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第二篇 集合论

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第二篇 集合论 - PowerPoint PPT Presentation


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第二篇 集合论. 本篇由集合论初步、关系、函数、有限集与无限集等与集合论相关等四部分内容组成,它们间是一个内容关联的整体。. 第四章 集合论初步. 集合论是数学的基础,也是离散数学的基础。故学好集合论十分重要,在本章学习中要掌握:  集合中的一个基本概念  集合中的两种关系  集合中的三种特殊集合  集合中的四种表示方法  集合中的五种运算  集合中的 21 个常用公式. §4.1 集合论基本概念. ( 1 ) 一个主要的概念 —— 集合的基本概念 :一些不同确定的对象全体称集合,而这些对象称集合的元素。

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第二篇 集合论

本篇由集合论初步、关系、函数、有限集与无限集等与集合论相关等四部分内容组成,它们间是一个内容关联的整体。

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第四章 集合论初步

集合论是数学的基础,也是离散数学的基础。故学好集合论十分重要,在本章学习中要掌握:

 集合中的一个基本概念

 集合中的两种关系

 集合中的三种特殊集合

 集合中的四种表示方法

 集合中的五种运算

 集合中的21个常用公式

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§4.1 集合论基本概念

(1)一个主要的概念——集合的基本概念:一些不同确定的对象全体称集合,而这些对象称集合的元素。

(2)集合中的两个关系

 集合间的比较关系:A=B,A≠B,AB,AB。

 集合与元素间的隶属关系:aA,aA。

(3) 三种特殊的集合

 空集

 全集E

 幂集(A)。

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A

A

B

(4) 集合的四种表示法:

 枚举法。即将集合元素一一列举。例:{1, 2, 3,…}

 特性刻划法。即用元素的性质刻划集合。例:{x | p (x)}

 图示法。即用文氏图表示集合及集合间的关系。例:

 运算法。即用已知集合的运算构造新的集合。例:

S=A∪(B∩C)

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(5)集合的五种运算:

 交运算:A∩B

 倂运算:A∪B

 差运算:A-B

 补运算:~A

 对称差运算:A+B

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(6)集合的21个公式:

交换律:

A∪B=B∪A

A∩B=B∩A

结合律:

A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

分配律:

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∩C)

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

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同一律:

A∪=A

A∩E=A

零一律:

A∪E=E

A∩=

互补律:

A∪~A=E

A∩~A=

双补律:

~(~A)=A

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E与 的互补:

~E=

~=E

等幂律:

A∪A=A A∩A=A

吸收律:

A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A

狄·莫根定律:

~(A∪B)=~A∩~B

~(A∩B)=~A∪~B

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§4.5有限集与无限集

(1)有限集与无限集的基本概念

 有限集的两个定义

  集合S与Nn一 一对应

  非无限集即为有限集

 无限集的两个定义

  S与一 一对应函数f:SS使得:f (S)  S

  S存在与其等势的真子集

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(2)有限集

有限集的基数——有限集元素个数

有限集的计数——计算有限集中元素个数

有限集计数的四种方法:

 |A∪B|=|A|+|B|

 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

|S1∪S2∪…∪Sn|=∑|Si|-∑ |Si∩Sj|+ ∑

|Si∩Sj∩Sk|(-1)∑ |S1∩S2∩…∩S n|

n

i=1

1≤i<j≤n

1≤i<j<k≤n

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无限集

(3)四个常用的无限集:

 自然数集N

 整数集I

 有理数集Q

 实数集R

(4) 无限集的势

(5) 无限集分类(按势分类)

自然数集

可列集——基数为0整 数 集

无限集 实数集——基数为  有理数集

更大基数的集——(A)

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幂集、n元有序组与笛卡尔乘积

(7)幂集

 幂集定义:集合A的所有子集所组成的集合,可记为(A)。

 幂集性质:|A|=n 则|  (A) |=2 n

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(8)n元有序组与笛卡尔乘积

n元有序组是一种特殊的集合结构形式,它有两个基本概念与一种基本运算(笛卡尔乘积)。

 基本概念之一:有序偶。例:(a , b)

 基本概念之二: n元有序组。例:(a1 , a2 ,…an)

 基本运算:笛卡尔乘积。例:AB

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第五章 关系

关系研究集合内元素间的关联及集合间元素关联,主要有:

 一个基本概念

 两种表示方法

 三种运算

 九个公式

 五种性质

 六种常用关系

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§5.1 关系基本概念

(1)一个主要的概念——二元关系的基本概念:

关系定义:从集合A到B的关系R是A× B的一个子集。

(2)两种表示方法:

 集合表示法:有序偶的集合

 图表示法:有向图

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§5.2 关系运算

(3)两种运算:

 关系的复合运算

 关系的逆运算

(4)有关运算的五个公式:

复合运算的公式:

(R S ) T=R (S T)

Rm Rn=Rm+n

(Rm)n=Rmn

逆运算的公式:

R=R

(R S)= R S

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§5.3 关系重要性质

(5)关系的五种性质

 关系的自反性

 关系的反自反性

 关系的对称性

 关系的反对称性

 关系的传递性

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(6)六种常用关系

 次序关系之一:偏序关系

 次序关系之二:拟序关系

 次序关系之三:线性次序关系

 次序关系之四:字典次序关系

 相容关系

 等价关系

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i=1

§5.4 闭包运算

(1)关系的闭包运算

  自反闭包 r (R)

