава
  • Парцијалним изводом првог реда функције z = f (х, у) по аргументу у у тачки М (а, b) назива се вредност прог извода функције f (а, у) у тачки М.
  • Ово се симболички означава
slide10
1.5. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕЊИВЕ
  • Пример 8:

Ако је z = f (х, у) = 3х2у3 + 3х – 2у + 5 одредити:

slide11
1.5. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕЊИВЕ
  • Важне напомене:
  • Парцијални извод првог реда функције z = f (х, у) по аргументу х или аргументу у тачки М (а, b) је број.
  • Све тачке у којима постоји парцијални извод по х или парцијални извод по у образују функције fх`(х, у) или fу`(х, у).
  • Практично парцијални извод по х се добија по свим правилима диференцирања тако што се променљива у третира као константа
  • Практично парцијални извод по у се добија по свим правилима диференцирања тако што се променљива х третира као константа
slide12
1.6. ТОТАЛНИ ДИФЕРЕНЦИЈАЛ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ
  • Нека функција z = f (х, у) у тачки М(х,у) има парцијалне изводе и нека су они непрекидни. Тада се ираз

назива тотални диференцијал функције z = f (х, у)

  • Пример 9: Одредити тотални диференцијал функције z = хеу + х - у2 + 3.
slide13
1.7. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОДИ И ДИФЕРЕНЦИЈАЛИ ВИШЕГ РЕДА
  • Парцијалним изводима другог реда функције z = f (х, у) називају се парцијални изводи парцијалних извода функције првог реда.
slide14
1.7. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОДИ И ДИФЕРЕНЦИЈАЛИ ВИШЕГ РЕДА
  • Диференцијал другог реда функције z = f (х, у) називају се диференцијал диференцијала првог реда функције. Дакле,
slide15
1.7. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОДИ И ДИФЕРЕНЦИЈАЛИ ВИШЕГ РЕДА
  • Пример 10: Дата је функција z = (2х + 3у)2. Одредити парцијалне изводе другог реда.
  • Пример 11: Одредити парцијалне изводе другог реда и диференцијал функције z = (х + у)3 .
slide16
У једном послу функција добити у динарима је дефинисана релацијом

d = 14xy(300 – x – y)

где је хброј број радних дана, а уброј радника који реализују дати посао. Одредити број радника и број радних дана тако да се оствари максимална добит. Колика је та добит?

slide17
1.8. ДЕФИНИЦИЈА МАКСИМУМА И МИНИМУМА
  • Функција z = f (х, у) има локални максимум у тачки М (а, b), ако је за све тачке (х, у) довољно блиске тачки М (а, b ) важи f (а, b ) >f (х, у).
  • Функција z = f (х, у) има локални максимум у тачки М (а, b), ако је за све тачке (х, у) довољно блиске тачки М(а, b ) важи f (а, b ) <f (х, у).
slide18
1.9. ЕЛЕМЕНТАРНО ОДРЕЂИВАЊЕ МАКСИМУМА И МИНИМУМА
  • Пример 1: Дата је функција z = х2 + у2 + 2. Одредити локални минимум дате функције.
  • Пример 2: Дата је функција z = 2х - х2 + 4у - у2 . Одредити локални максимум дате функције.
  • Пример 3: Одредити екстремне вредности функције z = х3 + 3ху2 – 15х – 12у.
slide19
1.10. ПОТРЕБАН УСЛОВ ДА ФУНКЦИЈА ИМА ЕКСТЕМНУ ВРЕДНОСТ
  • Ако функција f(х, у) достиже екстемну вредност у тачки М (а, b), тада су први парцијални изводи функције f (х, у) у тачки М (a, b) једнаки нули или не постоје, тј.
  • Тачке у којима су парцијални изводи првог реда једнаки нули или не постоје зову се стационарне тачке те функције.
slide20
1.11. ДОВОЉАН УСЛОВ ЗА ЕСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА
  • Нека је М (а, b) стационарна тачка функције z = f (х, у). Тада:

а) Ако је d2f (a, b)< 0, oнда је f(a, b) максимум функције f (х, у);

b) Ако је d2f (a, b) > 0, oнда је f(a, b) минимум функције f (х, у);

с) Ако је d2f (a, b) мења знак при проласку кроз (а, b), oнда је f(a, b) није екстремна вредност функције f (х, у);

