格子の振動（古典論）

1. 格子の振動（古典論） a:バネの自然長 M K: バネの強さ uj j番目の原子の変位 大文字のK 問１：j番目の原子に関する運動方程式を書け。 問２：uj=uexp[i(kaj-ωt)]を運動方程式に代入して、 ωとkの関係式（分散関係と言う）を求めよ。 　　　　またグラフに書け。　　 問３：周期的境界条件　uj+N=ujが全てのjについて 　　　成立するとき、kはどのような値をとるか？

2. K: バネの強さ j番目の原子の変位 格子の振動（古典論）解答 M uj 問１：j番目の原子に関する運動方程式 問２：uj=uexp[i(kaj-ωt)]を運動方程式に代入して、 ωとkの関係式（分散関係と言う）を求めよ。 問３：周期的境界条件　uj+N=ujが全てのjについて 　　　成立するとき、kはどのような値をとるか？ 分散関係：ω(k) グラフは次のページ

3. 格子の振動（古典論）続き uj=uexp[i(kaj-ωt)]は隣の原子の位相が、exp(ika)変化している。 したがって、kaの値で意味があるのは、-π<ka≦πの範囲。 周期的境界条件より、k=2πn/aNなので、nで言うと、 -N/2 < n ≦ N/2 n=0, ±１、... ±(N/2 –1) , N/2 の合計N個 ω -π/a<k≦π/a　の範囲を 「第１ブリルアンゾーン」と言う。 k -π/a 0 π/a

4. 比熱の古典論 E エネルギー等分配則 　　１自由度当たり、kT/2 N個の原子なら、3Nの自由度 U= 3NkT C=dU/dT = 3Nk 温度に依らず、いつも一定の比熱？ しかし、低温で実験と合わない。 量子力学で考える必要がある。 振動子をボゾンとして扱う。 0 T C T 0 実験と合わない

5. 同種粒子（区別がつかない粒子）：　　　ボゾンとフェルミオン同種粒子（区別がつかない粒子）：　　　ボゾンとフェルミオン f(E) f(E) 1よりも大きい値をとれる ０から1までの値をとる E E μ 0

6. 比熱の量子論（アインシュタインの議論） 調和振動子のエネルギー準位： n=0,1,2,... β=1/kT 問題1．占有数nの平均値 　　　　を求めよ。 問題２　前問の<n>の結果を使って、もし振動子が全て同じ振動数ω0を持つ場合の 　　　　内部エネルギー から、 　　　　比熱Cを求めよ。UとCの高温極限と低温極限を求めよ。　 UとCを温度Tの関数としてグラフを書け。

7. やっていること。 固体原子　　＋　　自由電子　　-> 金属中の電子 ？ ＋ E Ψ=exp(ikx)の波 格子と逆格子 ブリルアンゾーン 格子振動 比熱 k 0

8. 復習：等比数列　（忘れている人もいたので）復習：等比数列　（忘れている人もいたので） 証明：左辺をSn(r)と置くと、 　　両辺引いて、 　　よって 証明は終わり。数学的帰納法でもよい。 ちなみに、そもそも因数分解の形をしている。 n=2や3だと見たことある形。　　

9. 復習：等比級数 等比数列の和は前頁より すると 等比級数は、両辺でn→∞の極限をとり、|r|<1なら、 もし|r|≧1なら、発散する。

10. 他の級数 とおく。g(x)を知りたい。 方法その１．微分する。 f=1/(1-x)、df/dx=1/(1-x)2なので、 g(x)=df/dx-f=x/(1-x)2 方法その２ よって、xg(x)=1+g(x)-f(x), (1-x)g(x)=f(x)-1, g(x)=(f(x)-1)/(1-x). f(x)=1/(1-x)を代入して、g(x)=x/(1-x)2

11. 比熱の量子論（アインシュタインの議論） 調和振動子のエネルギー準位： n=0,1,2,... β=1/kT 問題1．占有数nの平均値 　　　　を求めよ。 問題２　前問の<n>の結果を使って、もし振動子が全て同じ振動数ω0を持つ場合の 　　　　内部エネルギー から、 　　　　比熱Cを求めよ。 　　　　比熱Cの高温極限と低温極限を求めよ。