第 5 章函数

第5章函数

5.1 函数的概念 5.2 逆函数和复合函数 5.3 集合的基数

5.1 函数的概念 5.1.1 函数的定义 5.1.2 函数的性质

5.1.1 函数的定义 定义5.1 设A和B为集合，fA×B，若对任意的x∈A，都存在惟一的y∈B使得xfy(或<x，y>∈f)成立，则称f为从A到B的函数或映射，记作f：A→B。若xfy，可记作f：x→y或f(x)＝y。y称为x在f下的像，x称为y在f下的原像。函数与关系的区别在于：函数的定义域为A，而关系不一定是；函数要求A中每个元素只对应一个像，而关系则可以一个元素对应多个像。

因而，一个关系f是函数，则f应满足： (1)Df＝A。 (2)若f(a)＝b1且f(a)＝b2，则b1＝b2。即函数具有单值性。由于函数的单值性是不能倒过来的，因而，函数的逆关系不一定是函数。定义5.2 设f和g是A到B的函数，若对任意的x∈A都有f(x)＝g(x)，则称函数f和g相等，记为f＝g。

例1设A＝{1，2，3}，f＝{<1，1>，<2，1>，<3，2>}，g＝{<1，2>，<2，3>，<3，1>，<3，2>}，h＝{<1，2>，<2，3>}，判断f、g和h是否为A到A的函数。例1设A＝{1，2，3}，f＝{<1，1>，<2，1>，<3，2>}，g＝{<1，2>，<2，3>，<3，1>，<3，2>}，h＝{<1，2>，<2，3>}，判断f、g和h是否为A到A的函数。解因为Df＝A且f具有单值性，所以f是函数。对于g，因为<3，1>∈g且<3，2>∈g，所以g不具有单值性，因而g不是函数。对于关系h，Dh＝{1，2}≠A，所以h不是函数。定义5.3 对集合A和B，从A到B的所有函数的集合记为BA，即BA＝{f|f：A→B}。

定理5.1 若A和B是有限集合，|A|＝m，|B|＝n，则|BA|＝nm。设A＝{a1，a2 ，…，am} 证明 f是A到B的任意函数则Df＝A f＝{<a1，f(a1)>，<a2 ，f(a2)>，…，<am，f(am)>} 因为每个f(ai)有n种可能所以A到B的不同函数共有nm个。

例2 设A＝{1，2，3}，B＝{a，b}，求从A到B的所有函数。解因为|A|＝3，|B|＝2，所以从A到B共有8个函数： f1＝{<1，a>，<2，a>，<3，a>} f2＝{<1，a>，<2，a>，<3，b>} f3＝{<1，a>，<2，b>，<3，a>} f4＝{<1，a>，<2，b>，<3，b>} f5＝{<1，b>，<2，a>，<3，a>} f6＝{<1，b>，<2，a>，<3，b>} f7＝{<1，b>，<2，b>，<3，a>} f8＝{<1，b>，<2，b>，<3，b>}

定义5.4 设f是A到B的函数，A1A，B1B，称f(A1)＝{f(x)|x∈A1}为A1在f下的像，称f－1(B1)＝{x|x∈A∧f(x)∈B1}为B1在f下的完全原像。例如，设A＝{1，2，3}，B＝{a，b，c，d}，f是A到B的函数，且f＝{<1，a>，<2，c>，<3，c>}。令S＝{1，3}，T＝{a，c}，则f(S)＝{a，c}，f－1(T)＝{1，2，3}。

定理5.2 设f是A到B的函数，A1、A2A，B1、B2B，则： (1)f(A1∪A2)＝f(A1)∪f(A2) (2)f(A1∩A2)f(A1)∩f(A2) (3)f(A1－A2)f(A1)－f(A2) (4)f－1(B1∪B2)＝f－1(B1)∪f－1(B2) (5)f－1(B1∩B2)＝f－1(B1)∩f－1(B2) (6)f－1(B1－B2)＝f－1(B1)－f－1(B2)

