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15.2. 乘法公式

15.2. 乘法公式. 平方差公式. 探究 1 :. 计算下列多项式的积 , 你能发现什么规律 ? (x+3)(x-3)= ; (m+2)(m-2)= ; (2x+1)(2x-1)= ;. x 2 -9. = x 2 -3 2. m 2 -4. = m 2 -2 2. = ( 2x ) 2 -1 2. 4 x 2 -1. [ 想一想 ]: 这几道题目有什么共同特点 ? 从计算结果你能发现什么规律 ?. a 2 -b 2. 猜想 :(a+b)(a-b) = ?. (a+b)(a-b) =. a 2 -ab+ab+b 2. 证明 :.

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15.2. 乘法公式

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Presentation Transcript

  1. 15.2.乘法公式 平方差公式

  2. 探究1: • 计算下列多项式的积,你能发现什么规律? • (x+3)(x-3)=; • (m+2)(m-2)=; • (2x+1)(2x-1)=; x2-9 =x2-32 m2-4 =m2-22 =(2x)2-12 4x2-1 [想一想]:这几道题目有什么共同特点? 从计算结果你能发现什么规律? a2-b2 猜想:(a+b)(a-b)=? (a+b)(a-b)= a2-ab+ab+b2 证明: =a2-b2

  3. (2)将阴影部分拼成右图的一个长方形,这个长 方形的长是____,宽是____,面积是_________. 探究2: 如图15.3 – 1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a＞b).则 (1)图中阴影部分的面积为________. a2-b2 (a+b) (a-b) (a+b)(a-b) (3)比较(1)(2)的结果即可得到: (a+b)(a-b)=a2-b2

  4. 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 公式的结构特征: (1)左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数. (2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方). (3)公式中的a,b可以代表数,字母,单项式或者多项式.

  5. 例题解析 (a + b) (a - b) = a2 - b2 【例1】运用平方差公式计算： (1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b) (3) (-x+2y)(-x-2y) (4) (a-b+c)(a-b-c)

  6. - ( ) ( ) + 分析: (a + b) (a - b) = a2 - b2 ⑴ (3x+2)(3x-2) 3x 2 (3x)2 2 3x - = 22 a a b = a2 - b2 b 用公式关键是识别公式中的两数a, b.

  7. 位置变化！ (a + b) (a - b) = a2 - b2 解: 3x ⑴ (3x+2)(3x-2) 2 3x 2 (4) (a-b+c)(a-b-c) - (3x)2 22 = = 9x2 - 4 +2a ⑵ (b+2a)(2a-b); 2a b -b 2a 2a =(2a+b)(2a-b) b b =(2a)2 b2 - =4a2 – b2 (3) (-x+2y)(-x-2y) = (-x)2-(2y)2 = x2-4y2

  8. 变一变，你还能做吗？ = (-3x)2-22 变式一(－3X＋2)(－3X－2) 变式二(－3X－2)(3X－2) =(-2)2-(3x)2 变式三 (－3X＋2)(3X＋2) =22-(3x)2 注意 当“a”或“b”是一分数 或是负数 或是数与字母的乘积 时,要用括号把这个数整个括起来. 最后的结果又要去掉括号。

  9. 口答计算

  10. 纠 错 练 习 1.指出下列计算中的错误： • (1+2x)(1−2x)=1−2x2 • (2) (2a2+b2)(2a2−b2)=2a4−b4 • (3) (3m+2n)(3m−2n)=3m2−2n2 第二数被平方时，未添括号。 第一数被平方时，未添括号。 第一数与第二数被平方时，都未添括号。

  11. 考考你 2、判断下列式子是否可用平方差公式。 (1)(-a+b)(a+b) (2) (-a+b)(a-b) (3)(a+b)(a-c) (4)(2+a)(a-2) （5） （6） (1-x)(-x-1) （7 ）(-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 是 否 是 否 是 是 是

  12. 3.请你判断下列计算对不对？为什么？ (1) (x2+2)(x2-2)=x4-2 ( ) (2)(4x-6)(4x+6)=4x2-36 ( ) (3) (2x+3)(x-3)=2x2-9 ( ) (4) (5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1 ( ) (5) (mn-1)(mn+1)=mn2-1 ( ) × × × √ ×

  13. (a+b)(a−b) = a2−b2. 练习4 运用平方差公式计算： 1.(200 + 5) (200 - 5) 2.(1 + 3b)(1 - 3b) 3.(4a + 3)(4a - 3) 4.(3x + 2y2)(3x - 2y2) 5.[(x + y) + z] [(x + y) –z ] = 200 2- 52 = 12 - (3b)2 = (4a)2 - 32 = (3x)2- (2y²)2 = (x+y)2 - z2

  14. 随堂练习 5.利用平方差计算: (1) (3a+2b)(3a-2b) (2) (a5-b2)(a5+b2) (3) (a+2b+2c)(a+2b-2c) (4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

  15. 例题解析 例2 计算： ⑴ 102 ×98; ⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5); (3) (a+3)(a-3)(a2+9) (4) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) (5) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

