nedolo eni in dolo eni integral n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
NEDOLOČENI IN DOLOČENI INTEGRAL PowerPoint Presentation
Download Presentation
NEDOLOČENI IN DOLOČENI INTEGRAL

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 27

NEDOLOČENI IN DOLOČENI INTEGRAL - PowerPoint PPT Presentation


  • 137 Views
  • Uploaded on

NEDOLOČENI IN DOLOČENI INTEGRAL. 3.7. Nedoločeni integral. Gaussova krivulja je graf funkcije µ ∈ IR - matematično upanje σ ∈ IR, σ > 0 - standardni odklon Kako izračunati ploščino med Gaussovo krivuljo in abscisno osjo? Splošno: kako izračunati ploščino krivočrtno omejenega lika?.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'NEDOLOČENI IN DOLOČENI INTEGRAL' - gabi


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
3 7 nedolo eni integral
3.7. Nedoločeni integral

Gaussova krivulja je graf funkcije

µ ∈ IR - matematično upanje

σ ∈ IR,σ > 0 - standardni odklon

Kako izračunati ploščino med Gaussovo krivuljo in

abscisno osjo?

Splošno: kako izračunati ploščino krivočrtno omejenega

lika?

slide3

DEFINICIJA.

Nedoločeni integral ali primitivna funkcija funkcije f

na intervalu I ⊆ Dfje tista funkcija F, za katero velja

F ’(x) = f(x) za vsak x ∈ I.

Ker velja za poljubno konstanto C enakost

(F(x) + C)’= F ’(x) = f(x),

zapišemo nedoločeni integral

integralski znak, f(x) integrand, x integracijska spremenljivka, dx diferencial integracijske spremenljivke

slide4

Elementarni nedoločeni integrali

Funkcija f(x) Nedoločeni integral

Konstantna funkcija 1

Potenčna funkcija

Eksponentna funkcija

Trigonometrične funkcije

slide5

Elementarni nedoločeni integrali

Funkcija f(x) Nedoločeni integral

slide6

Lastnosti nedoločenega integrala

IZREK. Če obstajata nedoločena integrala funkcij f in

g, obstaja tudi nedoločeni integral njune vsote (oziroma

razlike) in je enak vsoti (razliki) integralov

POSLEDICA. Če obstajajo nedoločeni integrali funkcij

f1, f2 . . . fn, obstaja tudi nedoločeni integral njihove vsote

in velja

slide7

IZREK. Če obstaja nedoločeni integral funkcije f,

obstaja tudi nedoločeni integral funkcije C f, pri čemer

je C poljubna konstanta in velja

IZREK. Če obstaja nedoločeni integral funkcije f in če

je x = x(t) odvedljiva funkcija, obstaja tudi nedoločeni

integral funkcije f(x(t)) x’(t) in velja

slide9

Metode integriranja

Uvedba nove spremenljivke

Če iskanega nedoločenega integrala ni v tabeli

elementarnih integralov, poiščemo tako novo

spremenljivko t (če obstaja), da najdemo integral

med elementarnimi integrali.

Nekaj primerov funkcij, ki jih lahko integriramo z

uvedbo nove spremenljivke:

slide11

Integriranje po delih (metoda ”per partes”)

IZREK. Naj bosta funkciji u in v odvedljivi in naj

obstaja eden od integralov in .

Tedaj obstaja tudi drugi integral in velja

Primeri funkcij, ki jih lahko integriramo po delih:

pri čemer je p(x) polinom.

3 8 dolo eni integral
3.8. Določeni integral

Kako izračunati ploščino krivočrtno omejenega lika?

Naj bo funkcija f na intervalu [a, b] zvezna in pozitivna.

Interval [a, b] razdelimo na n podintervalov

Širine podintervalov so

Naj bo ∆ širina največjega podintervala:

slide14

Na vsakem podintervalu si izberimo poljubno vrednost

in zapišimo vsoto ploščin pravokotnikov

je Riemannova ali integralska vsota.