(7)A1f－1(f(A1)) (8)f(f－1(B1))B1 证明仅证(2)。对任意的y∈f(A1∩A2)，存在x∈A1∩A2使得f(x)＝y，则有x∈A1且f(x)＝y，x∈A2且f(x)＝y，于是y∈f(A1)且y∈f(A2)，即有y∈f(A1)∩f(A2)，所以f(A1∩A2)f(A1)∩f(A2)。

下面通过一个例子说明(2)中等号不一定成立。 例如，A＝{1，2}，B＝{a}，f：A→B，f(1)＝f(2)＝a，取A1＝{1}，A2＝{2}，则A1∩A2＝，从而f(A1∩A2)＝，但f(A1)∩f(A2)＝{a}。

5.1.2 函数的性质 定义5.5 设f是A到B的函数 (1)若Rf＝B(或f(A)＝B)，则称f是A到B的满射(或到上的映射)； (2)若对任意的x1、x2∈A，x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，则称f是A到B的单射(或入射)； (3)若f既是满射又是单射，则称f是A到B的双射。特别地，：B是单射，：是双射。

由定义可得： (1)f：A→B是满射对任意的y∈B，存在x∈A，使f(x)＝y。 (2)f：A→B是单射对任意的x1、x2∈A，若x1≠x2，则有f(x1)≠f(x2)对任意的x1、x2∈A，若f(x1)＝f(x2)，则有x1＝x2。例3判断下列函数是否为单射、满射或双射？ (1)f：{1，2}→{0}，f(1)＝f(2)＝0。 (2)f：N→N，f(x)＝2x。 (3)f：Z→Z，f(x)＝x＋1。

(1)因为Rf＝{0}，所以f是满射。由于f(1)＝f(2)，但1≠2，所以f不是单射。解 (2)对任意的x1、x2∈N，若x1≠x2，则2x1≠2x2，于是有f(x1)≠f(x2)，所以f是单射。因为1∈N没有原像，所以f不是满射。 (3)对任意的x1、x2∈Z，若x1≠x2，则x1＋1≠x2＋1，于是有f(x1)≠f(x2)，所以f是单射。对任意的y∈Z，令x＝y－1，则x∈Z，且有f(x)＝x＋1＝y，所以f是满射。故f是双射。

一般情况下，一个函数是满射和单射之间没有必然的联系，但当A和B都是有限集时，则有如下的定理。一般情况下，一个函数是满射和单射之间没有必然的联系，但当A和B都是有限集时，则有如下的定理。定理5.3 设f是A到B的函数，A和B是有限集合，且|A|＝|B|，则f是单射当且仅当f是满射。证明若f是单射，则|A|＝|f(A)|。再由|A|＝|B|得|f(A)|＝|B|。从f的定义知f(A)B，而|f(A)|＝|B|，又因为|B|是有限的，从而f(A)＝B，所以f是满射。

若f是满射，则f(A)＝B，于是|A|＝|B|＝|f(A)|。因为|A|＝|f(A)|和|A|是有限的，所以f是单射若f是满射，则f(A)＝B，于是|A|＝|B|＝|f(A)|。因为|A|＝|f(A)|和|A|是有限的，所以f是单射需要说明的是，定理5.3在无限集合上不成立。例如，令f：Z→Z，f(x)＝2x，则f是单射但不是满射。

5.2 逆函数和复合函数 5.2.1 逆函数 5.2.2 复合函数 5.2.3 几种特殊的函数

5.2.1逆函数 任何关系都存在逆关系，一个关系的逆关系不一定是函数，一个函数的逆关系也不一定是函数。例如，设A＝{a，b，c}，f＝{<a，c>，<b，c>，<c，a>}，g＝{<a，b>，<a，c>，<a，a>}，则f是函数但f的逆关系f－1不是函数，g不是函数但g的逆关系g－1是函数。但当f是双射时，则可以证明f－1是函数。定理5.4 若f：A→B是双射，则f－1是B到A的函数。