  对称闭包 s (R)

  传递闭包 t (R)

(2)闭包的公式:

r(R)=R∪

s(R)= R∪R

t(R)=∪Ri

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§5.5 次序关系

(7)次序关系

 四个定义:

偏序关系:X上自反、反对称与传递的关系称偏序关系

并用‘≤ ’表示。

拟序关系:反自反、传递的关系称拟序关系并用‘< ’表示。

线性次序关系:X上偏序关系R如有x , yx必有x ≤y或y

≤ x则称R是X上线性次序关系。

字典次序关系:有限字母表∑ 上的偏序关系。

如建立∑*上的次序关系:

设x=x1, x2,…xn , y=y1, y2,…ym ;x , y*;x1 , x2,…xn ,y1 , y2 ,…,ym.

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(1)x1≠y1且如x1≤y1则我们说xLy;如y1≤x1,则我们说yLx;

(2)如存在一个最大的K且K<min (n,m),使得x1=y1,x2=y2,…,xk=yk而xk+1=yk+1,如果xk+1≤yk+1 ,则我们说xLy;如yk+1≤xk+1 ,则我们说yLx;

(3)如存在一个最大的K=min (n,m),使得x1=y1,x2=y2,…,xn=yn ,此时如n≤m,则我们说xLy;如m≤n,则我们说yLx。

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 四个次序关系间的关系:

  R是拟序则r (R) = R

  R是偏序则R-Q是拟序

  字典次序关系必为线性次序关系

  R是拟序则必反对称

 八个概念:

  最大元素(最小元素)

  极大元素(极小元素)

  上界(下界)

  上确界(下确界)

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§5.6 相容关系

(8)相容关系

 相容关系定义——X上自反、对称关系称相容关系并用“≈”表示 。

 相容关系的极大相容块——设有集合X上的相容关系≈,设A是X的子集,如A中任何元素都互为相容,且X—A中的任何元素没有一个与A中的所有元素相容,则称A是X中的极大相容性分块。

 相容关系完全覆盖——X上相容关系≈,它的极大相容性分块的集合称X的完全覆盖。

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§5.7 等价关系

(9)等价关系

 等价关系定义——X上自反、对称、传递的关系称等价关系。

 等价类——R是X上等价关系,对xX可构造一个X的子集[x]R称为x 对R的等价类。

 划分——S的子集A1,A2,…An满足:① Ai均分离(i=1,2,…,n) ② A1∪A2∪…∪An=S则A={A1,A2,…,An}为S的划分,而Ai称为划分的块(i=1, 2,…n)。

 商集——X上等价关系R所构成的类产生X的划分叫X关于R的商集记以X/R。

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第六章 函数

函数是一种特殊的关系,它在数学中具有普遍重要价值,函数主要内容有:

 一个基本概念

 两种基本运算

 三种性质函数

 四种常用函数

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§6.1 函数的基本概念

(1)一个基本概念——函数的基本概念。

函数建立了从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。设有集合X与Y,如果我们有一种对应关系f,使X的任一元素x能与y中的一个唯一的元素y相对应,则这个对应关系f叫从X到Y的函数或叫从X到Y的映射。x所对应的y内的元素y叫x的像,而x则叫y的像源。上述函数我们可以表示成f:XY;或写成XY;以及y=f(x)。

(2)三种不同性质函数:

 满射与内射

 一对一与多对一

 一一对应(双射)

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X Y

X Y

X Y

g

f

h

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

x1

x2

x3

x4

x5

y1

y2

y3

y4

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

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从图中可以看出函数f使得Y中的每个元素均有X中的元素与之对应,这种函数叫做从X到Y上的函数,否则叫做从X到Y内的函数。

从图中可以看出,函数g使得不但X中的每一个元素xi唯一对应一个Y中的一个元素yj,而且也只有一个xi对应yj,也就是说一个像只有一个像源与之对应,这种函数叫做一对一的函数,否则叫做多对一的函数。

从图中可以看出,函数h使得X与Y间建立了—一对应的关系,这种函数叫X与了间—一对应的函数。

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§6.2 复合函数、反函数、多元函数

(3)两种运算:

 复合运算(复合函数)设函数f:XY,g:YZ则复合函数h=gf:XZ是一个新的函数。

定义:设函数f:XY,g:YZ,它们所组成的复合函数或叫复合映射gf,也是一个函数h:XZ,即:

h=g f:{(x , z)|xX , zZ且至少存在一个yY,有y=f(x),z=g(y)}.

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Y

g

f

X

Z

h

y1

y2

x1

x2

x3

z1

z2

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 逆运算(反函数)

定义:设f:XY是—一对应的函数,则f所构成的逆关系叫f的逆映射或叫f的反函数,记以f—1:Y  X

(4)函数分类:

 一元函数:f (x)

 二元函数:f (x , y)

 多元函数:f (x1, x2 , …xn )

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§6.3 常用函数

(5) 四种常用函数

 常值函数:f (x)=b

 恒等函数:f (a)=a

 单调递增函数与严格单调递增函数:

 单调递减函数与严格单调递减函数 :

1 aA’

 特征函数: f (a)=

0 aA’

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