제 6 장 이산시간 시스템

1. 제6장이산시간 시스템

2. 1. 서론 • 이산시간 시스템 • 이산시간신호를 처리하기 위한 장치 • 이산시간 시스템의 구성 (6-1) 여기서와 는 배율기(multiplier)이고, D 는 지연요소(delay element)이다. 그림 6-1. 이산시간 시스템의 예

3. 2. 차분방정식(difference equation) • 이산시간 시스템의 차분방정식 • 일 때의 차분방정식 • 초기조건(initial condition)이 포함되어야 함 (6-2) 여기서 와 는 상수 또는 n의 함수이다. (6-3)

4. 예제 6-1 이동평균(moving average) • 차분방정식의 간단한 예로서 다음 식을 생각하자. • 인 경우, • 비순환형(non-recursive) 차분방정식 • n ≥ 0일 경우x(-1) 및 x(-2)의 값이 초기조건으로 필요 (6-4)

5. 예제 6-2 적분(integration) • 인 경우, 사다리꼴 법칙(trapezoidal rule)이 적용됨 • n ≥ 0일 경우x(-1) 및 y(-1)의 값이 초기조건으로 필요 (6-5) (6-6)

6. 3. 선형 시불변 이산시간 시스템 • 이산시간 시스템의 분류 • 비선형, 시불변(time-invariant), 시변(time-varying) 시스템 • 이산시간 시스템의 입력열과 출력열의 관계 • 상승적분 합 (6-7) 여기서 은 시스템의 임펄스 응답이다. 그림 6-2. 이산시간 시스템의 기능적 관계

7. 선형시스템을 위한 조건 • 이산시간 시스템이 중첩(superposition)의 성질을 나타냄 • 시불변 시스템을 위한 조건 • 이산시간시스템의 출력이 입력이 적용된 시간에 독립적 (6-8) (6-9)

8. 선형 시스템과 비선형 시스템 • 선형차분방정식으로 묘사되는 시스템은 선형시스템으로 적용 • 비선형 시스템의 예 (6-10) (6-11)

9. 이산시간 시스템의 형태와 전달함수 • 이산시간 시스템의 차분 방정식 • z-변환 후의 차분 방정식 (6-12) (6-13)

10. (6-14) • 전달함수의 유추 • bk가 0일 경우 • 임펄스 응답에 따른 시스템 응답의 분류 • h(k)가 유한한 LTI 시스템을 유한 임펄스 응답 (finite impulse response; FIR)이라 정의 • 분모의 계수가 적어도 한 개는 0이 아닌 경우 무한 임펄스 응답(infinite impulse response; IIR)라정의 (6-15) (6-16) 여기서 는 임펄스 응답(impulse response)를 나타내고, 로 표시한다

11. 이산 시간 시스템의 임펄스 응답 • H(z)를 역 z변환하여 획득 • H(z)가 멱급수로 표현된다면, • z의 계수가 임펄스 응답임 (6-17)

12. 시스템에서의 임펄스 응답 • 임펄스 응답은 단위 임펄스(unit inpulse)에 대한 이산 시간 시스템 응답으로 여겨짐 • 즉, 일 때, (6-19)

13. 예제 6-3 • 다음의 전달함수 H(z) 로부터 이산시간 필터의 임펄스 응답을 찾아라. • 멱급수 방법을 사용한 임펄스 응답

14. 차분 방정식을 사용한 임펄스 응답 • 임펄스 응답을 로 두고, 초기조건은 y(-1)=0로 둠 • 임펄스 응답

15. 예제 6-4 • 식 (6-1)의 필터를 다시 생각해 보자. 이 필터의 전달함수와 임펄스 응답을 구하라. • (6-1)의 z변환과 그에 따른 정리 • 역 z 변환 (6-20) (6-21)

16. 초기 조건이 y(-1) 이 0일 경우, • 디지털 필터의 전달함수 • 역 z 변환 (6-22) (6-23) (6-24)

17. 안정도(stability) • 안정도 척도 • 모든 제한된 입력은 모든 제한된 출력을 낸다 (bounded input, bounded output; BIBO) • 증명 • x(n)가 유한일 때 모든 n에 대해 |x(n)|<Bx를 만족하는 +∞가 아닌 양수 Bx가 존재함으로 다음의 수식 성립 (6-25) 여기서 는시스템의 임펄스 응답이다. (6-26)

18. x(n)이 유한(bounded)하기 때문에, • 수식 (6-26)의 정리 • y(n)이 유한(bounded)하기 위한 필요충분조건(necessary and sufficient condition)은 다음의 수식과 같음 (6-27)

19. 안정도 판별법 • z변환 H(z)가 인수분해 형태가 불가능한 경우 • 연속데이터 시스템에서 루스-허위츠(Routh-Hurwitz) 판별법은 안정도 경제 조건이 다르기 때문에 z평면에서 적용 불가능 • 주리(Jury)의 안정도 판별법과 이를 표로 만든 레이블(Raible)의 안정도 판별법 적용가능 • 레이블의 안정도 판별법 • 일반적인 전달함수 (6-28) 여기서 은 실수 계수이며, 은 양수이다.

