投 影 变 换

1. 投 影 变 换

2. 目 录 问 题 的 提 出 换 面 法 旋 转 法

3. 问题的提出 度量问题 定位问题 当几何元素相对于投影面处于特殊位置 时，其投影往往能直接反映交点、交线 的位置或图形实形、线段实长。

4. 投影变换的目的 几何元素处于 一般位置时 怎么办？ 变换投影面 换面法 变换几何元素位置 旋转法 改变几何元素相对于投影面的位置 使之平行或垂直投影面而简化解题

5. A a' V1 V1 B b' a b • 换面法 • 选择新投影面的原则 当V1//AB时 a1b1 = AB a1 V b1 H 如何求线段AB的实长？

6. a1 A V1 a' V b1 b' B a H b X1 X 选择新投影面的原则 新投影面必对空间几何元素处于有利于解题的位置 新投影面必须垂直原投影面体系中的一个投影面以构成新的相互垂直的投影面体系

7. a' ax V V1 A X a' H V a ax a H X • 点的投影变换规律 a1 ax1 ax1 H X1 V1 a1 点到H面之距 其中： X ---旧轴 X1------ 新轴 a′--被替代的旧投影 a1------ 新投影 a ---不变旧投影

8. a' ax V X H a ax1 H X1 V1 a1 点的投影变换规律 在新投影面体系中，点的一对投影连线垂直新投影轴 a a′⊥X a a1 ⊥X1 新投影到新轴之距 = 被代替的投影到 原投影轴之距 a′a=aa1 点的一次换面

9. a' V X H a 点的投影变换规律 点的二次换面 a2 H2 a1 H X2 V1 V1 X1 注意: 必须依次更换投影面

10. b' a' V X O b1 H b a1 P1 X1 H a b a • 四个基本作图问题 • 将一般位置线变换成投影面平行线 求AB实长及对H面倾角 空间分析 如何确定X1轴 的位置 一次换面 更换哪个投影面？ 实长 V b1  对不变投影面的倾角 X1//ab 实长 H a1 V1 X1

11. V a' b' V1 B a X b H • 将一般位置线变换成投影面垂直线 两次换面 X2 A2(b2) a1 H2 将一般位置线  投影面平行线 A b1 X1 将投影面平行线  投影面垂直线

12. b' a' V X H b a 作图 ① 将一般位置线  投影面平行线 ② 将投影面平行线  投影面垂直线 H X1 a1 V1 b1 a2 (b2) X1 // ab V1 H2 X2  a1b1 X2

13. k' b' A K L a' B V X k b k H abl P a 例1 求点K到直线AB之距。 投影分析 如何确定 新投影轴的位置? l' 将AB变为投影面//线 l 将AB变为投影面线 H A2(b2) 返回原体系 b1 X1 (l2) V1 a1 l1 X1//ab k1 k2 KL//X2 V1 X2 X2a1b1

14. a' b' V c' X H b c a • 将一般位置平面变换成投影面垂直面 一次换面 m' c1  m b1 H V1 a1

15. a' b' V c' X H b c a • 将一般位置平面变换成投影面平行面 求三角形ABC的实形。 先将平面变换成投影面垂直面 两次换面 空间分析 1' 再将平面变换成投影面平行面 b2 平面相对于投影面处于何种位置时其投影直接反映实形 c2 实形 c1 1 投影面平行面 b1 a2 H2 X2 // c1b1a1 H V1 X1  b1 V1 a1 X1 X2

16. a' c' V X H b' c d a b 例2 已知ABC与ABD夹角为60°，求a'd',b'd'。 投影分析 空间分析 将AB 投影面平行线 新投影轴 X1//ab d' 当两平面的交线AB垂直于新投影面时它们在该投影面上的投影反映其夹角 将AB  投影面 垂直线 新投影轴X2a1b1 c2 X1 H 将AB  投影面垂直线 60° V1 d2 c1' a2 (b2) b1' a1' H2 V1 d1' X2

17. c' 60° b' a' V 60° X H a b c 例3 过点A作直线与BC相交成60°。 b2 n' a2 m2 m' a1 n2 b1 c2 m1 m n1 n H2 c1 X2 V1 H V1 X1 返回到原投影面体系 在实形图形上直接反映直线夹角 大小，实质是求实形问题。 将平面  投影面垂直面 X1  平面内一投影面平行线 将平面  投影面平行面 X2 // 平面的积聚性投影 空间分析 习 题 投影分析

18. o’ a’ O A b’ c’ c1’ B o’ C O a (b) c • 旋转法 • 问题的提出 铅垂面ABC在V/H投影面上均不反映实形，如何求ABC实形？ 实形 使ABC绕轴旋转到与V面平行的位置，则ABC1在V面的投影反映实形。 C1 c1

19. 旋转法的概念 旋转法是保持投影面不动，将几何元素绕某一轴旋转，使它对投影面处于有利于解题的位置。 旋转法 五要素 O A 旋转轴OO、 R 旋转平面P、 O1 旋转中心O1 P 旋转半径R、 O 旋转点A

20. o’ a’ a’ a a o • 绕垂直轴旋转 点的旋转规律 a1’ a1’ o a1 a1 点A绕铅垂轴旋转

21. 绕垂直轴旋转 点A绕正垂轴旋转 点的旋转规律 投影规律：点的一个投影在垂直于旋转轴的投影面上作圆周运动，在另一投影面上的投影作与投影轴平行的直线运动。

22. 0 0 直线的旋转规律 直线绕某轴旋转一角度时，只要使该直线上的两个点绕同一轴，沿相同方向，旋转同一角度，然后把旋转后的两个点连接起来，即为该直线的新投影。 当一直线绕铅垂轴旋转时，其水平投影长度保持不变。直线对H面的倾角不变。 当一直线绕正垂轴旋转时，其正面投影长度保持不变。直线对V面的倾角不变。 R R

23. 平面的旋转规律 当一平面图形绕铅垂轴旋转时，其水平投影的大小和形状保持不变，该平面对H面的倾角的大小不变。 当一平面图形绕正垂轴旋转时，其正面投影的大小和形状保持不变，该平面对V面的倾角的大小不变。

24. 绕垂直轴一次旋转的四种基本作图 • 将一般位置直线旋转成投影面平行线； (b)旋转成水平线 选正垂线为旋转轴 (a)旋转成正平线 选铅垂线为旋转轴

25. 绕垂直轴一次旋转可解决 四种作图问题 • 将投影面平行线旋转成投影面垂直线 旋转水平线成正垂线 旋转正平线成铅垂线

26. 绕垂直轴一次旋转可解决 四种作图问题 • 将投影面垂直面旋转成投影面平行面 将正垂面旋转成水平面 将铅垂面旋转成正平面

27. 绕垂直轴一次旋转可解决 四种作图问题 • 将一般位置平面旋转成投影面垂直面 1) 作一般位置平面上投影面平行线； 2）将该投影面平行线旋转成投影面垂直线； 3）以同轴、同方向、同角度将一般位置平面旋转为 投影面垂直面。

28. E N D 返回主界面 返回次界面