对任意的y∈B，因为f：A→B是双射，即f：A→B是满射，则存在x∈A使得<x，y>∈f，由逆关系的定义有<y，x>∈f－1，所以Df-1＝B。对任意的y∈B，因为f：A→B是双射，即f：A→B是满射，则存在x∈A使得<x，y>∈f，由逆关系的定义有<y，x>∈f－1，所以Df-1＝B。证明对任意的y∈B，若存在x1、x2∈A，使得<y，x1>∈f－1且<y，x2>∈f－1，则由逆关系的定义有<x1，y>∈f且<x2，y>∈f。而f：A→B是双射，即f：A→B是单射，所以x1＝x2。因此，f－1具有单值性。综上可得，f－1是B到A的函数。

定义5.6 设f：A→B是双射，则称f－1：B→A为f的逆函数(或反函数)。例如，设A＝{1，2，3}，B＝{a，b，c}，f：A→B为f＝{<1，a>，<2，c>，<3，b>}，则f的逆函数f－1：B→A为f－1＝{<a，1>，<c，2>，<b，3>}。定理5.5 若f：A→B是双射，则f－1：B→A是双射。证明因为f：A→B是双射，则由定理5.4可知f－1是B到A的函数。下证f－1是双射。

对任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y，从而f－1(y)＝x，所以f－1是满射。对任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y，从而f－1(y)＝x，所以f－1是满射。对任意的y1、y2∈B，若f－1(y1)＝f－1(y2)＝x，则f(x)＝y1，f(x)＝y2。因为f：A→B是函数，则y1＝y2。所以f－1是单射。综上可得，f－1：B→A是双射。

5.2.2函数的复合 定义5.7 设f：A→B，g：B→C，则f和g的复合关系是A到C的函数，记为gf：A→C，称gf为函数f和g的复合函数，简记为gf。即有gf＝f*g。复合函数之所以采用这样的记法，是为了便于函数进行“复合运算”，这样的记法使得gf(x)＝g(f(x))。例1设A＝{1，2，3}，f＝{<1，1>，<2，3>，<3，1>}和g＝{<1，1>，<2，2>，<3，2>}是A上的函数，求fg和gf。

fg＝{<1，1>，<2，3>，<3，3>} 解 gf＝{<1，1>，<2，2>，<3，1>} 易知，fg和gf都是A到A的函数。定理5.6 设函数g：A→B，f：B→C，则： (1)fg是A到C的函数； (2)对任意的x∈A，有fg(x)＝f(g(x))。证明 (1)对任意的x∈A，因为g：A→B是函数，则存在y∈B使<x，y>∈g。对于y∈B，因f：B→C是函数，则存在z∈C使<y，z>∈f。

根据复合关系的定义，由<x，y>∈g和<y，z>∈f得<x，z>∈g*f，即<x，z>∈fg。所以Dfg＝A。根据复合关系的定义，由<x，y>∈g和<y，z>∈f得<x，z>∈g*f，即<x，z>∈fg。所以Dfg＝A。对任意的x∈A，若存在y1、y2∈C，使得<x，y1>、<x，y2>∈fg＝g*f，则存在t1使得<x，t1>∈g且<t1， y1>∈f，存在t2使得<x，t2>∈g且<t2，y2>∈f。因为g：A→B是函数，则t1＝t2。又因f：B→C是函数，则y1＝y2。所以A中的每个元素对应C中惟一的元素。综上可知，fg是A到C的函数。

(2)对任意的x∈A，由g：A→B是函数，有<x，g(x)>∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函数，得<g(x)，f(g(x))>∈f，于是<x，f(g(x))>∈g*f＝fg。又因fg是A到C的函数，则可写为fg(x)＝f(g(x))。(2)对任意的x∈A，由g：A→B是函数，有<x，g(x)>∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函数，得<g(x)，f(g(x))>∈f，于是<x，f(g(x))>∈g*f＝fg。又因fg是A到C的函数，则可写为fg(x)＝f(g(x))。定义5.8 设函数IX：X→X满足IX(x)＝x，则称IX为X上的恒等函数。定理5.7 若函数f：A→B是双射，则对任意x∈A，有f－1(f(x))＝x，对任意的y∈B，有f(f－1(y))＝y。(即f－1f＝IA，ff－1＝IB)

