建模与仿真

1. 建模与仿真 第二章 复杂系统的建模 第二章补充材料

2. 第一节 概述 一 随机数的产生方法 1.均匀分布随机数的产生 产生(0, 1)均匀分布随机数的方法很多,大致可归纳为三大类: 1）利用专门的随机数表。 这种随机数随机性和均匀性较好，但是很难产生和存储足够大的随机数表，而仿真有时需要大量的随机数。

3. 2）物理方法产生随机数 例如放射粒子计数器，电子管或晶体管噪声发生器等。这种随机数随机性和均匀性都很好，而且可以产生任意多个随机数。缺点是没有可重复性，难以对程序和仿真的正确性作检查。

4. 3）数学方法产生随机数 常用的方法有：平方取中法和线性同余法。

5. i.平方取中法： 平方取中法是四十年代由冯·诺依曼和梅特罗波利斯(Von Neuman and Metropolis)提出的。其基本思想是任取一个N位整数作为初值，将初值平方，得到一个2N位的整数，如果初值的平方不是2N位时，高位用0补齐，取中间N位作第一个随机数。

6. 将第一个随机数平方取中间N位即得第二个随机数，以此类推可得到一系列随机数。平方取中法虽然简单，但周期较短，产生的随机数的统计性质不好，若初值取得不恰当，还会发生退化现象。所以必须注意初值的选取。 。

7. ii.线性同余法 当今应用的大多数随机数发生器是采用线性同余法。使用线性同余法必须事先提供三个参数；l，u，m．其迭代公式为： xi+1＝(λxi+μ)(mod m)

8. 其中，i＝1，2，…λ≠0 。 这里A称为乘子，μ为增量，m为模。在式中，若给定初值x0(称为种子)，就可迭代算出均匀随机数序列x1、x2、……，将它们除以m，即可得到(0，1)区间均匀分布的随机数xi 。

9. 当μ≠0、λ=1时称为加同余法；当μ=0且λ≠1时，称为乘同余法；当λ≠1且μ≠0时称为混合同余法。乘同余法的迭代公式为：当μ≠0、λ=1时称为加同余法；当μ=0且λ≠1时，称为乘同余法；当λ≠1且μ≠0时称为混合同余法。乘同余法的迭代公式为： xi+1=λxi(mod m)

10. 例如用乘同余法产生随机数，其中λ=19，m=100，x。＝11，按下面步骤计算：例如用乘同余法产生随机数，其中λ=19，m=100，x。＝11，按下面步骤计算： 第i步 xi-1 λxi-1 λxi-1(mod m) 1 11 209 9 2 9 171 71 3 71 1349 49 4 49 931 31 5 31 589 89

11. 由于模数m的位数有限，这使得产生的随机数序列到了一定长度后，总会出现重复循环序列的现象。把重复循环序列的长度称为周期，用L表示(L≤m)，要使周期足够的长，必须选择适当的参数λ，x。及m之值。由于模数m的位数有限，这使得产生的随机数序列到了一定长度后，总会出现重复循环序列的现象。把重复循环序列的长度称为周期，用L表示(L≤m)，要使周期足够的长，必须选择适当的参数λ，x。及m之值。

12. 对于二进制计算机，参数m、λ和x。可按下列规则选取。对于二进制计算机，参数m、λ和x。可按下列规则选取。 m的选择：为了获得较长的周期L，希望m取得足够大。当计算机的尾数字长为P时，取m＝2P，其最大可能周期L＝2P-2，且计算方便，当以m为模操作时，只需作简单的移位操作即可。

13. A和xo的选择：为了能得到最大可能周期L：2p-2，选λ=8K土3(K为正整数)，λ值不宜取得过小，当λ选取得和2p/2接近时，可保证连续产生的两个随机数之间只有弱相关。xo应不为2的倍数，因此选xo为奇数。A和xo的选择：为了能得到最大可能周期L：2p-2，选λ=8K土3(K为正整数)，λ值不宜取得过小，当λ选取得和2p/2接近时，可保证连续产生的两个随机数之间只有弱相关。xo应不为2的倍数，因此选xo为奇数。

14. 一般的通用编程语言都有生成（0，1）之间随机数的函数。一般能够满足要求不太高的仿真要求一般的通用编程语言都有生成（0，1）之间随机数的函数。一般能够满足要求不太高的仿真要求

15. 二、几种重要的概率分布 先讲一下随机变量的概率分布函数的概念. 随机变量的概率分布函数： 若X是一随机变量，x是任意实数，函数 F（x）=P（X<=x）称为随机变量X的概率分布函数

16. 对随机变量X的概率分布函数 F（x），若存在非负的函数f(x)，使得对任意实数x均有： 则称f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数

17. 常见的几种概率分布如下: 1.均匀分布

19. 2.正态分布(高斯分布) 1 f(x)= 2πσ

21. 3指数分布 X的概率分布函数为

22. X的概率分布函数为

23. 前面几种分布都是连续性随机变量的概率分布，下面的是离散型随机变量的概率分布。前面几种分布都是连续性随机变量的概率分布，下面的是离散型随机变量的概率分布。 4．泊松分布 若离散型随机变量的概率分布为

24. 其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记作X~Poisson(λ).其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记作X~Poisson(λ). 参数为λ的泊松分布随机变量的均值及方差都是λ，其概率分布图形如下：

25. 泊松分布常见于排队服务系统中，t时间内到达系统的顾客数目X服从参数为λ的泊松分布，即泊松分布常见于排队服务系统中，t时间内到达系统的顾客数目X服从参数为λ的泊松分布，即

