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五、极限

五、极限. 数列极限 函数极限 极限运算法则，两个重要极限 无穷小与无穷大 函数的连续性. 五 -1 、数列极限. 概念 变量在某一变化过程中的终极状态，是微积分中最基本的概念

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五、极限

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Presentation Transcript

  1. 五、极限 • 数列极限 • 函数极限 • 极限运算法则，两个重要极限 • 无穷小与无穷大 • 函数的连续性

  2. 五-1、数列极限 • 概念 变量在某一变化过程中的终极状态，是微积分中最基本的概念 • 定义 对于数列xn,如果当n无限增大时，xn无限地趋于一个常数A，则称当n趋于无穷大时，数列xn以A为极限，记作limxn=A或xn→ A(n→ +∞)亦称数列xn收敛于A；如果当n无限增大时， xn不能趋于某个固定的常数，则称当n趋于无穷大时，数列xn没有极限，或称xn是发散的，其中“→”读作“趋于” • “ε-N”定义 设有数列xn和常数A，如果对于任意给定的正数ε>0（ε读作“埃波西隆”），总存在自然数N，使得当n>N时，不等式l xn -Al< ε恒成立，则称常数A是数列xn的极限，记为lim xn =A或xn→ A(n→ +∞) • 求法 当n→ +∞时，n在分母时，而分子没有n,则值为0。

  3. 五-2、函数极限 • 1、 x→∞时，函数f(x)的极限； 2、 x→x0时，函数f(x)的极限 • x→∞时，函数的极限1、 x→+∞，2、 x→-∞，3、 x→±∞ • 求法 只有当x→+∞和当x→-∞都存在时，且相等，x→±∞或x→∞才存在。 • “ε-N”定义 如果对于预先给定的正数ε，不管ε多么小，总存在一个正数X，使得当x>X时，不等式lf(x)-Al< ε恒成立。则称当x→+∞时，函数f(x)以A为极限，记作limf(x)=A或f(x)A(x→+∞) • x→x0时，1、limx=x0, 2、limc=c, 3、特殊极限，4、单侧极限 • 函数极限的性质 1、唯一性，2、有界性

  4. 五-3、极限运算法则及两个重要极限 • 四则运算法则， 1、lim[f(x) ±g(x)]=limf(x) ±limg(x); 2、、lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x); 3、limf(x)/g(x)=limf(x)/limg(x); 4、lim[cf(x)]=climf(x); 5、lim[f(x)]n=[limf(x)]n; 6、limn√f(x)=n √ limf(x) • 两个重要极限，1、lim sinx/x=1; 2、lim(1+1/x)x =e 或 lim(1+u)1/u =e 3、夹逼定理和单调数列极限存在定理

  5. 五-4、无穷小与无穷大 • 无穷小量 极限为0 的变量称为无穷小量，简称无穷小 • 定理 limf(x)=A,当且仅当f(x)=A+α(x).其中α(x)是一个无穷小量，即lim α(x)=0 • 性质 1、有限个无穷小量的代数和，仍是无穷小量；2、有限个无穷小量之积，仍是无穷小量；3、任一常数与无穷小量之积仍是无穷小量；4、无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量。 • 无穷大量 如果当x→x0（或x→∞）时，lf(x)l的值无限地增大，则称f(x)是无穷大量，简称无穷大，记为limf(x)= ∞或f(x) →∞ • 无穷小量的比较

  6. 五-5、函数的连续性 • 概念 设函数f(x)在x=x0的一个邻域内有定义，且等式limf(x)=f(x0)成立，则称函数f(x)在点x0处连续，点x0称为称为f(x)的连续点。否则称f(x)在 x0处不连续，或称间断，点x0称为f(x)的间断点 • 间断点的分类、单侧连续和连续函数 • 初等函数的连续性 • 闭区间上连续函数的性质 。 1、 最大最小值定理 若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]内一定取到它的最大与最小值，即存在着x1,x2 ∈[a,b]，对于任意的x ∈[a,b],都有f(x)≤f(x1)=max{f(x)},f(x) ≥ f(x2)=min{f(x)}，x1,x2分别称为函数的最大值点最小值点 2、连续函数的中间值定理 设函数f(x)在[a,b]上连续，η是f(a)与f(b)之间的任意一个数，即f(a)< η<f(b){或f(a)> η >f(b)},则在a,b之间必存在ζ，使得f(ζ) = η

  7. 导数 • 导数 • 导数应用

  8. 导数1 • ∆符号 设y=f(x),x0是数轴x上的一个定点，在数轴x 上另取一点x,x与x0的差记为∆x，即∆x=x-x0或者x=x0+ ∆x. ∆x就表示从xo到x的变化量或增量。相应的， ∆y=f(x0+ ∆x)-f(x0) y0+ ∆y=f(x0+ ∆x) • 定义 设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，给x以改变量∆x,则函数的相应改变量为y=f(x0+ ∆x)-f(x0)。如果当∆x→0时，两个改变量比的极限： 存在 ，则称这个极限值为函数f(x)在点x0的导数，并称函数f(x)在x0可导或具有导数，也称为f(x)在x0可微或有微商。记为 来表示函数y=f(x)在点x0的导数。

  9. 导数2 • 可导与连续 可导的函数是连续的 • 求导法则 1、[f(x)±g(x)] ´=f ´(x)±g ´(x) 2、[cg(x)] ´=cg ´(x). C是常数 3、[f(x)g(x)] ´=f ´(x)g(x)+g ´(x)f(x) 4、[f(x)/g(x)] ´=[g(x)f ´(x)-f(x)g ´(x)]/g2(x) • 导数公式 1、常数函数 f(x)=c, f´(x)=0 2、 幂函数 f(x)=xn, f ´(x)=nx(n-1) 3、对数函数 f(x)=lnx, f ´(x)=1/x f(x)=logax, f ´(x)=(1/x)logae 4、指数函数 f(x)=ax,f ´(x)=axlna 5、三角函数 f(x)=sinx, f ´(x)=cosx ;f(x)=cosx, f ´(x)=-sinx;f(x)=tanx, f ´(x)=1/cos2x; f(x)=cotx, f ´(x)=-(1/sin2x); y=arcsinx, y ´=

  10. 导数3 • 复合函数 y=f[g(x)], y ´=f ´[g(x)]g ´(x) • 反函数的导数 y=f(x), x=f(-1)(y). y ´=1/y ´ • 二阶导数与高阶导数概念

  11. 导数应用 • 微分中值定理 1、费马定理 2、罗尔定理 3、拉格朗日中值定理 4、柯西中值定理 • 洛必达法则 1、条件 和 2、f´(x)、g´(x)存在 3、

  12. 导数应用 • 用导数研究函数性质 1、单调性 （1）若f´(x)>o,则函数f在区间（a,b)是单调增加。 （2）若f´(x)<o,则函数f在区间（a,b)是单调减少。 2、局部极值 （1）求f´(x)=0的x0点， （2）判断f´(x)在x0点左右的符号，左正右负是极大；左负右正是极小。 3、最大值与最小值 （1）求极值 （2）求端点 （3）求最值 4、应用

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