证明对任意的x∈A，因为f：A→B是函数，则<x，f(x)>∈f，于是<f(x)，x)∈f－1。由定理5.4知，f－1是B到A的函数，于是可写为f－1(f(x))＝x。定理5.8 若函数g：A→B和f：B→C是双射，则fg：A→C是双射。证明对任意的z∈C，由f：B→C是双射，即f：B→C是满射，则存在y∈B使f(y)＝z。对于y∈B，由g：A→B是双射，即g：A→B是满射，则存在x∈A使g(x)＝y，于是有fg(x)＝f(g(x))＝z。所以fg是满射。

对任意的x1、x2∈A，若x1≠x2，由g：A→B是双射，即g：A→B是单射，则g(x1)≠g(x2)，又由f：B→C是双射，即f：B→C是单射，则f(g(x1))≠f(g(x2))，于是fg(x1)≠fg(x2)。所以fg是单射。对任意的x1、x2∈A，若x1≠x2，由g：A→B是双射，即g：A→B是单射，则g(x1)≠g(x2)，又由f：B→C是双射，即f：B→C是单射，则f(g(x1))≠f(g(x2))，于是fg(x1)≠fg(x2)。所以fg是单射。综上可知，fg是双射。定理5.9 若函数g：A→B和f：B→C是双射，则(fg)－1＝g－1f－1。因为g：A→B和f：B→C是双射，由定理5.6、定理5.8和定理5.5知，(fg)－1和g－1f－1都是C到A的双射。证明

因为<x，y>∈g－1f－1z(<x，z>∈f－1∧<z，y>∈g－1)z(<y，z>∈g∧<z，x>∈f)<y，x>∈fg<x，y>∈(fg)－1，所以(fg)－1＝g－1f－1。因为<x，y>∈g－1f－1z(<x，z>∈f－1∧<z，y>∈g－1)z(<y，z>∈g∧<z，x>∈f)<y，x>∈fg<x，y>∈(fg)－1，所以(fg)－1＝g－1f－1。定理5.10 设函数f：A→B，g：B→C，h：C→D，则h(gf)＝(hg)f 证明因为f：A→B，g：B→C，h：C→D，由定理5.5知，h(gf)和(hg)f都是A到D的函数。。对任意的a∈A，有h(gf)(a)＝h(gf(a))＝h(g(f(a)))＝(hg)f(a)，所以h(gf)＝(hg)f。

定理5.11 设函数g：A→B，f：B→C， (1)若f、g是满射，则fg是满射。 (2)若f、g是单射，则fg是单射。 (3)若f、g是双射，则fg是双射。证明因为g：A→B，f：B→C，由定理5.5知，fg为A到C的函数。 (1)对任意的z∈C，因f：B→C是满射，则存在y∈B使f(y)＝z。对y∈B，因g：A→B是满射，则存在x∈A使g(x)＝y。于是有(fg)(x)＝f(g(x))＝f(y)＝z。所以fg：A→C是满射。

(2)对任意的x1、x2∈A，x1≠x2，由g：A→B是单射，得g(x1)≠g(x2)。再由f：B→C是单射，得f(g(x1))≠f(g(x2))，于是有fg(x1)≠fg(x2)。所以fg是单射。(2)对任意的x1、x2∈A，x1≠x2，由g：A→B是单射，得g(x1)≠g(x2)。再由f：B→C是单射，得f(g(x1))≠f(g(x2))，于是有fg(x1)≠fg(x2)。所以fg是单射。 (3)由(1)、(2)得证。定理5.12 设函数g：A→B，f：B→C， (1)若fg是满射，则f是满射。 (2)若fg是单射，则g是单射。 (3)若fg是双射，则f是满射，g是单射。

因为g：A→B，f：B→C，由定理5.5知，fg为A到C的函数。因为g：A→B，f：B→C，由定理5.5知，fg为A到C的函数。证明 (1)对任意的z∈C，因fg是满射，则存在x∈A使fg(x)＝z，即f(g(x))＝z。由g：A→B可知g(x)∈B，于是有y＝g(x)∈B，使得f(y)＝z。因此，f是满射。 (2)对任意的x1、x2∈A，若x1≠x2，则由fg是单射得fg(x1)≠fg(x2)，于是f(g(x1))≠f(g(x2))，必有g(x1)≠g(x2)。所以，g是单射。 (3)由(1)、(2)得证。

