Работа выполнена студентами кафедры зоологии беспозвоночных биологического факультета МГУ

1. Отбор циклов с периодом-простым числом в модели «хищник-жертва» с использованием методов компьютерного моделирования. Работа выполнена студентами кафедры зоологии беспозвоночных биологического факультета МГУ Неклюдовым Б.В. И Горелышевой Д.И.

2. Объект исследования • Phylum:Arthropoda • Class:Insecta • Order:Hemiptera • Suborder:Auchenorrhyncha • Infraorder:Cicadomorpha • Superfamily:Cicadoidea • Family:Cicadidae • Subfamily:Cicadettinae • Genus:Magicicada

3. ВведениеГипотезы происхождения жизненного цикла • Гипотеза хищника Длинные жизненные циклы с периодом, равным простому числу, значительно снижают частоту встреч цикады с хищником • Генетическая гипотеза Длительные жизненные циклы, с периодом равным простому числу, значительно снижают частоту встреч разных популяций цикад между собой, а значит и частоту скрещиваний

4. ВведениеЦели • Подтвердить гипотезу хищника, пользуясь методами математического моделирования, несмотря на нехватку биологических данных • Показать, что эту биологическую модель можно использовать в теории чисел для получения простых чисел любой величины

5. Выводы • По результатам, полученным исследованием моделей от времени, можно сделать вывод, что существует общая предрасположенность в таком типе динамических процессов склоняться к простым числам. • Несмотря на то, что существуют более простые традиционные методы обнаружения простых чисел, биологические модели так же можно использовать для этих целей.

6. Анализ статьи при помощи методов компьютерного моделирования • Цели и задачи: • Промоделировать систему, представленную в статье, при помощи языка программирования QBasic • Проверить гипотезу конкуренции • Сравнить результаты статьи с собственными результатами Гипотеза конкуренции: При конкуренции между двумя видами наиболее выгодным периодом жизненного цикла оказывается цифра равная простому числу, т.к. снижается конкуренция за ресурсы.

7. Результаты проверки первичной модели 19 17 • В статье утверждается, что если жизненный цикл жертвы выходит на простое число, то он закрепляется и больше не меняется. Однако,например, для пары X=2, Y=19 правило нарушается, и жизненный цикл мутирует до Y=15 15 15 5 5 4 3 3 2

8. Результаты проверки первичной модели • Более того можно отметить интересные закономерности в изменении жизненных циклов вслед друг за другом, в результате которых получаются хаотические колебания.

9. Обсуждение • При X=2 переходы между числами Y ( с 19 или 17 на 15)можно объяснить так: • Почему не простое число? В данной системе главным критерием для Y при X=2 является нечетность.

10. Обсуждение • Почему с 19 на 15? • При подсчете вручную 15 действительно оказывается выгоднее 19: • Ny=50\19=3; Ng=50\15=4 • ∑fy(t)=-2+1=-1; ∑fg(t)=-2+1=-1 • Fy=∑fy(t)/Ny=-1/3; Fg=∑fg(t)/Ng=-1/4 • Fy< Fg-> Y=G=15 на следующем шаге

11. Обсуждение • Колебания на графике демонстрируют нам, что при данных ограничениях система не может прийти в равновесие. Жертва постоянно мутирует вслед за хищником, и реже происходит наоборот.

12. Доработка На основе этих пунктов дорабатываем программу • Вносим более жесткие ограничения: Вместо 2 ≤ X ≤ L/2 Устанавливаем 2<X ≤ L/2

13. N=50 L=89 -> X=4; Y=89 N=50 L=22 -> X=3; Y=17 Результаты для конечной модели • Действительно, мы приходим к простым числам для периода жизненного цикла жертвы

14. Результаты Иногда выпадают составные числа. Очень редкопроисходит скачок с простых чисел на составные ивозврат.

15. Обсуждение результатов • После доработки программа стала работать лучше. • Система приходит к простым числам, но существуют некоторые пары чисел, где период жизненного цикла жертвы не соответствует простому числу. На данном количестве шагов они имеют схожие свойства с простыми числами или же являются взаимно простыми. Это чаще случается при больших L и малом количестве шагов.Напротив, при малых L и большом числе шагов вероятность прихода к простому числу выше

16. Пары чисел, обладающие свойствами простых • X=4, Y=58, G=63 • Ny=50\58=1; Ng=50\63=1 • ∑fy(t)=-3+2=-1; ∑fg(t)=-2+3=1 • Fy=∑fy(t)/Ny=-1/1=-1; Fg=∑fg(t)/Ng=1/1=1 • Fy< Fg-> Y=G=63 на следующем шаге • Таким образом, пара чисел 4 и 63 обладает свойствами простых чисел, то есть имеет наименьшее общее кратное, равное X*Y=252

17. Модель конкуренции Для преобразования исходной модели необходимо было изменить моментальную функцию успешности и ограничения на значения жизненного цикла. Теперь X и Y – две(-а) популяции(вида) цикад

18. Результаты • Период жизненного цикла одной популяции выпадает на простое число, а второй – максимально приблизиться к периоду первой.

