第六章定积分应用

第六章定积分应用 • 定积分的元素法 • 定积分在几何学上的应用 • 定积分在物理学上的应用

(1)所求量Ｕ与一个变量x的变化区间[a,b]有关； (2)Ｕ对区间[a,b]具有可加性； (3)部分量的近似值可表示为。 (1)选取积分变量x，确定它的变化区间[a,b]; (2)相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx]，写出部分量　　的近似值　　所求量的元素dU=f(x)dx (3)以dU为被积表达式，在[a,b]上作定积分，得: 第一节定积分的元素法一、元素法实施条件二、元素法实施步骤

平面图形的面积 体积平面曲线的弧长 y Ｏ x 第二节定积分在几何学上的应用

求由曲线 y=f(x), y=g(x) (f(x)>g(x))与直线x=a, x=b(a<b)所围图形的面积。 y=f(x) y=g(x) y x x+ dx a b Ｏ x 定积分几何应用之一平面图形的面积一、直角坐标情形问题： (i)取x为积分变量，则 (ii)相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx] 的小窄条面积近似值，即面积元素 (iii)所求面积

例１求由抛物线　　　　　　　　所围 y o x x+dx x 图形之面积。解 (i)求交点 (ii)相应于[0,1]上任一小区间[x,x+dx]的小窄条面积的近似值，即面积元素 (iii)所求面积

例２求由抛物线　　　　与直线　　　所围图形面积。例２求由抛物线　　　　与直线　　　所围图形面积。 y y+dy 方法1 y o x 解 (i)求交点 (ii)相应于[-2,4]上任一小区间[y,y+dy]的小窄条面积的近似值，即面积元素 (iii)所求面积

方法2 y o x 比较方法1和方法2知：适当选择积分变量可以简化计算过程。 (i)取x为积分变量，则 (ii)面积元素 (iii)所求面积

练习求由抛物线　　　　　及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围图形面积。练习求由抛物线　　　　　及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围图形面积。 (3/2,3) y o x 解则 y=4x-3 y=-2(x-3) 点(0,-3)和(3,0)处的切线方程分别为 (i)两切线交点为 (ii)面积元素 (iii)所求面积

　　设由曲线 　　　　与射线　　　　，　　 (i)取极角　为积分变量，则 x o 二、极坐标情形围成一图形,求该图形的面积。 (ii)面积元素 (iii)所求面积

例３求由阿基米得螺线　　　　　上相应 于　　　　　的一段弧与极轴所围图形面。 o x 解面积元素所求面积

设曲线弧由参数方程　　　　　　　　　给出，设曲线弧由参数方程　　　　　　　　　给出，三、参数方程情形求由这曲线弧所围图形的面积。 (i)　取t 为积分变量，则 (ii) 面积元素 (iii) 所求面积

例４求由椭圆　　　　　　所围图形面。 y b -a a o x -b 解椭圆参数方程为面积元素所求面积

练习1 .求由曲线 所围图形面积。 2.求由曲线及所围图形的公共部分的面积 y a x -a a x o -a S1 S2

答案 1.所求面积 2.所求面积

A S1 S2 x 所求面积

定积分几何应用之二 体　　积一、旋转体的体积旋转体：由一平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体，称为旋转体。定直线　－　旋转轴

曲边梯形　　　　　　　　绕 x轴旋转一周而成的立体体积。　 y x x + o dx x a b 旋转体体积的计算旋转轴为x轴： (i)取x为积分变量，则 (ii)相应于[a,b]上任一小区间[x.x+dx]的小旋转　体体积近似值，即体积元素 (iii)所求体积

y P(h,r) o x 例１求由连接坐标原点O及P(h,r)的直线及　　x=h,x轴所围三角形绕x轴所成旋转体之体积。解OP的方程为　 (i)取x为积分变量，则 (ii)相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx]的小旋转　体体积近似值，即体积元素 (iii)所求体积

曲边梯形　　　　　　　　绕 y轴旋转一周而成的立体体积。　 y d c o x 旋转体体积的计算旋转轴为y轴： (i)取y为积分变量，则 (ii)相应于[c,d]上任一小区间[y,y+dy]的小旋转　体体积近似值，即体积元素 dy (iii)所求体积