在定理5.12中，fg是满射时g不一定是满射，fg是单射时，f不一定是单射。在定理5.12中，fg是满射时g不一定是满射，fg是单射时，f不一定是单射。例如，设A＝{a}，B＝{b，d}，c＝{c}，g：A→B，f：B→C，g＝{<a，b>}，f＝{<b，c>，<d，c>}。则fg＝{<a，c>}，fg是双射，但g不是满射，f不是单射。定理5.13 设函数f：A→B，则f＝fIA＝IBf。

5.2.3 几种特殊的函数 定义5.9 设函数f：A→B，如果存在一个y∈B，使得对所有的x∈A有f(x)＝y，则称f为常函数。定义5.10 设R为实数集，函数f：R→R，若对任意的x、y∈R，当x≤y时，f(x)≤f(y)(f(x)≥f(y))，则称f为单调递增(递减)的；当x＜y时，f(x)＜f(y)(f(x)＞f(y))，则称f为严格单调递增(递减)的。

下面给出特征函数的几个重要性质，通过它告诉我们如何利用集合的特征函数来确定集合之间的关系。下面给出特征函数的几个重要性质，通过它告诉我们如何利用集合的特征函数来确定集合之间的关系。 (1) ＝当且仅当A＝B (2) ＝ · (3) ＝＋－ (4) ＝1－ (5) ＝－定义5.11 设U是全集，对任意的AU，A的特征函数定义为：

例2利用集合的特征函数证明＝A。 因为＝1－＝1－(1－ )＝，所以＝A。定义5.12设函数f：A→B，若CA，则从C到集合B的函数称为f的受限函数，记作f/C。例如，f：R→R，f(x)＝x2，A＝N，则f/A＝f/N＝{<0，0>，<1，1>，<2，4>，<3，9>，…}。定义5.13 设x为任意实数，用[x]表示不超过x的最大整数，令f(x)＝[x]，则称f为高斯(Gauss)函数。

5.3集合的基数 5.3.1 基数的概念 5.3.2 可数集与不可数集 5.3.3 基数的比较

5.3.1基数的概念 定义5.14 设A和B为两个集合，如果A和B之间存在双射，则称A和B等势，记作A≈B。如果A和B不等势，记作A B。例1验证整数集合Z和集合E＝{2n|n∈Z}}是等势的。解令f：ZE，f(n)＝2n，易证f是双射，所以Z和E等势。

通俗地讲，集合的势是度量集合所含元素多少的量，集合的势越大，所含元素越多。可以证明，等势具有下列性质：通俗地讲，集合的势是度量集合所含元素多少的量，集合的势越大，所含元素越多。可以证明，等势具有下列性质： (1)对于任意集合A，有A≈A。 (2)若A≈B，则B≈A。 (3)若A≈B，B≈C，则A≈C。因此，等势关系是等价关系。定义5.15 若A与{0，1，…，n－1}之间存在双射，则称A是有限的；若A不是有限的，则称它是无限的。

定理5.14 自然数集合N是无限的。 证明设n是N中的任意元素，f是从{0，1，…，n－1}到N的任意一个函数。令k＝1＋max{f(0)，f(1)，…，f(n－1)}，那么k∈N，但对每个x∈{0，1，…，n－1}，有f(x)≠k。所以，f不是满射，从而f不是双射。因为n和f是任意的，所以N是无限的。定义5.16 (1)对于有限集合A，与其等势的那个惟一的自然数称为A的基数，记为K[A](或|A|)。

(2)自然数集N的基数记为0(读作阿列夫零)。 (3)实数集R的基数记为(读作阿列夫)。例2证明 [0，1]≈(0，1)，且它们的基数为。证明设集合A＝{0，1，1/2，…，1/n，…}，A[0，1]。定义f：[0，1](0，1)使得则f是双射，所以［0，1］≈(0，1)。令f：(0，1)R，f(x)=tan( x－ /2)，则f是双射，所以［0，1］和(0，1)的基数都是。

