Clase N° 11 – TPN° 10 - Torsion

Clase N° 11 – TPN°10Solicitación por Torsión Curso de Estática y Resistencia de Materiales Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Planteo del Equilibrio (externo) de un sólido rígido (Estática) Hemos visto que un cuerpo en el planoposee tres grados de libertad, mientras que en el espacioseis. z (corte en X) G Las correspondientes ecuaciones de la estática que aseguran el equilibrio son: (Flexión en X) x =(Torsión) (Flexión en Y) (solicitación axil) (corte en Y) y Veamos algunos Conceptos Preliminares

Plano de solicitación Planteo del PROBLEMA Una sección está solicitada por torsióncuando al reducir a su baricentro los sistemas de fuerzas actuantes sobre el sólido, se obtiene un par que yace en el plano de la sección En este caso las ecuaciones de equilibrio interno resultan ser (debemos considerar el equilibrio en el espacio): (Resistencia de Materiales) Siendo en este caso las tensiones normales sZ nulas las ecuaciones 1, 5 y 6 resultan idénticamente nulas, por lo que las resuelven el problema de la torsión son las siguientes: Veamos algunos Conceptos Preliminares

Plano de solicitación Planteo del PROBLEMA Una sección está solicitada por torsióncuando al reducir a su baricentro los sistemas de fuerzas actuantes sobre el sólido, se obtiene un par que yace en el plano de la sección En este caso las ecuaciones de equilibrio interno resultan ser (debemos considerar el equilibrio en el espacio): La solución rigurosa del problema de la torsión se debe a Saint Venant, quien estudió la torsión de una barra de sección rectangular mediante la Función de Tensión de Airy. Veamos algunos Conceptos Preliminares Esta forma de encarar la resolución del problema pertenece al dominio de la Teoría Matemática de la Elasticidad (que escapa al alcance de este curso)

Plano de solicitación Planteo del PROBLEMA • Sección circular llena • Sección circular hueca • Secciones tubulares de pared delgada, simple y múltiplemente conexas La Hipótesis de Coulomb, verificada experimentalmente, establece que: • Luego de la deformación las secciones mantienen su forma. • Las secciones normales al eje de la pieza permanecen planas y paralelas a sí mismas luego de la deformación. Por ello, resulta que: • Las rectastrazadas sobre ellas continúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida. • Las generatricesrectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices de paso muy grande. Desarrollaremos primero las soluciones en las que son válidas las Hipótesis de Coulomb

Plano de solicitación Planteo del PROBLEMA • Sección circular llena • Sección circular hueca • Secciones tubulares de pared delgada, simple y múltiplemente conexas La Hipótesis de Coulomb, verificada experimentalmente, establece que: • Luego de la deformación las secciones mantienen su forma. • Las secciones normales al eje de la pieza permanecen planas y paralelas a sí mismas luego de la deformación. Por ello, resulta que: • Las rectastrazadas sobre ellas continúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida. • Las generatricesrectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices de paso muy grande. … y además: Desarrollaremos primero las soluciones en las que son válidas las Hipótesis de Coulomb • Sólo existen tensiones tangenciales • Su distribución a lo largo del diámetro es antimétrica • Su dirección es normal al radio

Calculamos la relación entre MT y las tensiones tangenciales Consideramos que aislamos de una barra torsionada una tajada de longitud unitaria. El ángulo de giro relativo entre ambas secciones será θ, y como la separación entre las secciones es la unidad, a este ángulo la denominaremos “ángulo específico de torsión”. Podemos observar que: …y análogamente: …y por lo tanto: …y siendo (por Hooke): El ángulo resulta ser el “ángulo de distorsión”de la sección. Debemos tener presente que si el ángulo θ es pequeño entonces los arcos se confunden con las tangentes, lo que permite establecer ≈ tg. Veamos la Sección Circular Llena

