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1.1.2 行列式定义、性质与运算

1.1.2 行列式定义、性质与运算. 任务 2 ：讨论 “ 石头 — 剪子 — 布 ” 案例方程组中未知数的系数特点. 系数表在解方程中有什么作用？. 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组（ system of linearequations ）. (1). 有解 , 那么方程组 (1) 的解为. 表示代数和. 我们用记号. 那么方程组 (1) 的解可以表示为. 1. 线性方程组与行列式. 这种表示解的方法叫克拉默规则. 表示代数和. 2. 二阶、三阶行列式的计算 ( 对角线法则 ). 二阶行列式. 我们把.

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1.1.2 行列式定义、性质与运算

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  1. 1.1.2 行列式定义、性质与运算

  2. 任务2：讨论“石头—剪子—布”案例方程组中未知数的系数特点.任务2：讨论“石头—剪子—布”案例方程组中未知数的系数特点. 系数表在解方程中有什么作用？

  3. 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组（system of linearequations） (1) 有解,那么方程组(1) 的解为 表示代数和 我们用记号 那么方程组(1)的解可以表示为 1. 线性方程组与行列式 这种表示解的方法叫克拉默规则.

  4. 表示代数和 2. 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 二阶行列式 我们把 称为二阶行列式(determinant), 即

  5. 三阶行列式 我们用 表示代数和 称为三阶行列式, 即 主对角线法 ‘—’三元素乘积取“+”号； ‘—’三元素乘积取“-”号.

  6. 我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组.我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组. 例题选讲 解:

  7. 3 逆序数与对换 • 定义1 将 个数 1，2，… ，n 按某种次序排成一排，称其为这个数的一个全排列，简称为排列.这个数按自然次序由小到大的排列称为标准排列.显然， 个数共有 !个全排列. • 定义2 在 个数1,2,… , 的一个全排列中，若两个数的前后次序和标准排列不一致，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总的个数称为这个排列的逆序数，记为 .

  8. 例  求排列3 2 5 1 4的逆序数 • 解3在首位，逆序数为0； • 2的前面是3，故逆序数为1； • 5的前面数都小于5，故逆序为0； • 1的前面3，2，5都大于0，故逆序为3； • 4的前面只有5大于4，故逆序为1 • 于是这个排列的逆序数为t=0+1+0+3+1=5

  9. 定义3如果一个排列的逆序数是奇(偶)数，那么称这个排列为奇(偶)排列.定义3如果一个排列的逆序数是奇(偶)数，那么称这个排列为奇(偶)排列. • 定义4在一个排列中，任意对调两个元素，其余元素不动，这过程称为对换.相邻两个元素的对换称为相邻对换. • 定理1一个排列进行奇（偶）数次对换，排列改变(不改变)奇偶性. • 推论  奇(偶)排列经过奇(偶)次对换可成为标准排列.

  10. 任意取 个数 排成以下形式: (1) 4. n阶行列式的定义 (1)中：横排列称为行，纵排列称为列.

  11. (2) 这里下标 是1,2,…,n这n个数码的一 个排列.反过来,给了n个数码的任意一个排列,我们也能得出这样的一个乘积.因此,一切位于(1)的不同行与不同列上的n个元素的乘积一共有n！个. 我们用符号 表示排列 的反序数. 考察位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积.这种乘积可以写成下面的形式:

  12. 表示的n阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是一切可能的取自(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积 项 的符号为 也就是说,当 是偶排列时,这 一项的符号为正,当 是奇排列时,这一项的 符号为负,即. 定义2 用符号

  13. 例1 我们看一个四阶行列式 根据定义,D是一个4! = 24项的代数和。然而在这个行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外，其余的项都至少含有一个因子0，因而等于0，与上面四项对应的排列依次是1234,1324,4321,4231.其中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排列.因此

  14. 现在设 是n阶行列式D的任意一 项。这一项的元素位于D的不同的行和不同的列，所以位于D的转置行列式 的不同的列和不同的 行，因而也是 的一项，由引理1.2.2.1，这一项在 D里和在 里的符号都是 ，并且D中不同 的两项显然也是 中不同的两项，因为D与 的 项数都是n！，所以D与 是带有相同符号的相同 项的代数和，即 。于是有 命题1.2.2.1行列式与它的转置行列式相等，即 5. 行列式的性质

  15. 推论1如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。推论1如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。 命题2 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。 命题3 用数k乘行列式的某一行（列），等于以数k 乘此行列式。如 推论4 如果行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。

  16. 推论5 如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。 推论6 如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零。

  17. 则 , 推论7 如果将行列式中的某一行（列）的每 一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写 成 两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的元素与原行列式相同。即如果 。

  18. 推论8 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。

  19. 例2 计算行列式 解：根据命题1.2.2.10,从D的第二列和第三列的元素减去第一列的对应元素(即把D的第一列的元素同乘以－１后,加到第二列和第三列的对应元素上),得 这个行列式有两列成比例,所以根据推论1.2.2.8,D=0.

  20. 例3 计算n阶行列式 解: 我们看到,D的每一列的元素的和都是n－１．把第二，第三，…，第n行都加到第一行上，得

  21. 由行列式定义,易见后一行列式等于对角线上元素的乘积 所以 根据推论1.2.2.６,提出第一行的公因子n－１,得 由第二,第三,…,第n行减去第一行,得

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