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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Definiciones: Se llaman ecuaciones algebraicas de segundo grado o ecuaciones cuadráticas, aquellas que adoptan la forma típica: ax ² +bx +c. O que son deducibles a esta forma por transformaciones algebraicas.

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Definiciones:

Se llaman ecuaciones algebraicas de segundo grado o ecuaciones cuadráticas, aquellas que adoptan la forma típica:

ax² +bx +c

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O que son deducibles a esta forma por transformaciones algebraicas.

En (1) x representa la incógnita y los coeficientes a, b, c son constantes.

Se supone a ‡ 0 pues, de lo contrario, la ecuación se reduciría a otra de primer grado ( si b ‡0)

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Una ecuación cuadrática se obtiene igualando a cero un trinomio ( completo o incompleto) de segundo grado

EJEMPLO:

Son ecuaciones de segundo grado las siguientes:

6x²-3x+5=0

4x²-0.2=0

x²+13x=0

2x²=0

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Como hemos dicho, en una ecuación de segundo grado se supone siempre a ‡ 0.

Cuando los coeficientes b ó c, o ambos, son nulos la ecuación se dice incompleta. Sin ningún coeficiente es cero la ecuación se dice entonces completa.

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También Son Ecuaciones de segundo grado la siguiente:

x (x+1)(x+3)= x³+2x-5 ,

Ya que por transformaciones algebraicas se obtiene sucesivamente:

x³+4x²+3x=x³+2x-5

4x²+x+5=0

Que es una ecuación en forma ax² +bx +c, en esta ecuación los coeficientes valen

a=4 , b=1 , c=5

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Las ecuaciones incompletas de segundo grado se reducen a una de las formas siguientes:

ax²+c=0 (b=0)

ax²+bx=0 (c=0)

ax²=0 (b=c=0)

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RESOLUCION DE ECUACIONES INCOMPLETAS

Cuando una ecuación de segundo grado es incompleta, sus soluciones o raíces se determinan fácilmente, como muestran los ejemplos siguiente:

Resolver la ecuación 9x²-1=0

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Resolver la ecuación 9x²-1=0

Si se traslada el termino constante al segundo miembro, se tiene:

Despejando x²:

x²= 1 / 9

Extrayendo la raíz cuadrada:

X= ± 1 / 3

La ecuación propuesta admite, pues, las dos raices

X1= +1/3 x2=-1/3

Comprobación:

9(±1/3)²-1=9.1/9-1=1-1=0

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Como demostraremos mas adelante, toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces. Para distinguir estas dos raíces afectaremos con subíndices la letra que designe la incógnita; y escribiremos, por ejemplo, como hicimos arriba,

x1 ( x sub. uno) para una de las raíces y

x2 ( x sub. dos) para la segunda raíz

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EJERCICIOS:

Resolver la ecuación 3x²+2x=0

En este caso el termino constante es nulo. Sacando x, factor comun se tiene:

X(3x+2)=0

Ahora bien, un producto es cero cuando es cero uno cualquiera de sus factores. Por tanto, la ecuación anterior se satisfará en uno cualquiera de los casos siguientes:

X=0

3x+2=0

La primera ecuación nos muestra que la ecuación propuesta se satisface para x1=0; la segunda que la ecuación propuesta se satisface para x2=-2/3

Obsérvese que no es licito dividir la ecuación por x pues se perdería la raíz x=0. En general, no debe dividirse una ecuación por un factor que contenga la incógnita pues entonces la ecuación obtenida no será equivalente a la propuesta.

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La determinación de las raíces es inmediata, pues basta igualar a cero uno de los factores encontrados.

Como esos factores son de primer grado, la resolución de la ecuación de segundo grado queda reducida así a la resolución de dos ecuaciones simples de primer grado.

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RESOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR DESCOMPOSISCION EN FACTORES.

Ya hemos visto que una ecuación incompleta de la forma ax²+bx=0, se resuelve sacando x factor común.

Cuando se tiene una ecuación completa de la forma ax²+bx+c=0 y el trinomio que forma el primer miembro de la ecuación puede descomponerse en factores por alguno de los métodos estudiado.