1 1 2
1.12. ЕКВИВАЛЕНТНА ТЕОРЕМА ЗА ДОВОЉАН УСЛОВ ЗА ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА
  • Нека је М (а, b) стационарна тачка функције z = f (х, у). Ако је А = fхх (а, b), В = fху (а, b) и C = fуу (а, b) и  = АС – В2. Тада за:

а)  >0, функција f(х, у) има естремум и то * максимум ако је А < 0 (или С < 0);

* минимум ако је А > 0 (или С > 0)

b)  < 0, функција f (х, у) нема екстремум;

с)  = 0, онда питање екстеремума функције у тачки М (a, b) остаје отворено и тражи додатна истраживања.

slide22
1.13. ПРАКТИЧНО ОДРЕЂИВАЊЕ ЕКСТРЕМНИХ ВРЕДНОСТИ
  • Пример 4: Дата је функција z = 3х + 4у + 5. Одредити екстремне вредности дате функције.
  • Пример 5: Дата је функција z = х2 + 4у2 – 2х – 24у. Одредити екстремне вредности дате функције.
  • Пример 6: Одредити екстремне вредности функције z = ху + 6.
slide23
1.13. ПРАКТИЧНО ОДРЕЂИВАЊЕ ЕКСТРЕМНИХ ВРЕДНОСТИ
  • Пример 7: Дата је функција z = х2 + у2 + 2. Одредити локални минимум дате функције.
  • Пример 8: Дата је функција z = 2х - х2 + 4у - у2 . Одредити локални максимум дате функције.
  • Пример 9: Одредити екстремне вредности функције z = х3 + 3ху2 – 15х – 12у.
1 1 4
1.14. ПРАКТИЧНО ОДРЕЂИВАЊЕ ЕКСТРЕМНИХ ВРЕДНОСТИ
  • Пример 10: Збир бројева а, b и с је 12. Одредити бројеве а, b и с тако да њихов производ буде највећи.
  • Пример 11: У једном послу функција добити у динарима је дефинисана релацијом z = 14ху (300 - х - у), где је х број број радних дана, а у број радника који реализују дати посао. Одредити број радника и број радних дана тако да се оствари максимална добит. Колика је та добит?
slide25
УСЛОВНА ЕКСТРЕМНА ВРЕДНОСТ

ФУНКЦИЈЕ ДВЕ НЕЗАВИСНО

ПРОМЕНЉИВЕ

1 1 5
1.15. УСЛОВНЕ ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА
  • Условним екстремумом функције z = f (х, у) назива се екстремум дате функције при чему променљиве х и у задовиољавају додатни услов (х, у) = 0.
  • За одређивање условних екстремних вредности формира се такозвана функција Лагранжа:

F (x, y) = f (x, y) +  (х, у)

где је  неодређена Лагранжова константа.

slide27
1.16. ПОТРЕБАН УСЛОВ ДА ФУНКЦИЈА ИМА УСЛОВНИ ЕКСТРЕМУМ
  • Потребан услов за постојање условног екстремума своди се на систем од три једначине:

 (х, у) = 0 .

  • Из овог система једначина се одређују вредности за х, у и , где одговарајуће тачке (х, у) представљају потенцијалне кандидате за тачке условног екстремума.
slide28
1.17. ПОСТУПАК ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ УСЛОВНОГ ЕКСТРЕМУМА
  • Питање о постојању и карактеру условног екстремума у тачкама које потенцијално то могу бити решава се израчунавањем знака дугог диференцијала Лагранжове функције у тим тачкама

при чему су dx и dy везани релацијама:

slide29
1.18. ПОСТУПАК ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ УСЛОВНОГ ЕКСТРЕМУМА
  • Уколико је:
  • d2F (а,b) < 0, онда функција f(x,y) има условни максимум у тачки (а,b)
  • d2F (а,b) > 0, онда функција f(x,y) има условни минимум у тачки (а,b)
  • d2F мења знак при пролазу кроз тачку (а,b) , онда та тачка није тачка условног екстремума.
slide30
1.19. ПРИМЕРИ
  • Пример 12: Дата је функција z = 3х + 4у + 5, при чему је х2 + у2 = 25. Одредити условне екстремуме дате функције.
  • Пример 13: Дата је функција z = х2 + у2 . Одредити условне екстремуме при услову 3х + 2у = 6.
  • Пример 14: Одредити условне екстремне вредности функције z = (х – 2)(у + 3) при услову х + у = 1.