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二次函数的几种解析及求法 (2)

二次函数的几种解析及求法 (2). 一般式. 顶点式. 交点式. 二次函数的几种解析式及求法. 思想方法. 前　言. 一般式. 二次 函数解析式. 顶点式. 交点式. 例 2. 例 1. 应用举例. 例 3 应用. 练习 1. 练习 2. 尝试练习. 练习 3. 练习 4. 小　结.

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二次函数的几种解析及求法 (2)

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Presentation Transcript

  1. 二次函数的几种解析及求法(2)

  2. 一般式 顶点式 交点式 二次函数的几种解析式及求法 思想方法 前　言 一般式 二次函数解析式 顶点式 交点式 例2 例1 应用举例 例3 应用 练习1 练习2 尝试练习 练习3 练习4 小　结

  3. 二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、三角等综合在一起，出现在压轴题之中。 因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。

  4. 一、二次函数常用的几种解析式的确定 1、一般式 已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。 2、顶点式 已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。 3、交点式 已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。

  5. 二、求二次函数解析式的思想方法 1、 求二次函数解析式的常用方法： 待定系数法、配方法、数形结合等。 2、求二次函数解析式的 常用思想： 转化思想 : 解方程或方程组 3、二次函数解析式的最终形式： 无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。

  6. 三、应用举例 即： 所求的二次函数解析式为： 例1、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。 解法一： 一般式 设解析式为 ∵顶点C（1，4）， ∴对称轴 x=1. ∵A(-1,0)与 B关于 x=1对称， ∴B（3，0）。 ∵A(-1,0)、B（3，0）和 C（1，4）在抛物线上， ∴

  7. 三、应用举例 所求的二次函数解析式为： 例1、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。 解法二：顶点式 ∵顶点C（1，4） 设解析式为 又∵A(-1,0)在抛物线上， ∴ ∴ a = -1 即： ∴

  8. 三、应用举例 即： 所求的二次函数解析式为： 例1、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。 解法一： 交点式 ∵顶点C（1，4）， ∴对称轴 x=1. ∵A(-1,0)与 B关于 x=1对称， ∴B（3，0）。 ∴ 设抛物线的解析式为 y = a (x+1) (x- 3) 又 C（1，4）在抛物线上 ∴ 4 = a (1+1) (1-3) ∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (x-3)

  9. 评析： 刚才采用一般式、顶点式和交点式求解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。

  10. 三、应用举例 例2、将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。 解法：将二次函数的解析式 转化为顶点式得： (1)、由 向左平移4个单位得： （左加右减） （2）、再将 向下平移3个单位得 （上加下减） 即：所求的解析式为

  11. 四、尝试练习 1、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为 -1，求其解析式。 解：设二次函数的解析式为 ∵ x = 1, y= -1 , ∴顶点（1，-1）。 ∴ 又（0，0）在抛物线上， ∴ ∴ a = 1 ∴ 即：

  12. 四、尝试练习 2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。 解：设所求的解析式为 ∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） ∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴ ∴ a = -1 ∴ 即：

  13. 四、尝试练习 4、将二次函数 的图像向右平移1个单位，再向上平移4个单位，求其解析式。 解：∵ 二次函数解析式为 （1）、由 向右平移1个单位得： （左加右减） （2）、再把 向上平移4个单位得： （上加下减） 即：所求的解析式为

  14. 三、应用举例 例3、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。 （1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。 解：（1）、由图可知：四边形ACBO是等腰梯形 过A、C作OB的垂线，垂足为E、F点。 ∴ OE = BF =（12-8）÷2 = 2。 ∴O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）。 E 设解析式为 F 又 ∵A（-2，2）点在图像上， ∴ a = -0.1 ∴ 即：

  15. 三、应用举例 例3、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。 （1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。 (2)、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。 P 解： ∵ Q ∴ ∴顶点（-6，3.6）, PQ是对称轴。 当水位为2.5米时， y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 ＞ 3.6 ∴ 船不能通过拱桥。

  16. 四、尝试练习 3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？ 分析：卡车能否通过，只要看卡车在隧道正中间时，其车高3米是否超过其位置的拱高。 即当x= OC=1.6÷2=0.8米时，过C点作CD⊥AB交抛物线于D点，若y=CD≥3米，则卡车可以通过。

  17. 四、尝试练习 3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？ 解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，，∴A（-3.6，0）， B（3.6，0），P（0，3.6）。 又∵P（0，3.6）在图像上， 当x=OC=0.8时， ∴卡车能通过这个隧道。

  18. 想一想 5. 刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少? 刘炜跳投

  19. c 探索: 如图，刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少? 分析：要求出他跳离地面的高度，关键是 1.首先要求出该抛物线的函数关系式 ? 2.由函数关系式求出C点的坐标，即求出点C 离地面的高度h， h-0.15米-刘炜的身高即,他跳离地面的高度. h

  20. C 解：建立如图所示的直角坐标系,则抛物线的顶点A(0,3.5),蓝筐中心点B(1.5,3.05) 所以，设所求的抛物线为y=ax²＋3.5 又 抛物线经过点B（1.5，3.05），得 a=-0.2 即所求抛物线为y=-0.2x²＋3.5 y 当x=-2.5时,代入得y=2.25 又2.25-1.9-0.15=0.2m h 所以,他跳离地面的高度为0.2m x o

  21. （1）建立如图直角坐标系， 求点B、D的坐标。 y C D B A x O 6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m． （2）求此抛物线的解析式；

  22. y E C D F B A x O 6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m． （3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km（桥长忽略不计）货车以 40km／h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点E时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？

  23. （2）设抛物线的函数解析式为 由题意可得： 解得： y C D B A x O ∴抛物线的函数解析式为： 解：（1）B（10，0），D（5，3）

  24. (3)解: ∵抛物线的函数解析式 为： ∴E(0，4) 又有题意可得：F（0，3） ∴EF＝1 ∴水位有CD上升到点E所用的时间为4小时。 y 设货车从接到通知到到达桥所用的时间为 t . E 则40（t＋1）＝280 解得：t＝6＞4 C D 故货车按原速行驶，不能安全通过此桥。 F B A x O 设货车速度为x km／h，能安全通过此桥. 则4x+40≥280 解得x≥60 故速度不小于60km／h，货车能安全通过此桥。

  25. y C D B A x O 6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m． （4）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km，货船以 40km／h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在AB处，当水位到达CD时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货船安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？

  26. 五、小结 一般式 顶点式 1、二次函数常用解析式 交点式 平移式 2、求二次函数解析式的一般方法： .已知图象上三点坐标，通常选择一般式。 .已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。 .已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式。 已知图象中发生变化的只有顶点坐标，通常选择平移式。 3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点，恰当地选择一种函数表达式，灵活应用。

  27. 谢谢！

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