Calculamos la relación entre MT y las tensiones tangenciales De acuerdo a la ley de Hooke: Se puede apreciar que las tensiones tangenciales varían linealmente con el radio, alcanzando su valor máximo en el borde de la sección: En determinadas circunstancias interesa conocer el valor de la rotación relativa de las secciones extremas de una barra circular sujeta a torsión. Este ángulo ϕse denomina “ángulo de torsión” y resulta ser la suma de todos los ángulos específicos de torsión entre todas las tajadas elementales de la pieza. Veamos la Sección Circular Llena El coeficiente G (kg/cm2) se denomina módulo de elasticidad transversal.

Consideremos un elemento de área dAsituado a la distancia del centro de la sección. La fuerza interior que actúa en él vale . dA y su momento respecto de O1es dmT = ( . . dA) Para equilibrar este dmT el momento torsorMTdebe ser: y siendo: entonces se tiene: Para la sección circular llena resulta: Veamos la Ecuación de Deformación

Consideremos un elemento de área dAsituado a la distancia del centro de la sección. La fuerza interior que actúa en él vale . dA y su momento respecto de O1es dmT = ( . . dA) Para equilibrar este dmT el momento torsorMTdebe ser: y siendo: entonces se tiene: Para la sección circular llena resulta: Veamos la Ecuación de Deformación y para la sección circular hueca resulta: entonces se tiene:

Energía (trabajo) externa de deformación ():Si sobre un par de ejes coordenados llevamos como ordenadas los valores crecientes del par torsor (Mt) y en abscisas los correspondientes ángulos específicos de torsión (q), el diagrama resultante, es una recta que pasa por el origen, dado que existe una relación lineal entre Mt y q. Veamos el tema de la Energía de deformación. Para un determinado incremento dMt corresponde una variación dq del ángulo específico de torsión, y el trabajo desarrollado, salvo infinitésimos de orden superior, será:  …y cuando el par torsor crece de cero a Mt : …que representa el área encerrada por el diagrama (Mt , ): 

Por su parte, la Energía (trabajo) interna de deformación () es, el trabajo desarrollado por las tensiones t, de modo que tenemos, haciendo el mismo análisis que para el trabajo externo de deformación: Veamos el tema de la Energía de deformación. En consecuencia, como debe ser: resulta:

B M A Experimentalmente se ha comprobado que para secciones huecas en las cuales el espesor de pared es reducido la hipótesis enunciada por Coulombes válida Si consideramos un corte s-s de la pared, la tensión variará a través del espesor de la pared …pero a los efectos prácticos, dado el pequeño espesor ede la pared, y la poca diferencia entre las direcciones de AyBpodemos establecer sin mayor error: • que la tensión tangencial se mantiene constante en intensidad y dirección a lo largo del espesor de la pared, y • que la dirección de coincide con la de la tangente en el contorno medio de la sección M Por lo que, siendo: Veamos las ahora las Secciones tubulares de paredes delgadas

Imaginemos cortada la sección por dos planos 1-1 y 2-2. Aislemos una de las partes de la que a su vez tomamos sólo el trozo delimitado por dos secciones separadas una longitud unitaria. 1-1 2-2 Sobre cada una de las caras verticales actuarán tensiones tangenciales que dan origen a dos fuerzas elementales verticales de intensidad (e .  . 1): e1 . 1 . 1 e2 . 2 . 1 …y como el elemento de tubo pertenece a un sólido en equilibrio, también estará en equilibrio. …y como además, el área del triángulo sombreado es: Veamos las ahora las Secciones tubulares de paredes delgadas

