Sistemas Espaciales de Fuerzas - Ejercicio de Aplicación (06.02)

1. Sistemas Espaciales de FuerzasFuerzas no Concurrentes Curso de Estática y Resistencia de Materiales Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. z • Se pide: • Reducir cada uno de los sistemas al punto “C” adoptado cómo Punto de Reducción • Determinar y calcular los Invariantes P4 P1 P3 P2 • Datos: M1 • P1 = 2 KN = (0 ; 0 ; -2 ) KN C • P2 = 4 KN = (0 ; 0 ; 4 ) KN A D B • P3= 6 KN = (0 ; 0 ; 6 ) KN • P4= 10 KN = (0 ; 0 ; 10 ) KN M2 • M1= 4 KN.m = (-4 ; 0 ; 0 ) (vector libre) 4 m • M2= 6 KN.m = (0 ; 6 ; 0 ) (vector libre) • A = (3 ; 3 ; 4 ) • C = (0 ; 0 ; 4 ) x • B = (3 ; 0 ; 4 ) • D = (0 ; 3 ; 4 ) Sobre el pórtico espacial de la figura se aplican los siguientes sistemas generalizados de fuerzas independientes entre sí 3 m y 3 m

3. z • Para establecer la convención de signos de los momentos, en primer término identificaremos con qué terna estamos trabajando, en este caso la “terna izquierda” P4 P1 P3 P2 • …el pulgar indica la dirección del vector momento M1 C A D B M2 4 m • …el pulgar indica la dirección de “z” 3 m • …los dedos indican el sentido de rotación de “x” hacia “y” 3 m x Previamente definamos: • …los dedos indican el sentido de rotación del momento • …definimos el sentido de rotación de los momentos M1 y M2 y

4. z 4 3 2 1 • Los sistemas de fuerzas “no concurrentes” en el espacio son aquellos sistemas aplicados a un cuerpo rígido en el que las rectas de acción de las fuerzas que lo constituyen pertenecen a planos distintos P4 ≡O P1 P3 P2 M1 • En consecuencia, es necesario reemplazar el sistema por otro equivalente, y del que sea factible hallar su resultante C A D B M2 • Elijamos un punto “O” perteneciente al mismo cuerpo rígido y al que en lo sucesivo denominaremos “Centro de Reducción” y sobre el cual que reduciremos todos los sistemas de fuerzas actuantes 4 m 4 1 2 3 x Metodología de resolución: 3 m y 3 m

5. z 1 • Apliquemos en “O” dos fuerzas opuesta, paralelas a P1 y de su misma intensidad P4 ≡O P1 P1 P1 P3 P2 • Llamando d1 la distancia del centro de reducción “O” a la recta de acción de P1, el momento de dicho par será: M1 C A D B M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP1 normal al plano definido por “O” y la recta de acción de P1, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 4 m ≡d1 1 x Metodología de resolución: 3 m y 3 m

6. z 1 • Apliquemos en “O” dos fuerzas opuesta, paralelas a P1 y de su misma intensidad P4 ≡O P1 P1 P1 P3 P2 • Llamando d1 la distancia del centro de reducción “O” a la recta de acción de P1, el momento de dicho par será: M1 C MP1 A D B 4 m M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP1 normal al plano definido por “O” y la recta de acción de P1, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 3 m 3 m ≡d1 1 x Metodología de resolución: y • Operando en forma similar con las restantes fuerzas será:

7. z 2 • La fuerza P2la trasladaremos en dos pasos, primero a “B” y luego a “O” P4 ≡O P1 P2 • Apliquemos en “B”dos fuerzas opuesta, paralelas a P2 y de su misma intensidad P3 P2 P2 M1 • Llamando d2 la distancia del centro de reducción “B” a la recta de acción de P2, el momento de dicho par será: C MP1 A D B M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP2x normal al plano definido por “B” y la recta de acción de P2, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 4 m ≡d2 2 x 3 m y 3 m

8. z 2 • La fuerza P2la trasladaremos en dos pasos, primero a “B” y luego a “O” P4 ≡O P1 P2 • Apliquemos en “B”dos fuerzas opuesta, paralelas a P2 y de su misma intensidad P3 P2 P2 MP2x M1 • Llamando d2 la distancia del centro de reducción “B” a la recta de acción de P2, el momento de dicho par será: C MP1 A D B 4 m M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP2x normal al plano definido por “B” y la recta de acción de P2, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 3 m ≡d2 3 m 2 x y

