高等数学课程编号： 3000011001

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第1章函数、极限与连续 — 研究对象函数分析基础极限 — 研究方法连续 — 研究桥梁

1.1函数 1.1.1　函数 1.1.2　复合函数 1.1.3 初等函数

学习要求： 理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性。会求函数的反函数。理解初等函数、复合函数概念，能正确将复合函数进行分解

理解函数的概念 求函数的定义域把复杂函数分解成简单函数学习重点：

1.1.1 函数1. 邻域 数集— 区间(4类) （1）闭区间 [ ] b a （2）开区间。。 ( ) b a

（3）半开区间 (左开右闭区间) (左闭右开区间) 。 [ ) b a

(4) 无穷区间 [ (+) a

数集—邻域 。。

的全体. 其中的邻域中把中心去掉，的一切点有时会用到点表示与点距离小于即就表示的去心邻域, 记作此时称为点由于所以

邻域的几何表示： •去心邻域

2.函数的概念 函数的表示方法：解析法、图象法、列表法

(定义域) (对应规则) (值域) 任意any 确定函数的两个要素（定义域和对应法则）是判断两个函数是否相同的依据. • 定义域— 使表达式及实际问题都有意义的自变量集合通过自变量的取值来确定因变量取值的规律 • 对应法则—

函数的定义表明了函数的结构. 函数是由定义域、对应法则、值域组成的. 函数的模型如同一部机器，把X中任一原材料x输入f（x），就可产出实数 y = f（x）.

(4) 含反三角函数的 或求函数的定义域时,要考虑以下情况: (1) 分式的分母不能为零； (2) 偶次开方时，被开方部分非负; 底大于零不等于1, (3) 指数函数和对数函数中, 且对数函数的真数大于零；时, 要满足则要取其交集. (5)若函数同时含有以上几种情况,

例1（1） 解由开偶次方时，被开方部分非负, 得由分母不能为零, 得综上所述,该函数的定义域为

例1（2） 解由题意得综上所述所求函数的定义域为

例2 绝对值函数 定义域值域例3 符号函数 x > 0 x = 0 x < 0 定义域值域

y 2 1 x o -2 -1 1 2 3 -1 -2 像例2和例3这两个函数, 在定义域的不同范围内, 不是用一个式子来表示, 而是用两个或两个以上的式子合起来表示, 这样的函数称为分段函数. 取整函数补充

分段函数： 例：在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家的富裕程度，也是国际通用的一项重要指标. 。绝对富裕比较富裕小康水平温饱贫困。。。 O 20 40 50 60 100

3.函数的特性 设函数且有区间任意any (1) 单调性当时, 在 I上是称单调增加的; 在 I上是称单调减少的. 增函数的图像x与y同增同减，减函数的图像x与y增减相反

(2)奇偶性 函数f (x) 的定义域 D关于原点对称，若则称f (x) 为偶函数; 若则称 f (x) 为奇函数. 则当说明:若在 x = 0 有定义 , 为奇函数时, 必有奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称

存在exist (3) 有界性使称在 I上有界. 如果这样的正数M不存在，则称在 I上无界. 使称为有界函数. 有界函数的图像，一定夹在平行于x轴的两条直线之间。

(4) 周期性 且若则称为周期函数, 称l为周期 ( 一般指最小正周期). 注:周期函数不一定存在最小正周期 . 常量函数周期为周期函数的图像，每隔周期的整数倍重复出现

（1） 解：因为所以（1）为奇函数;

（2） 解：因为（3）解：因为所以（2）为非奇非偶函数; 所以（3）为偶函数.

4.反函数 的反函数记成习惯上,

2) 函数 与其反函数对称 . 其图形关于直线的图形关于直线对称 . 性质: 其反函数 1) y＝f (x) 单调递增 (减) (减) . 且也单调递增如 , 指数函数互为反函数 , 对数函数它们都单调递增,

步骤：1.用y表示x 2.互换x与y

1.1.2 复合函数 1. 基本初等函数 2.71828…..

基本初等函数 1.常数函数　　它的定义域是　　　　，它的图象是过点平行于是　轴的一条直线．它是偶函数．

基本初等函数 2.幂函数　　　(　为实数）　　我们只讨论　　　的情形. 　　当　　时，函数的图象通过原点　　和点　　在　　　内单调增加且无界.

基本初等函数 　　当　　，图象不过原点，但仍通过点　　，在　　　内单调减少、无界，曲线以　轴和　轴为渐进线．

幂函数: 是最常见的 ( 是常数)

3.指数函数 　　它的定义域是　　　　，它的图象全部在轴上方，且通过点　　　．　　当　　时，函数单调增加且无界；　　当　　　　时，函数单调减少且无界. 基本初等函数基本初等函数

基本初等函数

　　当　　　　时，函数单调减少且无界，曲线以　轴正半轴为渐近线．　　当　　　　时，函数单调减少且无界，曲线以　轴正半轴为渐近线．基本初等函数　　当　　时，函数单调增加且无界，曲线以　轴负半轴为渐近线；

对数函数　　　　　和指数函数　　　互为反函数，它们的图象关于　　　对称．　　以无理数　　　　　　　…为底的对数函数叫做自然对函数，简记作基本初等函数

　　函数　　　　的定义域为　　　　，值域 　　　，奇函数，以　　为周期，有界. 5.三角函数　　三角函数的自变量　采用弧度制，　　　　　　　　　弧度基本初等函数

　　函数　　　　的定义域为　　　　，值域为，　　　偶函数，以　　为周期，有界.　　函数　　　　的定义域为　　　　，值域为，　　　偶函数，以　　为周期，有界. 基本初等函数

周期函数 奇函数周期函数偶函数

基本初等函数

定义域 定义域周期函数奇函数

基本初等函数 6.反三角函数　　　　　　　，定义域是　　　,值域　　　　,是单调增加的奇函数，有界. 　　　　　　　，定义域是　　　,值域　　　, 是单调减少函数，有界.

反三角函数都是多值函数，可选取其单值支作为主值.反三角函数都是多值函数，可选取其单值支作为主值.

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