Imaginemos cortada la sección por dos planos 1-1 y 2-2. Aislemos una de las partes de la que a su vez tomamos sólo el trozo delimitado por dos secciones separadas una longitud unitaria. 1-1 2-2 Sobre cada una de las caras verticales actuarán tensiones tangenciales que dan origen a dos fuerzas elementales verticales de intensidad (e .  . 1): e1 . 1 . 1 e2 . 2 . 1 …y como el elemento de tubo pertenece a un sólido en equilibrio, también estará en equilibrio. …y como además, el área del triángulo sombreado es: Veamos las ahora las Secciones tubulares de paredes delgadas …donde representa el área delimitada por el contorno medio de la sección. En consecuencia:

1-1 La determinación de  la haremos igualando los trabajos interno de deformación (el trabajo desarrollado por las tensiones ) y externo de deformación (el trabajo del par torsorMT). 2-2 e1 . 1 . 1 e2 . 2 . 1 donde: Por lo que el ángulo específico de torsión () será (considerando el espesor e = cte): Otra magnitud que interesa conocer es el valor del ángulo específico de torsión () Con S= longitud del perímetro medio de la sección

Sea una sección de lados a y b solicitada por un par torsorMT, tal que a > b Las hipótesis de Coulomb no es aplicable a la sección rectangular ni a otros tipos de secciones que difieran de la circular. La sección rectangular no permanece plana y se alabea La solución del problema de la torsión con carácter general y aplicable a cualquier tipo de sección se debe a Saint Venant, quien estudió la torsión de una barra de sección rectangular mediante la Función de Tensión de Airy. Esta solución pertenece al dominio de la Teoría Matemática de la Elasticidad (que escapa al alcance de este curso) Veamos las ahora las Secciones Rectangulares sujetas a torsión

La solución del problema de Saint Venant, aplicada a la sección rectangular establece que la máxima tensión tangencial ocurre en el centro del lado mayor y su expresión es: donde a y b son los lados de la sección y  un coeficiente cuyo valor en función de la relación k = a / b figura en la tabla. Según de Saint Venant, el ángulo específico de torsión() tiene por expresión: La tensión máxima sobre el lado menor es función de la correspondiente al lado mayor: Veamos las ahora las Secciones Rectangulares sujetas a torsión

Sección cuadrada a = b con k = 1 Sección cuadrada a >>> b con k  ꝏ Las Secciones Rectangulares presentan dos casos particulares:

Para encontrar la solución a este problema se aplica un método denominado de la “Analogía de la Membrana”, propuesto por Prandtly que dice: “las tensiones cortantes no dependen de la curvatura del contorno de la sección, siendo prácticamente las mismas que si dicho contorno fuese recto”. De acuerdo con ello, y en el caso de espesor constante t = ctese podrían aplicar las mismas ecuaciones que para el caso de sección rectangular donde a >>>b: Las secciones abiertas pueden considerarse como un conjunto de rectángulos que absorben, cada uno de ellos, una parte del momento torsor correspondiente MT. Como estos rectángulos forman parte de una única pieza, todos tendrán el mismo giro específico de torsión, por lo que se puede plantear: Veamos ahora las Secciones Abiertas de paredes delgadas

Para encontrar la solución a este problema se aplica un método denominado de la “Analogía de la Membrana”, propuesto por Prandtly que dice: “las tensiones cortantes no dependen de la curvatura del contorno de la sección, siendo prácticamente las mismas que si dicho contorno fuese recto”. De acuerdo con ello, y en el caso de espesor constante t = ctese podrían aplicar las mismas ecuaciones que para el caso de sección rectangular donde a >>>b: Las secciones abiertas pueden considerarse como un conjunto de rectángulos que absorben, cada uno de ellos, una parte del momento torsor correspondiente MT. Como estos rectángulos forman parte de una única pieza, todos tendrán el mismo giro específico de torsión, por lo que se puede plantear: Veamos ahora las Secciones Abiertas de paredes delgadas S e (espesor de la pared del perfil)

Dado la barra cilíndrica de acero sometida a torsión simple, mostrada en la figura cuyos datos se indican, se solicita: • Determinar la tensión tangencial máxima (max) Problema 1 • Determinar el ángulo de torsión total (ϕ) Datos: adm = 9 KN/cm2; D = 5 cm; L = 250 cm; MT = 185 KN/cm2; G = 8x103 KN/cm2 Veamos el siguiente ejemplo