IZREK. Zaporedje Riemannovih vsot je

konvergentno.

slide15

DEFINICIJA. Določeni integral funkcije f na intervalu

[a, b] je

Oznake:

a – spodnja meja določenega integrala,

b – zgornja meja določenega integrala,

[a, b] – integracijski interval.

slide16

Geometrijska interpretacija določenega integrala

Določeni integral funkcije f na intervalu [a, b] je enak

ploščini lika, omejenega s krivuljo y = f(x) in osjo x na

intervalu od a do b.

DEFINICIJA. Funkcija f je integrabilna na intervalu

[a, b] natanko tedaj, ko obstaja določeni integral

slide17

Lastnosti določenega integrala

Naj bo funkcija fintegrabilna na intervalu [a, b]. Tedaj

velja

1.

POSLEDICA. Če je ima funkcija f na intervalu [a, b]

oba predznaka, je ploščina med krivuljo in osjo x enaka

slide18

2.

3. Naj bo a < c < b. Tedaj velja

(Posplošitev: točka c lahko leži tudi zunaj intervala [a, b].)

4.

5. Oznaka integracijske spremenljivke v določenem integralu je irelevantna:

slide19

IZREK O POPREČNI VREDNOSTI

Če je funkcija f na na intervalu [a, b] integrabilna in je

M natančna zgornja meja, m pa natančna spodnja meja

funkcije f na intervalu [a, b], obstaja natanko določeno

število , tako da velja

Če je funkcija f na intervalu [a, b] zvezna, obstaja na

tem intervalu vsaj eno število ξ ∈ [a, b], tako da je

slide20

Zveza med določenim in nedoločenim integralom

Določeni integral kot funkcija zgornje meje

Naj bo funkcija f na intervalu [a, b] integrabilna in naj

bo x ∈ [a, b]. S predpisom

je definirana funkcija F: [a, b] → IR (določeni integral

je funkcija zgornje meje).

slide21

IZREK. Funkcija F je zvezna na intervalu [a, b].

IZREK. Če je funkcija f zvezna na intervalu [a, b], je funkcija F

odvedljiva in velja

F ’(x) = f(x) za vsak x ∈ [a, b].

IZREK. Newton – Liebnitzova formula

POSLEDICA. Določeni integral obstaja pri vsaki zvezni funkciji.

Primer. Izračunajte dani določeni integral. Rezultat geometrijsko

interpretirajte.

3 9 uporaba dolo enega integrala 3 9 1 plo ina med krivuljama
3.9. Uporaba določenega integrala3.9.1. Ploščina med krivuljama

Predpostavke:

• funkciji f in g naj bosta integrabilni,

• naj bosta x1 in x2 rešitvi enačbe f(x) = g(x),pri tem pa

naj bo x1 < x2,

• naj bo f(x) > g(x) za vsak x ∈ [x1, x2].

Ploščina lika, ki ga oklepata krivulji y = f(x) in y = g(x)

je tedaj enaka

3 9 2 prostornina vrtenine
3.9.2. Prostornina vrtenine

Funkcija f naj bo integrabilna na intervalu [a, b ].

Krivuljo y = f(x) zavrtimo okrog osi x. Prostornina tako

nastale vrtenine (rotacijskega telesa) je

slide25

Primer. Lik, ki ga omejujeta os x in graf funkcije na

intervalu , zavrtimo okrog osi x. Izračunajte prostornino

nastale vrtenine.

slide26

Vprašanja, naloge

  • S primerom in sliko ponazorite izrek o povprečni vrednosti funkcije na danem intervalu. Kakšen je geometrijski pomen vrednosti ?

2. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo abscisna os in grafa funkcij in . Izračunano ploščino še ocenite s ploščino trikotnika, ki ima osnovnico na abscisni osi med temenoma danih krivulj in vrh v presečišču teh krivulj. Kolikšni sta absolutna in relativna napaka ocene? Krivulji, lik in trikotnik tudi skicirajte.

slide27

3. Z določenim integralom izračunajte ploščino trikotnika s stranicami dolžine 3, 4 in 5.

4. Z določenim integralom izračunajte prostornino valja s polmerom dolžine 3 in višino dolžine 5.