例２　求由曲线和 及x轴所围图形绕y轴旋转所成旋转体的体积。 y o x 1 (1,1) 解: （１）取y为积分变量，则（２）相应于[0,1]上任一小区间[y, y+dy]的体积元素（３）所求体积

例３求由曲线 和直线　　　　　所围图形分别绕x轴和y轴旋转而成旋转体的体积。 y o 2 x 解: （１）旋转轴为x轴体积元素：所求体积: （２）旋转轴为y轴体积元素：所求体积：

例4　证明：由平面图形 　　　　　绕 y轴旋转而成的旋转体的体积为（这是一个底面积为　　　，高为　　的圆柱体的体积） y C D A B o a b x 　　　如图，在距坐标原点为x处取一底边长为dx的小曲边梯形ABCD,易知它绕y轴旋转所得的旋转体体积近似值，即体积元素证明于是,所求体积为：

练习求由曲线　和直线 x=1所围图形分别绕 x轴和y轴旋转而成旋转体的体积。 y o x （１）旋转轴为 x 轴解: (1,e) 体积元素：所求体积： (1,1/e) 1 （２）旋转轴为 y 轴所求体积：或

定积分几何应用之二 体　　积二、平行截面面积已知的立体体积　　若立体不是旋转体，但立体垂直于某定轴的各截面面积已知，该立体体积亦可用定积分计算。１. 过点x而垂直于x轴的平面截立体得截口面积为则立体体积为

c o d y y 2. 过点y而垂直于y轴的平面截立体得截口面积为 B(y) 则立体体积为

例5　求　　及　　　　　两圆柱面所围立体的体积。　　　　　　　 z L y K M o N x 解: 　　在所围立体上，作平行于坐标面 yoz 的截面KLMN，　　由于NM=ML，所以KLMN为正方形，其面积为所求体积:

例6一平面经过半径为Ｒ的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角　（如图）。计算这平面截圆柱体所得立体的体积。　　　　　　　例6一平面经过半径为Ｒ的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角　（如图）。计算这平面截圆柱体所得立体的体积。　　　　　　　 -R y O y x R x 解如图建立坐标系，则底圆的方程为立体中过点 x 且垂直于 x 轴直角的截面为直角三角形，直角边长分别 y 为及ytana，截面积为所求立体体积为

设A、B为曲线弧上两端点，在AB上任取分点 若　　　且　　　　　　　　　均缩为一点时Ｂ y ＡＯ x 定积分几何应用之三平面曲线的弧长一、平面曲线弧长的概念定义：　　　　的极限存在，称此极限为曲线弧的弧长；并称该曲线弧是可求长的。　定理：光滑曲线弧是可求长的。

y dy y=f(x) x x+dx o a b x 二、光滑曲线弧长的计算定积分１. 直角坐标情形　曲线弧由方程y=f(x)给出，其中f(x)在[a,b]上具有连续一阶导数，求该曲线(如图)的长度。 (i) 取x为积分变量,则 (ii)弧长元素（弧微分） (iii)所求弧长

设曲线弧由参数方程　　　　　　　　　给出，设曲线弧由参数方程　　　　　　　　　给出，其中　　、　　在　　上具有连续导数，求这曲线２参数方程情形的长度。 (i)　取t 为积分变量，则 (ii) 弧长元素 (iii) 所求弧长

给出，其中　　　　　在　　　　上具有连续导数，给出，其中　　　　　在　　　　上具有连续导数，３　极坐标情形曲线弧由极坐标方程求该曲线弧长。利用有所求弧长

例1　求由曲线相应于 的一段弧（如图）的长度。　　　　　　　　　　　 y o x 令解从而弧长元素所求弧长

例２　计算星形线　　　　　　的全长。　　　　　　　　　　　 y a -a a x o -a 解弧长元素所求弧长

例３　计算心形线　　　　　　的全长。　　　　　　　　　　　 x 解弧长元素所求弧长

第六章 定积分应用