26. 这种顾客到达模式又称为最简单流。它满足下面的三个条件：这种顾客到达模式又称为最简单流。它满足下面的三个条件： 1）平稳性：在某个时间区间内，有k个顾客到达的概率仅与时间间隔长短有关，而与这段时间的起点无关。 2）无后继性：在某个时间区间内，到达的顾客数目与以前来到的顾客数目无关，也不影响以后到达的顾客数目。 3)普通性：不可能有两个或两个以上顾客同时到达系统。

27. 三、非均匀分布随机数的产生 均匀分布随机数是随机数中最简单和最基本的。借助于均匀分布随机数可以产生出其它分布的随机数。

28. 已知一个随机变量的概率分布函数，可借助于(0，1)区间上均匀分布随机数来产生具有已知概率分布的随机数。用这种方法产生随机数的过程中要用到概率分布函数的逆函数，所以称作逆变换法。逆变换法既可用于连续随机数的产生，也可用于离散随机数的产生。已知一个随机变量的概率分布函数，可借助于(0，1)区间上均匀分布随机数来产生具有已知概率分布的随机数。用这种方法产生随机数的过程中要用到概率分布函数的逆函数，所以称作逆变换法。逆变换法既可用于连续随机数的产生，也可用于离散随机数的产生。

29. 连续随机数 设需要产生分布函数为F(x)的连续随机数X，若已有(0，1)区间上均匀分布随机数R，则产生x的逆变换公式为：F（x）=r 即x=F-1(r)

30. 这个式子)的直观意义如下图所示。若给定(0，1)区间均匀随机数R的一个值ri，则按曲线x=F-1(r)可以在x轴上取得相应的xi= F-1(ri)。对于一系列(0，1)区间均匀分布随机数ri (i＝1，2，…，n)可以在x轴上得到n个相应 点x

32. 例如要产生(a，b)区间均匀分布随机数，由于(a，b)区间均匀分布随机变量X的概率密度函数和概率分布函数分别为：例如要产生(a，b)区间均匀分布随机数，由于(a，b)区间均匀分布随机变量X的概率密度函数和概率分布函数分别为：

34. 令r=(x-a)/(b-a) (0≤r≤1) 则：x=F-1(r)=a+(b-a)r 所以要产生(a，b)区间均匀分布随机数，只须按此式编一子程序，并调用(0,1)区间上的均匀分布随机数产生子程序即可。

35. 又例如要产生参数为λ的指数分布随机数，由于指数分布随机变量X的概率分布函数为：又例如要产生参数为λ的指数分布随机数，由于指数分布随机变量X的概率分布函数为：

36. 则：x=F-1(r)=-1/λln（1-r） 其中，r是(0，1)区间上的均匀分布随机数，那么(1一r)也是(0，1)区间上均匀分布随机数，故伤式可简化为：x= -1/λlnr 指数分布随机数的均值为1/λ，若λ=1，则x= - lnr

37. 再看如何产生参数为m的韦伯尔分布的随机数，服从韦伯尔(Weibull)分布的随机变量X的概率分布函数为：再看如何产生参数为m的韦伯尔分布的随机数，服从韦伯尔(Weibull)分布的随机变量X的概率分布函数为：

38. 若r*是(0，1)区间均匀分布的随机数，则1- r*也是(0，1)区间均匀分布随机数，故令r=1- r*,r=e-xm有： x=(-lnr)1/m

39. 离散随机数 上述方法也可用来产生离散分布的随机数x,设X的可能取值为xi，其密度函数为： pk＝P(X=xk)， k=1，2，3，.．． 其分布函数为：

40. 用此方法产生离散分布随机数的实现过程是；先产生(0，1)区间均匀分布随机数r，再计算满足下式的K值，则xk即为所需随机数。用此方法产生离散分布随机数的实现过程是；先产生(0，1)区间均匀分布随机数r，再计算满足下式的K值，则xk即为所需随机数。 F（xk-1）<r≤F(xk)

41. 下图是用逆变换产生离散分布随机数的示意图。下图是用逆变换产生离散分布随机数的示意图。

42. 同时也不难看出，按上法产生的离散分布随机数的密度函数为pk同时也不难看出，按上法产生的离散分布随机数的密度函数为pk P（x＝xk）＝P[F(xk-1) <r≤F(xk)]＝F(xk)-F(xk-1)＝pk a) 产生取值可能为0，1，2，3，4的离散分布随机数，其密度函数为

43. pk＝(k+1)／15 k＝0，1，2，3，4

44. 该随机数的分布函数示于上图，从图中可见，每产生一个(0，1)区间的均匀随机数r，将它依次与F(xk)(k＝0，1，2，3，4)相比较，若它位于F(xk-1)与F(xk)之间，则k即为所需的一个随机数。该随机数的分布函数示于上图，从图中可见，每产生一个(0，1)区间的均匀随机数r，将它依次与F(xk)(k＝0，1，2，3，4)相比较，若它位于F(xk-1)与F(xk)之间，则k即为所需的一个随机数。

45. b) 几何分布随机数的产生 生态学中所处理的概率分布，大多数是所谓离散型随机变量的分布(即只取0或正的整数值)。

46. 几何分布随机变量的概率密度函数为：

47. 可以简单地计算得： F（x）=1-qx+1 由上式可得：[1-F（x）]/q=qx 左边是一个最大值为1（x=0），最小值为0(x=∞)的在区间[0，1]上的分布。假定r为区间[0，1]上均匀分布的随机数，r= qx,则由给定的q及r计算x=lnr/lnq。