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Las raíces encontradas por este procedimiento son las raíces de la ecuación propuesta, puesto que anulando uno de los factores, anulan el producto, es decir, el primer miembro de la ecuación.
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EJEMPLOS:

Resolver la ecuación x²+5x-24=0

Aplican el método estudiado para, descomponer los trinomios de la forma x²+px+q, buscaremos dos numeros que multiplicados den -24 y sumados algebraicamente den 5.

Estos dos numeros son 8 y -3. por lo tanto, la ecuacion dada se puede escribir

(x+8)(x+3)=0

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Y resultan las siguientes ecuaciones

X+8 = 0 x-3 = 0

En donde

X1 = -8 x2 = 3

resolver la ecuaci n
RESOLVER LA ECUACIÓN

6x²-7X-3=0 Por cualquiera de los métodos estudiados anteriormente se encuentra:

(2x-3) (3x+1)= 0

e igualando a 0 cada factor

2x-3= 0 3x+1= 0

En donde

X1= 3/2 x2= -1/3

resolucion por el m todo de completar un cuadrado perfecto
RESOLUCION POR EL MÉTODO DE COMPLETAR UN CUADRADO PERFECTO

Puesto que

(x+m/2)² = x²+mx+(m/2)²

A un binomio de la forma x²+mx (con m positivo o negativo)

( m/2)²

Paras ser un cuadrado perfecto

Por ejemplo, a x²+8x falta agregarle

(8/2)² = 16

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Para que el trinomio resultante sea cuadrado perfecto. Análogamente, a x²-5x hay que agregar (-5/2)² = 25/4 para obtener el cuadrado perfecto.

x²-5x+25/4

La observación anterior es aprovechada para resolver cualquier ecuación de segundo grado, completando en el primer miembro de la ecuación un cuadrado perfecto.

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En la forma que muestran los siguientes ejemplos:

  • Resolver la ecuación
  • x²+6x-7= 0
  • Si se pasa el último término al segundo miembro, se tiene
  • x²+6x= 7
  • De acuerdo con lo dicho antes, para completar un cuadrado perfecto en el primer miembro bastará agregarle ( 6/2)²= 3²= 9
  • Sumando 9 en ambos miembros resulta:
  • x²+6x+9= 7+9= 16
  • Si se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros se encuentra
  • x+3=4 o x+3=-4
  • Según se tome +4 o -4 para la raíz es 16 resolviendo estas ecuaciones se tiene:
  • X1=1 x2=-7
  • Estas son las dos raíces de la ecuación propuesta
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COMPROBACION

1²+6(1)-7=0

(-7)²+6(-7)-7 = 49-42-7 = 0

Al extraer la raíz cuadrada en (1) se escribe usualmente x+3= +-4 de donde

X= -3+-4= [1-7]

Observación:

No se obtendría nada nuevo anteponiento el signo menos al mienbro izquierdo de la ecuación pues de

-(x+3)=+-4

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se deduce -x-3=4 , -x-3=-4

O bien cambiando los signos

X+3 =-4 , x+3=4

Que son las mismas ecuaciones obtenidas anteriormente

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FORMULAS PARA RESOLVER LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

La ecuación con coeficiente literales

ax²+bx+c=0 (a‡0)

Representan cualquier ecuación de segundo grado. Así, por ejemplo, se convierte la ecuación 4x²-7x+3=0 si se toma a=4, b=-7 y c=3

Vamos a resolver la ecuación ax²+bx+c=0 por el método de completar el cuadrado perfecto.

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De este modo obtendremos un resultado general o formula mediante la cual podemos resolver cualquier situación particular de segundo grado sustituyendo simplemente en esta formula los valores de los coeficientes.

Para resolver ax²+bx+c=0 comencemos por dividir ambos miembros de la ecuación por el primer coeficiente a, que es por hipótesis distinto de 0

x²+(b/a)x+c/a=0

Y pasamos ahora el ultimo término al segundo miembro

x²+(b/a)x=-c/a

De acuerdo con lo dicho anteriormente completaremos un cuadrado perfecto en el primer miembro añadiendo

(b/2a)²=b²/4ª

A ambos miembros de la ecuación; así se obtiene

x²+(b/a)x+b²/4a²=b²/4a²-c/a

O bien

(x+b/2a)²=b²-4ac/4a²

slide24

Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros y anteponiendo el doble ± a uno de ellos:

