1.2 河谷文明与早期数学第 2 章古代希腊数学 2.1 论证数学的发端

课题二 1.2 河谷文明与早期数学第2章古代希腊数学2.1 论证数学的发端数本2003级

课程目标：了解古埃及、巴比伦数学发展状况及雅典早期爱奥尼亚与毕达哥拉斯学派学术研究内容，理解论证学产生背景及其过程，掌握“不可公度量”意义，熟练掌握古埃及记数法、调整法及其意义以及巴比伦开方法.课程目标：了解古埃及、巴比伦数学发展状况及雅典早期爱奥尼亚与毕达哥拉斯学派学术研究内容，理解论证学产生背景及其过程，掌握“不可公度量”意义，熟练掌握古埃及记数法、调整法及其意义以及巴比伦开方法. • 课程重点：古代记数法、论证数学产生背景及其过程. • 课程难点：记数法． • 教学素材：《古今数学思想》

一、河谷文明及其记数法 • 河谷文明四大文明古国：七大河流：长江、黄河；恒河、印度河；尼罗河；底格里斯河、幼发拉底河

玛雅记数法（象形文字）位置制，20进制，书写由下而上。玛雅记数法（象形文字）位置制，20进制，书写由下而上。 • 记数法巴比伦记数法（美索不达米亚）泥版文书（楔形文字）古埃及记数法纸草书（象形文字）中国记数法甲骨文（象形文字）算筹记数法（有位置制思想）筹：长6寸，经约3分的木棍，形成于春秋战国时期，记法由歌诀给出。如：凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。满六以上，五在上方，六十积算，五不单张。

二、古埃及数学（一）四则运算 • 加减法：与记数符号同时产生 • 乘法：倍乘迭加法如：15×17=15×（1+2×2×2×2） =15+15×2×2×2×2 =15+30×2×2×2 =15+60×2×2 =15+120×2 =15+240=255

除法：乘法逆运算（简单利用单位分数） 例：如7除以8 分数：古埃及人表分数的方法为单分数，即1/n的形式，为此专门有单分数表2/k（k为1—101间的奇数）如 7/8=1/2+1/4+1/8 2/89=1/60+1/356+1/534+1/890

（二）代数萌芽 • 方程：假位法例：如解x+(1/7)x=19 • 数列问题：错位法例：有5个数，依次相差一样多，其和为100，求各数。

（三）几何 • 古埃及几何较为发达 1、有正方形，矩形、等腰梯形等面积计算公式； 2、体积计算代表为四棱台体积公式V=h/3(a2+ab+b2)； 3、圆面积计算中，取值最好结果为3.1605; 4、会计算正切值。

古埃及数学就像其记数一样保持一种静止特性，其加法和单位分数是其数学的基本元素且少有变化，其中的单位分数和几何面积、体积计算的粗糙性是阻碍数学发展的重要因素。古埃及数学就像其记数一样保持一种静止特性，其加法和单位分数是其数学的基本元素且少有变化，其中的单位分数和几何面积、体积计算的粗糙性是阻碍数学发展的重要因素。

三、巴比伦数学 （一）几何 1、掌握了规则图形的面积、体积计算公式，特别地，知道三角形面积公式； 2、知道利用图形相似概念。但值一般为3，计算较为粗糙。（二）代数萌芽 1、长于计算（是位置制记数系统）； 2、数学用表：乘法表、倒数表、平方、立方表、平方根、立方根表，甚至还有指数表； 3、逐次逼近法和线性插值法。

例开平法如：计算3的平方根 4、方程：能处理一般的二次方程，知道其正根计算公式；特别地，有方程变换思想。 5、勾股定理

第2章古代希腊数学 • 公元前6世纪—公元后6世纪年间，古希腊人创造了至今仍影响世界的论证数学，其古代背景为：（一）古代背景 1、文化交流 2、对自然界构成的探求 3、形成民主争辩氛围 4、哲学思想注入数学

2.1 论证数学的开端 古希腊数学可分为两段：古典期（雅典期）、亚历山大期 • 2.1.1 泰勒斯与毕达哥拉斯 • 泰勒斯(公元前625-前547)——希腊最早的数学家，提出学生应研究“那些可以推出其它命题的基本原理”，开希腊命题证明的先河。 • 据说证明了下列定理 • 圆的直径将圆分为两个相等的两部分。 • 等腰三角形两底角相等。 • 对顶角相等。 • 角边角定理。 • 半圆上的圆周角是直角。

毕达哥拉斯(公元前580-前500) • 是泰勒斯的学生，创立了毕达哥拉斯学派 • 主要影响和贡献： 1、强调数学上的东西如形和数是思维抽象物； 2、发展论证数学：在泰的基础上，提出“首先应检验其原理，并用一种无形的、理智的方式探讨其原理； 3、万数皆数：认为数如同原子，形象化为沙粒或小石子。

多边形数 • 三角形数 • 长方形数 • 正方形数 • 多边开数

毕氏三数组：m为奇数 • m，（m2-1)/2，（m2+1)/2 • 数分为奇数、偶数，质数、合数，完全数、过剩数（盈数）、不足数（亏数），亲和数 • 完全数——等于其真因子（本身除外）的和的数如 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14

过剩数——小于其真因子（本身除外）的和的数过剩数——小于其真因子（本身除外）的和的数 • 如 12<1+2+3+4+6 • 不足数——大于其真因子（本身除外）的和的数 • 如 8>1+2+4 • 亲和数——彼此等于对方真因子之和的两个数 • 如 220和284是最小的一对亲和数 • 数7和36 • 几何方面： • 发现了勾股定理（尚有争议） • 正多面体作图 • 五个正多面体：四、六、八、十二、二十 • 正十二面体更特别，其面由正五边形组成，而正五边形对角线交点则是黄金分割点。毕氏学派将五角星作为其学派的标志。

解释自然 振动和弦七艺：算术、几何、天文、音乐、文法、逻辑、修辞 • 不可公度量的发现公度：两线段，若能找到一个公共线段，用其度量两长度恰为整数，称此两线段有公度。

希帕苏斯（公元前五世纪） • 不可公度量（无理数）—第一次数学危机 • 有理数：具有稠秘性、和谐性 • 全体有理数排列： • 0，1，-1，2，-2，3，-3，4，… • 1/2 ，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2， … • 1/3，-1/3，2/3，-2/3，4/3，-4/3，5/3， … • … … • 1/n，-1/n，2/n ，-2/n，3/n， -3/n， 4/n … • … …

全体有理数与自然数一一对应，记全体有理数为{a1，a2，a3，a4， …，an， …} • 任取一线段长度为ε，取长度为ε/2,ε /4,ε/8, …,ε/2n ,…的线段，这些线段可完全复盖有理数点，把有理数点挨着排列起来，长度 E{a1，a2，a3，a4， …，an， …} < ε/2+ε /4+ε/8+…+ε/2n +…= ε 即在数轴上有理数的所占长度为0。其余皆为无理数。

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