20. 레이블 안정도 판별법을 위한 테이블(tabulation) • 첫 번째 열의 요소는 단위 원 안과 밖의 근의 개수 • 양의 요소는 단위 원 내의 근의 개수 • 음의 요소는 단위 원 밖의 근의 개수 표 6-1. 안정도 판별을 위한 레이블의 표(Raible's tabulation)

21. 특이(singular) 경우 • 첫 번째 열의 일부 혹은 모든 요소가 0 일 때, 테이블이 바로 끝나는 경우 • 단위 원을 무한소로 확장 또는 수축하여 이를 해결 • z를 다음과 같이 치환 • n차일 경우, (6-29) 여기서 은아주 작은 실수이다. (6-30)

22. 예제 6-5 • 다음의 디지털 시스템의 특성 방정식의 안정도를 판별하라. • 레이블 테이블 적용 • 첫 번째 열의 계수 b0와 c0가모두 양수 임으로 두 근이 단위 원 내부에 존재

23. 예제 6-6 • 다음의 디지털 시스템의 특성 방정식의 안정도를 판별하라. • z = -0.5, -0.8, -2,0에서근을 가짐 • 레이블 테이블의 적용 • 특이의 경우 임으로 아래와 같이 정리 (6-31)

24. 레이블 테이블의 적용 • 아래의 관계에서 가 양수이든 음수이든 첫 번째 열에서 음수 값을 가지는 요소가 하나 있기 때문에 단위 원 밖에 근이 하나 존재 하며 단위 원 위에는 근이 없음

25. (6-32) • 예제 6-7 • 다음의 디지털 시스템의 특성 방정식의 안정도를 판별하라. • 식 (6-27)과 식 (6-28)을 이용하여 아래의 식으로 변환 • 이상의 항을 무시하여 레이블 테이블 적용 • 모두 일 때양의 값을 가지며, 일 때 음의 값을 가짐으로 세 개의 근은 단위 원 위에 존재함

26. 4. 극점-영점의 도시 • 시스템 전달함수의 극점과 영점 표현 • N=M이며, H(z)가 z = p1, p2,…,pN에서극점을 가지고, z = z1, z2,…, zN에서 영점을 가질 때, • H(z)의 극점과 영점은 실수 혹은 복소수이며, 복소수는 항상 켤레 복소수 쌍(complex conjugate pair)로 존재 (6-33) 여기서 는 이득 인수이다.

27. 극점 z = 0.5 ± j0.5와z = 0.75를 가지고 z = -1에서 영점을 가지는 H(z)의 표현 • K는 |H(z)|의 최대값이 1로 정규화 되도록 구해져야 함 • 안정한 시스템은 모든 극점이 단위 원 (|z| = 1) 안에 있어야 함 그림6-3. 변환에서의 극점과 영점의 표현

28. 예제 6-8 • 극점과 영점의 항으로 다음의 전달 함수를 표현하고, 극점-영점을 도시하라. • 양의 차수로 H(z)를 표현 • z = 0.5 ± j0.5와z = 0.75에서 극점을 가지고, z = 2, z = -1과 z = 0에서 영점을 가짐 그림6-4. 예제 6-8의 극점과 영점

29. 예제 6-9 • 그림 6-5에 보여진 극점-영점 도시로부터 이산 시간 시스템의 전달 함수, H(z)를 결정하라. • 영점은 z = ± j에있고, 극점은 z = 0.5 ± j0.5에 있음 • 여기서 K=0.2236 그림6-5. 예제 6-9의 극점과 영점

30. 5. 주파수 응답 • 시스템의 주파수 응답 • 이산 필터의 설계에서 원하는 사양을 만족되는지 확인을 위해 필터 스펙트럼이 필요 • 직접 계산에 의한 방법과 기하학적 계산에 의한 방법이 사용 (6-34)

31. 예제 6-10 • 다음의 이산시간 시스템의 주파수 응답특성을 구하라. • 전달함수 H(z)에 를대입후 오일러 공식 (Euler’s formular) 적용 • 를 대입

32. 에서 이므로, • 에서 까지의 모든 주파수에 대한 응답 계산 가능 • 편의상 과 에서 계산을 하면

33. 은 샘플링 주파수의 반에 대하여 대칭이고, 위상 응답은 비대칭임 그림6-6. 예제 6-10의 이산시간 시스템의 주파수 응답

34. 그래프 방법을 통한 주파수 응답의 계산 • 시스템은 z = -1과 z = 0.5에서영점과 극점을 가짐 • z0에서 H(z)를 다시 표현 • 진폭 및 위상 응답 그림6-7. 극점과 영점, 기하학적인 방법을 이용한 주파수 응답 평가