  16. 谁是a? 谁是b? ⑴ 102 ×98 102 98 = (100+2) (100-2) = 1002-22 = 10000-4 = 9996

  17. ⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) y 2 y 2 y 1 y 5 = y2- 22 - (y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = -4y+1

  18. 提高能力 例2 计算： (3) (a+3)(a-3)(a2+9) (4) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) (5) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

  19. 挑战极限 运用平方差公式计算： (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) … (22n+1)

  20. 考考你 1.将下列各式变形为可利用平方差公式计算的形式： 1) (a+2b+3)(a+2b-3) 2) (a+2b-3)(a-2b+3) 3) (a-2b+3)(a-2b-3) 4) (a-2b-3)(a+2b-3) 5) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c) 6) (x+y+m+n)(x+y-m-n) [(a+2b)+3][(a+2b)-3] [a+(2b-3)] [a-(2b-3)] [(a-2b)+3] [(a-2b)-3] [(a-3)-2b] [(a-3)+2b] [(-5b)+(3a-2c)] [(-5b)-(3a-2c)] [(x+y)+(m+n)][(x+y)-(m+n)]

  21. 2、利用平方差公式计算： 1、(b + 2a )(2a - b) 2、(- 4a - 1)(4a - 1) 3、(3 + 2a)( - 3 + 2a) 4、( -0.3x - 1)( -0.3x + 1) 5、[x + (y + 1)] [x - (y + 1)] 6、(a + b + c) (a + b - c) 7、(a + b + c) (a – b + c) 8、(x + 3) (x - 3) (x2 + 9) (x4 + 81) 考考你 4a2－b2 前4题口答，后四题板演 1－16a2 4a2－9 0.09x2-1

  22. a2-b2=(a+b)(a-b) 逆向思维训练： 1、 ( )( ) = n2 - m2 2、( )( )= 4x2 - 9y2 3、( )( ) = 25 - a² n + m n - m 2x - 3y 2x + 3y 5 + a 5 - a

  23. 例题解析 说明:平方差公式也可以逆用, 即:a2-b2=(a+b)(a-b)

  24. 补充练习 1.下列多项式相乘，正确的有( ) (1)(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2 (2)(a-b+c)(-a+b-c)=b2-(a+c)2 (3)(a-b+c)a-b-c)=a2-(b-c)2 (4)(a+b-c)(a-b+c)=(b-c)2-a2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个 A

  25. 2、巧算：99×101× 10001 3、计算： 1002-992+982-972+….+22-12 4、已知：(m+35)2=13302921, 求(m+45)(m+25)的值。

  26. 例4： 解方程: 6x+7(2x+3)(2x-3)-28 解：6x＋7（4x2－9）－28（x2－1/4)=4 6x+28x2-63-28x2+7=4 6x=63-7+4 6x=60 ∴x=10

  27. X32－1 X－1 知识拓展: 1.你能运用平方差公式编３个因式，使其积等于 x4 - y4吗？ ( )( )( )=x4 - y4 X－y X2＋y2 X＋y 2.你能运用平方差公式编若干个因式，使其积等于216－１吗？ ( )( )….( )=216 - 1 22＋1 2＋1 28＋1 3.你会计算下列各式吗？ (1)(2+1)(22 +1)(24 +1)(28 +1) (2)(3+1)(32 +1)(34 +1)(38 +1)(316 +1) (3)(x+1)(x2 +1)(x4 +1)(x8 +1)(x16 +1) 216－1 0.5（332－1）

  28. 小 结 1. 试用语言表述平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2。 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 2. 应用平方差公式时要注意一些什么？ 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相同 的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式； 3. 对于不符合平方差公式标准形式者， 要利用加法交换律， 或提取两−”号中的“−”号， 变成公式标准形式后，再用公式。

  29. =(√19 )2 – (√7 )2 解:(√19 - √7 )(√19 + √7 ) 拓广探索 一个长方形的长为 （√19 + √7）厘米，宽为（√19 - √7） 厘米，它的面积是多少？ = 19 - 17 = 2 (平方厘米)

  30. 5.计算： 1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y) 2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x) 3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1) 4) (x+ )(x2+ )(x- ) 解：1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y) = (y2-4) –(9-y2) = y2-4 –9+y2 = 2y2-13

  31. 5.计算： 1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y) 2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x) 3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1) 4) (x+ )(x2+ )(x- ) 解：2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x) = –3x(x2-1) - x(4-9x2) = –3x3+3x – 4x+9x3 = 6x3-x

  32. 5.计算： 1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y) 2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x) 3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1) 4) (x+ )(x2+ )(x- ) 解:3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1) = -4(4y2- )+3(4y2+2y-6y-3) = -16y2+1+12y2-12y-9 = -4y2-12y-8

  33. 5.计算： 1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y) 2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x) 3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1) 4) (x+ )(x2+ )(x- ) 解：4) (x+ )(x2+ )(x- ) = [(x+ )(x- )](x2+ ) = (x2- )(x2+ ) = x4-

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