19. Результаты • Иногда встречаются, как и в модели хищник жертва, пары составных чисел

20. Результаты • Был получен график, соответствующий реальным жизненным циклам двух видов цикад

21. Обсуждение результатов • 2 стратегии: • Первая популяция стремится к простому числу • Вторая стремится приобрести как можно больший период жизненного цикла, но при этом не отходя далеко от периода ж/ц первой популяции. Но если выпадает простое число, может оставаться и на нем.

22. Обсуждение результатов • Выпадение пар , в которых нет простых чисел объясняется так же, как и в модели хищник-жертва. • Выпадение реальных периодов жизненных циклов цикад при биологическом ограничении L=22 в модели конкуренции играет в пользу этой гипотезы.

23. Сравнение материалов статьи с полученными данными. • Ограничение на период жизненного цикла хищника, указанное в статье, оказалось не совсем верным. • В нашей программе не получились представленные в статье результаты (17 и 4) • Данная программа не всегда генерирует простые числа.

24. Выводы • В данных системах имеется тенденция склоняться к простым числам или же к числам, имеющим свойства простых. • Эти модели нельзя использовать для получения простых чисел. • Гипотеза конкуренции значительно лучше гипотезы хищник-жертва, что подтверждается полученными в программе числами, соответствующими реальным периодам жизненных циклов цикад.

25. Возможно, что при объединении модели конкуренции и хищника, эти программы можно будет использовать для получения простых чисел, поэтому требуются дальнейшие исследования • Так же следует провести статистический анализ для проверки достоверности полученных нами данных

26. Спасибо за внимание

27. Приложения

28. Prime Number Selection of Cycles in aPredator-Prey ModelERIC GOLES,† OLIVER SCHULZ,* AND MARIO MARKUS*†Center for Mathematical Modelling of Complex Systems, FCFM, University of Chile, Casilla 170-3,Santiago, Chile*Max-Planck-Institut fu¨ r molekulare Physiologie, Postfach 500247, D-44202 Dortmund, GermanyReceived September 14, 2000; revised January 30, 2001; accepted January 30, 2001 Оригинальная статья

29. Симуляция процесса во времени • X – период цикла хищника-резидента, • Q– период цикла хищника-мутантапри Y = const • Y – период цикла жертвы-резидента, • G – период цикла жертвы-мутантапри X = const

30. Выставляем ограничения • Ограничения на значения периодов X и Y • 2 ≤ X ≤ L/2 • L/2 + 2 ≤ Y ≤ L • L выбирается исходя из условий задачи

31. Рассмотрим моментальную функцию успешности f(t) fy(t): • -1 – появление и встреча хищника; • 0 – нет появления; • +1 – появление без хищника fx(t): • +1 – появление и встреча жертвы; • 0 – нет появления; • -1 – появление без жертвы

32. Рассмотрим суммарную функцию успешности • Nx = N\X – целое число поколений хищника-резидента за N лет; Nq=N\Q – для мутанта • Ny = N\Y – целое число поколений жертвы-резидента за N лет; Ng=N\G – для мутанта • Fy = ∑fy(t)/Nyпри t=[0;XY]; • Fg = ∑fg(t)/Ngпри t=[0;XG]; • Fx = ∑fx(t)/Nxпри t=[0;XY]; • Fq = ∑fq(t)/Nqпри t=[0;QY]; • Fg > Fy –>Y=G; Fq > Fx –> X=Q

33. Рассмотрим вычисления на конкретном примере: На данном шаге моделирования: Условия: • N=50 лет • X=4; Q=5 • Y=10; G=17 • Для Жертвы: • Ny=50\10=5 • Ng=50\17=2 • ∑fy(t)=-3+2=-1 - встреча X и Y • ∑fg(t)=-2+3=1 - встреча X и G 0 10 20 30 40 0 17 34 51 68

34. Рассмотрим вычисления на конкретном примере: На данном шаге моделирования: Условия: • N=50 лет • X=4; Q=5 • Y=10; G=17 • Для Хищиника: • Nx=50\4=12 • Nq=50\5=10 • ∑fx(t)=3-8=-5 - встреча X и Y • ∑fq(t)=5-6=-1 - встреча Q и Y 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

35. Рассмотрим вычисления на конкретном примере: • Для Хищника • Fx=∑fx(t)/Nx=-5/12=-0,417 • Fq=∑fq(t)/Nq=-1/10=-0,1 • Fx< Fq-> X=Q=5 на следующем шаге • Для Жертвы • Fy=∑fy(t)/Ny=-1/5=-0,2 • Fg=∑fg(t)/Ng=1/2=0,5 • Fy< Fg-> Y=G=17 на следующем шаге

36. Симуляция процесса во времени • На рисунке 2а – биологическая модель, L = 22, период цикла Y = 17 – простое число • На рисунке 2b – чисто математическая модель, L = 2,2 * 109, период цикла Y замыкается на числе Эйлера

37. Модель конкуренции f(t): • -1 – появление и встреча; • 0 – нет появления; • +1 – появление без встречи Ограничения на значения жизненного цикла 2 <X ≤ L 2 <Y ≤ L