35. 6. 시스템 구현 • 이산 시간 시스템의 구현 • 실제 디지털 회로를 사용한 하드웨어 구현 • 일반적 컴퓨터 혹은 마이크로 프로세서를 위한 구현 • 일반적인 신호처리에서의 구현 그림6-8. 이산시간 시스템 구현에서의 기본적인 기능들(a) 단위지연, (b) 덧셈 또는 뺄셈기, (c) 상수 배율기, (d) 분기 연산, (e) 신호 배율기

36. (6-35) • 단위 지연 연산 (unit delay) (그림 6-8(a)) • 덧셈기 또는 뺄셈기 (adder/subtractor) (그림 6-8(b)) • 상수배율기(constant multiplier) (그림 6-8(c)) • 분기 (branching) (그림 6-8(d)) • 신호배율기 (signal multiplier) (그림 6-8(e)) (6-36) (6-37) (6-38) (6-39)

37. 직접구현 • 기본적구현 형태를 위한 일반적 전달함수 • 직접형 1(direct form 1) • 일반적 전달함수의 차분 방정식 (6-40) (6-41)

38. 직접형 1의 구현 그림6-9. 직접형 1의 구조

39. 직접형 2(direct form 2) 혹은 정규형 (canonic form) • 분자항과분모항의 조합 • 새로운 변수 를 사용한 정의 • 수식 (6-43)과 (6-44)의 역변환 (6-42) (6-43) (6-44) (6-45) (6-46)

40. 직접형 2의 구현 그림6-10. 직접형 2의 구조

41. 예제 6-11 • 아래의 전달함수로 표현되는 시스템에 대해 (a) 직접형 1과 (b) 직접형 2로 각각 구현하라. • 직접형 1 구현을 위한 차분 방정식 형태 • 직접형 1의 구현 그림6-11. 예제 6-11의 시스템 구조 (a) 직접형 1 구현, (b) 직접형 2 구현

42. 직접형 2 • 직접형 2의 구현 그림6-11. 예제 6-11의 시스템 구조(a) 직접형 1 구현, (b) 직접형 2 구현

43. 매개변수의 양자화 영향 • 일반적인 매개변수 양자화 오차 원인 (a) 입력 신호를 유한 개수의 이산 단계로 만드는 양자화 • 양자화오차로써 입력 신호를 유한개의 이산 단계로 양자화에 의해 발생 (b) 시스템 내의 산술연산에서 반올림(rounding) 오차들의 누적 • 산술 연산 과정에서 반올림 오차의 누적에 기인 (c) 유한 개수의 비트(bit)로 표현되는 전달 함수의 계수 ai와 bi 의 양자화 • 표본화 율이 전달함수의 주파수 범위에 비해 증가하거나 차분 방정식의 차수가 증가하는 경우

44. 계수의 양자화 영향 • IIR 필터의 전달함수 • 유한 비트수로 양자화 될 때, 양자화된 계수 와 로 전환 (6-47) ^ ^ (6-48) 여기서 이고, 이다.

45. 계수 양자화 오차의 영향 • 디지털 필터의 전달함수 • 한 개의 근이 z = 0.95 안에 있음으로 안정 • 양자화 간격의 크기를 q = 0.125로가정 • 계수 0.95는 0.875와 1 사이에 있음으로 1로 바뀌게 되며, 전달함수는 • 불안정한 시스템으로 바뀜

46. 직렬 및 병렬 구현 • 복잡한 전달함수를 몇 개의 단순한 함수로 분해 • 제한된 계수의 정확도를 가져야 하는 특수 목적의 경우 전달 함수의 차수가 늘어감에 따라 커지는 양자화 오차를 최소화 • 직렬형(cascade canonic form 또는 series from)의분해 • 대부분의 경우 일차 혹은 이차로 표현됨 • 일차의 형태 • 이차의 형태 (6-49) (6-50) (6-51)

47. 직렬 구현의 일반적 배치와 직접형 2 구현을 사용한 구성 그림6-12. 직렬 구현 형태 그림6-13. 직렬 구현에서 각 전달함수의 구현(a) 1차, (b) 2차 구현

48. 병렬형 (parallel canonic form)의분해 • 일차 형태 • 이차 형태 (6-52) (6-53) (6-54)

49. 병렬 구현의 일반적 배치와 직접형 2 구현을 사용한 구성 그림6-14. 병렬 구현 형태 그림6-15. 병렬 구현에서 각 전달함수의 구현(a) 1차, (b) 2차 구현

50. 예제 6-12 • 다음의 시스템을 (a) 직렬 구현 및 (b) 병렬 구현하라. • 직렬 구현에 있어 일차 식으로 분해한 구현 • 양의 차수 사용 • 인수 분해 적용 • 그룹을 나눈 후 음의 차수로 변환