5.3.2 可数集与不可数集 定义5.17 与自然数集等势的任意集合称为可数的。与实数集等势的任意集合称为不可数的。例如，A＝{1，4，9，…，n2，…}、B＝{1，8，27，…，n3，…}和C＝{1，1/2，1/3，…，1/n …}等都是可数集，而[0，1]和(0，1)等都是不可数集。定理5.15 A为可数集的充要条件是可以排列成A＝{a0，a1，…，an，…}的形式。

证明若A可以排列成上述形式，则将其元素an与下标n对应，得到A到N之间的双射，故A是可数集。反之，若A是可数集，那么在N到A之间存在双射f，由f得到n的对应元素an，即有A＝{a0，a1，…，an，…}。定理5.16 任一无限集，必含有可数子集。证明设A为无限集，则A≠，在A中任取一个元素记为a0，A－{a0}仍为无限集，再在其中取一个元素记为a1，续行此法将得到一个可数子集{a0，a1，…，an，…}。

定理5.17 任一无限集必与其一真子集等势。 证明设M为一无限集，则由定理5.16可知M含有可数集A＝{a0，a1，…，an，…}，令B＝M－A。定义f：MM－{a0}，使得f(an)＝an＋1(n＝0，1，…)，且对于任意b∈B，有f(b)＝b。易证f是双射，所以结论成立。

定理5.18 可数集的任何无限子集是可数的。 证明设A是可数集，B是A的无限子集。由定理5.15可得A可以排列成A＝{a0，a1，…，an，…}的形式。在这个序列中，从a0开始逐一检查，将遇到的B中的第一个元素记为b0，第二个元素记为b1，因为B无限，则从A中可以得到B中元素的序列b0，b1，…，bn，…。所以B是可数的。

定理5.19 从可数集A中减去一个有限集M，则A－M是可数的。定理5.20 两两不相交的有限个可数集的并是可数的。定理5.21 两两不相交的可数个有限集的并是可数的。定理5.22 可数个可数集的并是可数的。定理5.23 有理数的全体是可数集。定理5.24 开区间(0，1)是不可数的。

5.3.3 基数的比较 为了证明两个集合的基数相等，必须构造两个集合之间的双射，这是非常困难的工作。下面将介绍证明基数相等的一些较为简单的方法，为此先说明基数是如何比较大小的。定义5.18 若从集合A到B存在一个单射，则称A的基数不大于B的基数，记为K[A]≤K[B]。若从集合A到B存在一个单射，但不存在双射，则称A的基数小于B的基数，记为K[A]＜K[B]。

定理5.25 (Zermelo定理)设A和B是任意集合，则下列之一成立：(1)K[A]＜K[B]；(2)K[B]＜K[A]；(3)K[A]＝K[B]。定理5.26 设A和B是任意集合，若K[A]≤K[B]且K[B]≤K[A]，则K[A]＝K[B]。这个定理给证明两个集合基数相等提供了一种有效的方法。如果我们能构造一个单射f：AB，即说明有K[A]≤K[B]，另一方面，如能够构造一个单射g：BA，即有K[B]≤K[A]，因此根据定理5.26就得到K[A]＝K[B]。

例3证明[0，1]和(0，1)有相同的基数。 证明令f：(0，1)[0，1]，f(x)＝x g：[0，1](0，1)，g(x)＝x/2＋1/4。由f是单射得K[(0，1)]≤K[[0，1]]，由g是单射得K[[0，1]]≤K[(0，1)]。所以，K[[0，1]]＝K[(0，1)]

定理5.27 设A是有限集，则K[A]＜0＜。 证明设K[A]＝n，则A≈{0，1，2， …，n－1}。令f：{0，1，2， …，n－1}N，f(x)＝x，f是单射，所以K[A]≤K[N]。又因为N和A之间不存在双射，所以K[A]＜K[N]，即K[A]＜0。令g：N[0，1]，g(n)＝1/(n＋1)，g是单射，故0≤。又因为N和[0，1]之间不存在双射，所以0＜。

第 5 章 函数

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第 5 章函数

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