§ 3.3.1 二元一次不等式（组） 与平面区域

1. §3.3.1二元一次不等式（组） 与平面区域

2. 1．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义1．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 （1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数 的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。 （2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成 的不等式组称为二元一次不等式组。 满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合 称为二元一次不等式（组）的解集。 （3）二元一次不等式（组）的解集：

3. （4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系 内的点之间的关系： 二元一次不等式（组）的解集是有序实数对， 而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实 数对就可以看成是平面内点的坐标 . 二元一次不等式（组）的解集就可以看成 是直角坐标系内的点构成的集合。

4. 2.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形2.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 （1）回忆、思考 数轴上的区间 一元一次不等式(组)的解集所表示的图形--- 在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形？ （2）探究 二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。 如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线x-y=6上的点； 第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点； 第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。

5. 在平面直角坐标系中， 不等式x-y<6表示直线x-y=6 左上方的平面区域；如图。 二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6 右下方的区域；如图。 直线叫做这两个区域的边界

6. （3）结论： 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 3．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

7. 例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t,硝酸盐；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数 于是满足以下条件： 在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。

8. y 15 10 8 6 x 4 0 2 2 4 6 8 12 18 27 1.出示例1 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A，B，C三种规格的成品分别15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求. 解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,得 规格类型 钢板类型 x+2y=18 2x+y=15 x+3y=27

9. 工序 桌子类型 练习：一个家具厂计划生产两种类型的桌子A和B. 每类桌子都要经过打磨，着色，上漆三道工序. 桌子A需要10min打磨，6min着色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min着色，9min上漆. 如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min，着色每天至多工作480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.

10. y 10 5 x 1 2 3 4 o 例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；硝酸盐4t,生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数 于是满足以下条件： 18x+15y =66 4x+y=10

11. 引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 解:设甲、乙两种产品分别生产x、y件， 又已知条件可得二元一次不等式组：

12. （2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点 （坐标为整数的点）就代表所 有可能的日生产安排。 （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ 设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z, z=2x+3y

13. M 即M(4,2)所以 2x+3y=0 经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M时， 截距 的值最大 上述问题就转化为： 当x,y满足不等式组（1）并且为非负整数时， z的最大值是多少？ ⑴ z=2x+3y

14. 想一想(问题): 已知实数x,y满足下列条件: 5x+4y ≤20 2x+3y ≤12 x ≥0 y≥0 求z=9x+10y的最大值. y ． 6 ． 5 ． 可行域 最优解 4 3 ． ． 2 2x+3y=12 9x+10y=0 ． 1 x ． ． ． ． ． ． ． 1 2 3 4 5 6 0 5x+4y=20 Z的最大值为44 线性约束条件 线性目标函数 图解法 代数问题

15. 线性规划的有关概念： 线性约束条件：不等式组是一组变量x、y的约束 条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． 线性规划：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域； 可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解； 最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解 叫线性规划问题的最优解。

16. 例5营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？例5营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？ 将已知数据列表得 解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本为z,那么

17. 解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本为z,那么解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本为z,那么 目标函数为z=28x+21y 作出二元一次不等式组所表示的可行域,如图:

18. 目标函数为z=28x+21y 答:每天食用食物A约143g,食物B约571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本为16元.

19. y 10 5 M x 1 2 3 4 o 例1、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t,硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元，则 4x+y≤10 18x+15y ≤66 x≥0 y ≥0 18x+15y =66 4x+y=10 X+0.5y=0

20. y 10 5 x 1 2 3 4 o 把z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2,在轴上的截距为2z,随z变化的一族平行直线 M 由图可知,当直线经过可行域上的点M时,截距2z最大,即z最大. 18x+15y =66 4x+y=10 X+0.5y=0 答:生产甲,乙两种肥料各2车皮,能够产生最大利润,最大利润为3万元.

21. 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解

22. y 15 10 8 6 x 4 0 2 2 4 6 8 12 18 27 1.出示例1 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A，B，C三种规格的成品分别15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求. 解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,得 规格类型 钢板类型 x+2y=18 2x+y=15 x+3y=27

23. 规格类型 A规格 B规格 C规格 钢板类型 2 第一种钢板 1 1 1 2 3 第二种钢板 例2要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ： 今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。 解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，一共使用z张. 则 目标函数为 z=x+y 作出可行域（如图）

24. y B(3,9) { 2x+y≥15, C(4,8) x+2y≥18, M(18/5,39/5) x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N* x 0 调整优值法 目标函数z = x+y x+y =0 x+2y=18 2x+y=15 x+3y=27 作出一组平行直线z = x+y， 当直线经过点M时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解， 作直线x+y=12 解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8) 直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答:(略)

25. y B(3,9) C(4,8) M(18/5,39/5) x 0 打网格线法 目标函数z = x+y x+y =0 x+2y=18 2x+y=15 x+3y=27 作出一组平行直线z = x+y， 当直线经过点M时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解， 在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移， 经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解. 答:(略)

26. 转化 转化 转化 寻找平行线组的 最大（小）纵截距 一组平行线 想一想(结论): 三个转化 图解法 可行域 线性约束条件 线性目标函数 Z=Ax+By 最优解 四个步骤： 1。画（画可行域） 2。作（作z=Ax+By=0时的直线L 。） 3。移（平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点） 4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）

27. §3.4基本不等式 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

28. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积， 我们就得到了一个不等式： 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 将图中的“风车”抽象成如图:

29. 一般的，如果 一般的，如果 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ,可得 (证明)

30. (1)从不等式的性质推导基本不等式 (2) 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点, AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE， 连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？ 在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

31. (1) 例1 已知x、y都是正数，求证： (2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. (3) 已知a、b、c都是正数，求证 (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc

32. 由 可得 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。 最短的篱笆是多少？ 解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100， 篱笆的长为2（x+y） m。 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短， 最短的篱笆是40m.

33. 由 可得 （2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大， 最大面积是多少? 解：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m2。 当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。 因此,这个矩形的长、宽都为9m时,菜园的面积最大, 最大面积是81m2.

34. 1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤ ，等号当且仅当a＝b时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2 ，等号当且仅当a＝b时成立. 归纳：

35. 由 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为L元， 根据题意，得 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.

36. 课时小结 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。