Determinación de la tensión tangencial máxima (max) y del ángulo de torsión total (ϕ) • Calculo de la tensión tangencial máxima (max) La tensión tangencial máxima se determina mediante la siguiente expresión: Resolución Veamos el siguiente ejemplo

Determinación de la tensión tangencial máxima (max) y del ángulo de torsión total (ϕ) • Calculo del ángulo de torsión total () El ángulo de torsión total (ϕ) para una longitud L de la barra será: Resolución Veamos el siguiente ejemplo

De acuerdo con los datos indicados en la figura y para la relación K establecida, se desea reemplazar un árbol de sección circular maciza por otro de sección anular (anillo circular) del mismo material, que sea capaz de transmitir el mismo momento torsorMT. Se solicita determinar : • La relación entre ambos diámetro exteriores (De/D) Problema 2 • La economía de material (peso) que se logra Veamos el siguiente ejemplo

Cálculo de la relación entre los diámetros exteriores (De/D) • Para la sección circular maciza será Resolución • Para la sección circular hueca (anular) será Veamos el siguiente ejemplo

Cálculo de la relación entre los diámetros exteriores (De/D) • Para poder reemplazar una sección por otra, debe cumplirse que ambas secciones tengan las mismas tensiones tangenciales máximas Resolución …y reemplazando valores: Veamos el siguiente ejemplo

Cálculo de la economía del material (peso) • La economía en peso, a igualdad de material y longitud de la pieza, va a estar dada por la relación entre áreas de ambas secciones Resolución Lo que nos dice que: Ahorro =21,71% Veamos el siguiente ejemplo

Dadas dos barras de acero que poseen igual área, siendo una de ellas de sección circular y la otra de sección rectangular, las cuales soportan pares torsores equivalentes y cuyos datos se indican en la figura, se solicita determinar: • Las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas Problema 3 • Los ángulos de rotaciones específicos y las relaciones entre los mismos • Las tensiones tangenciales máximas que ocurren en el lado menorde la sección rectangular Datos: D = 4 cm; MT = 60 KN.cm; G = 8 x 103KN/cm2 Veamos ahora el siguiente ejemplo

Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para la barra de sección circular maciza será Resolución • Para la barra de sección circular rectangular, siendo ambas barras de igual áreaserá: Veamos ahora el siguiente ejemplo

Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para el lado menor la mayor tensión será: • La relaciones entre las máximas tensiones para ambas secciones será: Resolución Dicha relación está indicando que para el problema planteado, a igualdad de momentos torsores y áreas, para una relación (h/b = 2) la tensión tangencial máxima en la sección rectangular es aproximadamente un 64% superior a la correspondiente a la sección circular.

Cálculo de los ángulos de torsión específicos en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para la barra de sección circular maciza será Resolución • Para la barra de sección circular rectangular será:

Cálculo de los ángulos de torsión específicos en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • La relaciones entre los ángulos de torsión específicos para ambas secciones será: Resolución Dicha relación está indicando que para el problema planteado, a igualdad de momentos torsores y áreas, para una relación (h/b = 2) el ángulo de torsión específico en la sección rectangular es aprox. un 41% superior al correspondiente a la sección circular.

