二、两向量的向量积

§7．4 数量积向量积 一、两向量的数量积数量积、数量积与投影、数量积的性质、数量积的运算律数量积的坐标表示、两向量夹角的余弦的坐标表示二、两向量的向量积向量积、向量积的性质、数量积的运算律数量积的坐标表示、数量积的行列式符号

表示位移．由物理学知道，力 F 所作的功为  M 2 M 1 一、两向量的数量积数量积的物理背景：设一物体在常力 F作用下沿直线从点M 1移动到点M 2．以 s W| F || s |cos，其中为 F 与 s的夹角．数量积：对于两个向量 a 和 b，它们的模| a |、| b |及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量 a和 b的数量积，记作 a · b，即 a · b| a | | b |cos．

数量积与投影： 由于| b |cos| b |cos(a,^ b)，当 a 0时，| b |cos(a,^ b)是向量b 在向量 a的方向上的投影，于是a · b|a| Prjab．同理，当b0时，a · b|b| Prjba．数量积的性质： (1)a · a|a| 2． (2)对于两个非零向量 a、b，如果 a · b0，则 ab；反之，如果ab，则a · b0．如果认为零向量与任何向量都垂直，则aba · b0．数量积的运算律： (1)交换律 a · bb · a； (2)分配律：(ab) · ca · cb · c． (3)(a) · ba · (b)(a · b)， (a) · (b)(a · b)，、为数．

．数量积的坐标表示：设a ax i ay j az k，b bx i by j bz k．按数量积的运算规律可得 a · b( ax i ay j az k) · (bx i by j bz k) axbx i · i ax by i · j ax bz i · k aybx j · i ay by j · j ay bz j · k azbx k · i az by k · j az bz k · k  axbx ay by az bz ．两向量夹角的余弦的坐标表示：当a 0、b 0时，由于 a · b| a | | b |cos ，所以 cos

解 AMB就是向量 MA与MB的夹角． MA{1，1，0}， MB{1，0，1}． MA · MB11  10 01  1，例1已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB．因为所以

F 与 OP的夹角为 ． F | M ||OP | | F |sin ，而 M 的方向垂直于 OP与 F所决定的 O )q L P Q OP 以不超过  的角转向 F来确定的．二、两向量的向量积向量积的物理背景：设O为一根杠杆L的支点．有一个力F作用于这杠杆上P点处．由力学规定，力 F对支点O的力矩是一向量 M，它的模平面， M 的指向是的按右手规则从

因此，上面的力矩阵 M等于 OP与 F的向量积，即 M = OP F．向量积：设向量 c是由两个向量 a 与 b按下列方式确定： c 的模 | c || a | | b |sin ，其中 为 a与 b间的夹角； c的方向垂直于 a与 b所决定的平面， c 的指向是的按右手规则从 a转向 b来确定．那么，向量 c叫做向量 a与 b的向量积，记作 a b，即 c = a b．

向量积的性质： (1)a  a0 (2)对于两个非零向量a、a，如果a  b0，则a // b；反之，如果a // b，则a  b0．如果认为零向量与任何向量都平行，则a // ba  b0．数量积的运算律： (1)交换律a  bb  a； (2)分配律：(a  b)  ca  c  b  c． (3)(a)  ba  (b)(a  b) (为数)．讨论： i  i  j  j  k  k ? i j  ? j k  ? k i  ?

数量积的坐标表示： 设a ax i ay j az k，b bx i by j bz k．按向量积的运算规律可得 a  b( ax i ay j az k)  ( bx i by j bz k) axbx i  i ax by i  j ax bz i  k aybx j  i ay by j  j ay bz j  k azbx k  i az by k  j az bz k  k． (ay bzaz by)i(azbxax bz)j(ax by aybx)k．为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成 ab (ay bzaz by)i(azbx ax bz)j(ax byaybx)k．

C SABC | AB | | AC |sinA  | AB AC|．由于 AB{2，2，2}，AC{1，2，4}， AB  AC = A B 于是 SABC | 4i  6j  2k | 例2已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)、 C(2,4,7)，求三角形ABC的面积．解根据向量积的定义，可知三角形ABC的面积因此 4i  6j  2k，

r  OM， w v a M l r  O 例3设刚体以等角速度 绕l轴旋转，计算刚体上一点M 的线速度．解 w 平行于 l 轴， w 的方向由右手规则确定．设点M 到旋转轴 l 的距离为a，再在 l 轴上任取一点O作向量并以 表示w 与 r的夹角，那么 a| r |sin．设线速度为 v，那么 v的大小为 | v || w | a| w || r |sin； v垂直于 w与 r，又 v的指向是使 w、r、v符合右手规则．因此有 v  w  r．

二、两向量的向量积

二、两向量的向量积

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