9. z 2’ • Trasladaremos ahora la fuerza P2a “O” • Apliquemos en “O” dos fuerzas opuesta, paralelas a P2 y de su misma intensidad P4 ≡O P1 P3 P2 P2 P2 MP2x M1 • Llamando d2’ la distancia del centro de reducción “O” a la recta de acción de P2, el momento de dicho par será: C MP1 A D B 4 m M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP2y normal al plano definido por “O” y la recta de acción de P2, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 3 m 3 m ≡d2’ 2’ x y

10. z 2’ • Trasladaremos ahora la fuerza P2a “O” • Apliquemos en “O” dos fuerzas opuesta, paralelas a P2 y de su misma intensidad P4 ≡O P1 P3 P2 P2 P2 MP2x M1 • Llamando d2’ la distancia del centro de reducción “O” a la recta de acción de P2, el momento de dicho par será: C MP2y MP1 A D B 4 m M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP2y normal al plano definido por “O” y la recta de acción de P2, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 3 m 3 m ≡d2’ 2’ x y

11. z 3 2’ • Apliquemos por último en “O” dos fuerzas opuesta, paralelas a P3 y de su misma intensidad P4 ≡O P1 P3 P2 P3 • Llamando d3 la distancia del centro de reducción “O” a la recta de acción de P3, el momento de dicho par será: P3 MP2x M1 C MP2y MP1 A D B 4 m M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP3 normal al plano definido por “O” y la recta de acción de P3, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 3 m ≡d3 3 m 2’ 3 x y

12. z 3 • Apliquemos por último en “O” dos fuerzas opuesta, paralelas a P3 y de su misma intensidad P4 ≡O P1 P3 P2 P3 • Llamando d3 la distancia del centro de reducción “O” a la recta de acción de P3, el momento de dicho par será: P3 MP2x MP3 M1 C MP2y MP1 A D B 4 m M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP3 normal al plano definido por “O” y la recta de acción de P3, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 3 m ≡d3 3 m 3 x y • La fuerza P4 está aplicada en “O” y no necesita ser trasladada

13. z 3 • Estamos en condiciones ahora de componer las cuatro fuerzas P1; P2; P3 yP4 aplicadas en el centro de reducción “O”, hallando su resultante R, que denominaremos Resultante de Reducción. P4 ≡O P1 P2 P3 MP2x MP3 M1 C MP2y MP1 A D B 4 m • (con la dirección del eje z) M2 Nota: en este caso particular, al ser todas las fuerzas (P1; P2; P3 yP4 ) colineales la Resultante de Reducción será la suma escalar de los módulos de las mismas. En caso contrario la suma deberá ser vectorial 3 m ≡d3 3 m 3 x Podemos decir entonces que la Resultante de Reducción es un invariante del sistema de fuerzas espaciales que por su naturaleza denominaremos Invariante Vectorial. y

14. z • Procediendo en forma análoga con los vectores momento M1; M2; MP1; MP2x; MP2yyMP3 obtenemos un vector momento resultante representativo delPar de Reducción que denominaremos M y cuyas componentes son: P4 ≡O P1 P2 P3 MP2x MP3 M1 C MP2y MP1 A D B 4 m M2 3 m • (con la dirección del eje x) 3 m x y • (con la dirección del eje y)

15. z • El vector momento M tendrá la dirección de eje x y su módulo valdrá: P4 ≡O P1 P2 P3 MP2x M MP3 M1 • Si proyectamos el vector Momento de Reducción sobre la Resultante de Reducción obtendremos un vector momento que llamaremos M* C MP2y MP1 A D B 4 m M2 Cualquiera sea el Centro de Reducción adoptado, M* es constante, es decir, constituye otro invariante que denominaremos Invariante Escalar. 3 m 3 m x En nuestro caso M tiene la dirección del eje x y R tiene la dirección del eje z por lo tanto: y

16. Bibliografía Estabilidad I – Enrique Fliess

17. Muchas Gracias