Dos barras de acero de iguales dimensiones, las cuales están construidas con un anillo circular de pequeño espesor, siendo una de ellas de contorno cerrado y la otra abierta, se encuentran sometidas a pares torsores equivalentes según se observa en la figura. Se solicita determinar en ambos casos: • Las tensiones tangenciales y las relaciones entre las mismas Problema 4 • Los ángulos específicos de torsión y sus relaciones Datos: Rm = 10 cm; e = 1 cm; MT = 200 KN.cm; G = 8 x 103KN/cm2 Veamos el siguiente ejemplo

Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para el anillo circular de pequeño espesor de contorno cerrado será Resolución • Para el anillo circular de pequeño espesor de contorno abierto será: Veamos el siguiente ejemplo

Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • La relación entre ambas tensiones tangenciales será: Resolución Como se observa, para el problema planteado es 30 veces superior a . Como conclusión, a igualdad de condiciones geométricas y de cargas, la rigidez de a la torsión de un anillo circular cerrado es notablemente superior al caso en que el mismo estuviese abierto, es decir, con una pequeña ranura a lo largo de su generatriz.

Cálculo de los ángulos específicos de torsión en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para el anillo circular de pequeño espesor de contorno cerrado será Resolución • Para el anillo circular de pequeño espesor de contorno abierto será: Veamos el siguiente ejemplo

Cálculo de los ángulos específicos de torsión en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • La relación entre ambos ángulos específicos de torsión será: Resolución Como se observa, para el problema planteado es 300 veces superior a . Como conclusión, a igualdad de condiciones geométricas y de cargas, la rigidez de a la torsión de un anillo circular cerrado es notablemente superior al caso en que el mismo estuviese abierto, es decir, con una pequeña ranura a lo largo de su generatriz.

Dimensionar un árbol de transmisión como el de la figura, con dos apoyos y tres poleas. Lapolea Crecibe 100 HP, mientras que la polea Btoma 40 HP y la polea Dtoma 60 HP. El número de revoluciones es de 175 rpm Datos: adm= 120 Kg/cm2; G = 8,4 x 105 Kg/cm2 Problema 5 Veamos el siguiente ejemplo

Dimensionar un árbol de transmisión como el de la figura, con dos apoyos y tres poleas. Lapolea Crecibe 100 HP, mientras que la polea Btoma 40 HP y la polea Dtoma 60 HP. El número de revoluciones es de 175 rpm Datos: adm= 120 Kg/cm2; G = 8,4 x 105 Kg/cm2 Resolución Problema 5 Convertimos las potencias en momentos torsores y trazamos el diagrama de MT Veamos el siguiente ejemplo siendo el tramo más solicitado el tramo de la derecha, tomaremos para dimensionar N = 60 HP y MD= 24600 kg.cm

Resolución El dimensionamiento debe realizarse para la sección más comprometida (aquella para la cual se verifica MT = MTmax), y dentro de esta para la fibra más solicitada (la más alejada del centro del eje – esto es para el radio externo D/2) Datos: adm= 120 Kg/cm2; G = 8,4 x 105 Kg/cm2 Esta tensión, no deberá superar los valores de la tensión admisible

Para el esquema estructural de barra de la figura se pide calcular: • Reacciones de vínculo • Diagrama de momentos torsores Problema 6 • Diagrama de tensiones tangenciales máximas a lo largo del eje de la barra • Diagrama de los ángulos específicos de torsión • Diagrama de los ángulos absolutos de torsión Nota: este es un sistema hiperestático Veamos el siguiente ejemplo

Resolución Cálculo de las reacciones de vínculo Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momentos debe ser nula: (Ecuación de equilibrio de la Estática) Además, el ángulo absoluto de torsión para el punto C deberá ser el mismo viniendo tanto por derecha como por izquierda, por ello resulta: integrando y simplificando será: (Condición de contorno de Resistencia de Materiales) Veamos el siguiente ejemplo

Resolución Ángulos específicos de torsión Los calculamos como sigue: Ángulos de torsión absoluta. Los calculamos como sigue:

Resolución Cálculo de las tensiones tangenciales Serán directamente proporcional al momento torsor y al radio de la sección de la barra e inversamente proporcional al momento de inercia polar de la sección: Tracemos los diagramas

Resolución [t.m] [kg.cm2] [E. -3][1/cm] Tracemos los diagramas [1/cm]

Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias

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