X+b/2ª=±√b²-4ac/2ª

Y despejando x se obtiene finalmente:

X=-b/2a±√b²-4ac/2ª

-b±√b²-4ac

X=

2a

Esta es la formula dse resolución de la ecuación general de un segundo grado

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REGLA:

En una ecuación de segundo grado la formula ax²+bx+c la incognita es igual al coeficiente del segundo término con signo cambiado, mas o menos la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de este coeficiente y el cuadruplo del primero `por el tercero, dividido todo por el duplo del primer coeficiente.

slide26
-5±√5²-4(2)(-3)

X=

2(2)

-5±√49

X=

4

-5±7

X=

4

Lo que queda:

-5†7 1

X= =

4 2

-5-7 -12

X= =

4 4

= -3

EJERCICIOS:Resolver la ecuacion 2x²†5x-3=0En este ejemplo se tiene a=2,b=5,c=-3 sustituyendo estos valores en la formula se encuentra:
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ECUACIONES LITERALES

Se resuelve de la misma manera que las ecuaciones con coeficientes numéricos:

  • Por descomposición en factores
  • Completando un cuadrado perfecto
  • Por la fórmula general
ejemplo resolver la ecuaci n
EJEMPLO:RESOLVER LA ECUACIÓN

x²-2mx = 3m²

Si se pasa 3m²al primer miembro, se ve que la ecuación puede escribirse también en la forma.

x²-2mx -3m²= 0

primer metodo
PRIMER METODO

POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

(x-3m)(x†m)=0

De donde se obtiene:

X-3m=0 , x†m=0

Y, por tanto,

X1=3m , x2=-m

segundo metodo
SEGUNDO METODO

Sumando m²en ambos miembros de la ecuación dada, se obtiene

x²-2mx+m²=3m²+m²=4m²,

Y extrayendo raíz cuadrada

X-m=±2m;

Luego

X=m±2m

Es decir

X1=3m , x2=-m

tercer metodo
TERCER METODO

En el ejemplo propuesto se tiene a=1,

b=-2m, c=-3m². Por tanto,

2m±√4m²-4(1)(-3m²)

X=

2

2m±√16m²

X=

2

2m±4m

X=

2

= {3m, -m

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ECUACION CON RADICALES

Para resolver las ecuaciones con radicales se requieren tres pasos:

1.- Racionalizacion de la ecuación. Esto se consigue por elevaciones a potencias o mediante factores racionalizantes

2.-Resolución de la ecuación obtenida

3.-Verificación de las raíces encontradas en la ecuación original para desechar las raíces extrañas que se hayan podido introducir en el proceso de racionalización.

ejemplo resolver la ecuaci n1
EjemploResolver la ecuación:

√x+7 +1=2x

Si se pasa el 1 al segundo miembro para aislar el radical se tiene:

√x+7 =2x-1

Y elevando al cuadrado ambos miembros,

x+7=4x²-4x+1

De donde resulta la ecuacion de segundo grado

4x²-5x-6=0

Despejando x se obtiene

5± √25+96

X=

8

5± 11

X=

8

={ 2 , -3/4

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RESOLUCION GRAFICA DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Se llama funcion cuadratica la funcion:

Y=ax²+bx+c

Para graficar una función cuadrática se deben tener por lo menos tres puntos, "las raices" y el vértice.

Grafiquemos f(x) = x2 + 5x - 6

La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, - 6) pertenece a la función.

Hallemos el vértice de la parábola:

 Ahora las raíces:

Con estos tres puntos podemos trazar la parábola:

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Hallemos el vértice de la parábola:

Ahora las raíces:

Con estos tres puntos podemos trazar la parábola:

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Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola y = x2 - x + 1 .

a.   A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 02- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).

b.   B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x2 - x + 1; 0 = x2- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).

c.   La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es decir, . La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)2- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75).

d.   Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto,

y = 22-2+1=3. C = (2,3).

  • Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax2 + bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.
slide38
RELACIONES ENTRE LAS RAICES Y LOS COEFICIENTES

Puesto que en la ecuacion de segundo grado: ax²+bx+c=0

Siempre se supone a≠0, se puede dividir la ecuacion por este coeficiente y escribirla en la forma:

x²+(b/a)x+c/a=0

slide39
ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Para poder entender esta aplicación vamos a considerar alginos ejemplos simples de ecuaciones de grado superior que son reducibles a ecuaciones de segundo grado de la forma:av²+bv+c=0

slide40

ASI:

4x^4-13x²+3=0

Haciendo:

x²=v

Se obtiene la ecuacion de segundo grado:

4v²-13v+3=0

Resolviendo esta ecuacion tenemos:

13±√169-48

V=

8

13±11

V=

8

V={ 3 , ¼

Sustituyendo estos valores de v en x²=v resulta:

x²=3 , x²=1/4 ,

De donde se obtiene

x1:= √3

X2= - √3

X3= ½

X4= -1/2

Estos cuatro valores son todos raices de la ecuacion propuesta.

El numero de las raices de una ecuacion algebraica es siempre igual al grado de la ecuacion.

En general, las ecuaciones de la forma:ax^4+bx²+c=0

Se llaman bicuadradas.

Haciendo x²=vse reduce a la ecuacion cuadratica

av²+bx²+c=0

slide41
La cual da:

-b±√b²-4ac

V=

2 a

Luego:

-b±√b²-4ac

x²=

2 a

De donde se obtiene:

-b±√b²-4ac

X=±

Coomo formula de la ECUACION BICUADRATICA

slide42
SISTEMAS CUADRATICAS

Se laman sistemas cuadraticas los sistemas de ecuaciones que contienen al menos una ecuacion de segundo grado y ninguna ecuacion de segundo grado superior al segundo.

EJEMPLOS:

4X²-3XY=18

{

2X+3Y=12

x²+xy+y²=3

{

2x²-y²=1

El primer sistema contiene una ecuacion de segundo grado y una de primero. El segundo sistema se compone de dos ecuaciones de segundo grado.

resolver el sistema
RESOLVER EL SISTEMA

El primer sistema contiene una ecuacion de segundo grado y una de primero. El segundo sistema se compone de dos ecuaciones de segundo grado.

ejemplos resolver el sistema
EJEMPLOS:RESOLVER EL SISTEMA:
  • En este caso las ecuaciones del sistema contienen solamente los cuadrados de las incognitas. Estos sistemas se resuelven como los lineales, resultando al final ecuaciones de segundo grado incompletas de la forma x²=a
slide45
Asi, en el ejmplo propuesto, comenzaremos por eliminar x² para lo cual multiplicaremos la segunda ecuacion por 2:

(1) {3} 2x²-3y²=15

(2) X 2 {4} 2x²+4y²=22

(4) – (3)

7y²=7

y²=1

De donde se obtiene

Y=1 ó y=-1

Sustituyendo y=1 en {2} resulta:

x²+2=11 , x²=9,

De donde

X=+3 ó x=-3

Sustituyendo y=-1 en {2} se obtiene otra vez x²=9, x=+3 ó x=-3

En resumen, el sistema admite las soluciones que se indican en el cuadro siguiente:

slide46
RESOLVER ES SISTEMA:

{1} x²+y²=25

{

{2} x+y=1

Los sistemas que se componen de una ecuacion de segundo grado y una de primero se resuelven pro sustitucion, despejando una de las incognitas en la ecuacion de primer grado y sustituyendo su valor en la otra ecuacion. Asi, en el caso anterior, despejando y en {2} se tiene:

{3} y=1-x

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Y sustituyendo en {1}:

x²+(1-x) ²=25

x²+1-2x+x²=25

x²-x-12=0

(x-4)(x+3)=0

De donde:

X1: 4

X2: -3

Sustituyendo x1=4 en {3} se obtiene

Y1=1-4=-3,

Y sustituyendo x2=-3

Y2= 1+3=4.

Se tienen, pues, las soluciones:

slide48
RESOLUCION GRAFICA

Los sistemas cuadráticos, lineales, pueden resolverse representando gráficamente cada una de las ecuaciones del sistema y determinando sobre el papel las coordenadas de los puntos de intersección.

Para representar gráficamente la ecuación del sistema estudiado anteriormente, comenzamos por despejar la y el la forma

Y=±√25-x²

Y dando los valores a x establecemos la tabla que se observa al lado de la figura