數學科學習策略

1. 數學科學習策略 報告成員： 教二甲 教二丙 921015 俞姿伶 921008 陳柏豪 921027 陳熙瑜 921015 辜曉薇 929056 余亞倩 921017 林宓潔 921042 郭佳玲

2. 壹、前言 在數學的學習策略裡，最重要的一部份就是解題。而數學問題解決的意義可以看成是：解題者在面對數學問題時，由於無法立即獲得正確解答，而必須融合數學問題的已知條件與本身已有的數學知識概念，嘗試運用各種思考方式與技能去探索各種可能的問題解決途徑，以獲得有效解答問題的過程。

3. 貳、解題歷程： 〈一〉了解問題： • 了解字面上的意義 • 列出問題中的已知數、未知數

4. 〈二〉擬定計劃 • 了解題目是什麼樣的類型 • 適合用什麼計劃

5. 〈三〉實行計劃： • 執行所擬定的計劃 • 保持正確的解題流程

6. 〈四〉回顧解答 ： • 檢驗答案的合理性 • 驗算 • 用不同的方法求解

7. 補充說明： 在這四個歷程裡，並不是一定按照順序的。而應該是會在這四個歷程裡來回跳動的。例如如果再回顧解答時發現問題，而回到實行計劃時還是找不到答案，就會質疑擬定的計劃是否有問題。重新擬定計劃之後，再繼續執行計劃。如果再回顧答案又出現問題，或許就會再回到了解題目歷程，看看是不是有哪裡誤會語義了。，一直到完全都沒有錯誤之後，才算完成解題。

8. 叁、數學的學習策略(偏教學) ㄧ、 小組討論： 哈特(Hart,1993)在研究中發現學習者在解數學題時會產生一些阻礙,學習者對文字題的敘述會有不適應的情形產生。因為學生都有自己的獨特思考與敘述方式，所以很可能會誤解老師的意思語教學內容。哈特認為可以透過小組討論來改善語言造成的問題，學習者在小組內發表自己的想法與思考方向，經由說服同儕而共同解決問題的歷程,使學習者獲得更完整而清楚的數學概念。

9. 二、 園徑策略： 由傅雷哲與雷納(Frazier ＆ Rayner) 提出。他們認為面對題目時，先對問題提出一個假設，當選定的假設能夠在整個問題情境中建立起一致而有效的解釋時 就繼續往下做。但若如果某部分出現狀況時，則應重新修正假設,再繼續進行解題的工作。

10. 三、 練習命題： 由溫諾葛雷(Winograd)所主張。他認為學生可藉由編寫題目中發展出3種策略。 (1)確認所要編寫的主題為何。 (2)先使用一般的方式組織有關的訊息。 (3)發展出一種使問題更具有深度的命題技巧。 透過練習命題，能使學生真正了解問題，知道問題是如何產生的，以及知道解決問題的策略是什麼。

11. 肆、四則運算的解題技巧與應用 ㄧ、 重述問題： 目的在使學生將呆板的、混亂的題目生活化和條理化,主要在幫助學生建構心理表徵。

12. 二、 簡化問題(常與策略一並用)： 目的在使學生從題目中找出真正重要的句子,並釐清題目中哪些句子與解題有關,哪些句子則與解題無關。 例：表姊訂婚請客,幫忙佈置場地。每一桌各需要氣球5個,花10朵,飲料4瓶,糖果兩盤,拉炮8個。如果已經在6張桌子放好飲料,她共放了幾瓶? 簡化後：每一桌各需要飲料4瓶；如果已經在6張桌子放好飲料；她共放了幾瓶?

13. 三、 建立次目標： 將整個問題分解成小單位的問題以便於達成解題的目的。 例:地磚是以每邊30公分的正方形出售。假如每塊地磚的價錢是2000元,那麼一個長9公尺、寬5公尺的矩形房間鋪滿地磚,一共要多少錢? 為了解答此問題,需要決定：(a)一塊地磚的面積→(b)矩形房間的面積→(c)需要多少地磚→(d)一共要多少錢。

14. 四、 繪圖法： 將題意透過圖形來加以理解,建立心理表徵,以便運用策略來解出答案。 例:有18顆糖果,平均分給3人,每人可分得幾顆? • ○ ○ ○ →第一次每人分1顆,共分了3顆,剩下15顆 • ○ ○ ○ →第二次每人分1顆,共分了3顆,剩下12顆 • ○ ○ ○ →第三次每人分1顆,共分了3顆,剩下9顆 • ○ ○ ○ →第四次每人分1顆,共分了3顆,剩下6顆 • ○ ○ ○ →第五次每人分1顆,共分了3顆,剩下3顆 • ○ ○ ○ →第六次每人分1顆,共分了3顆,全部分完

15. 五、 估算策略： 是一種驗算答案是否有誤的方法。 例:小明到文具店，買了5枝鉛筆和3枝原子筆，共花了76元。請問1枝鉛筆和1枝原子筆各要多少錢? 若學生在考試中沒有時間一一驗算時，而算出來的答案為鉛筆1枝14元，原子筆1枝2元時，學生就應該有所警覺，因為通常鉛筆比原子筆便宜(正解為鉛筆1枝8元，原子筆1枝12元) 。

16. 伍、學生在代數上的學習困難 • 等號是掌控一個算數運算的執行的命令而不是認為比較兩個量的關係符號。 • 以「a-□= b」及「a÷ᎎ=b」這兩類問題的難度最高，學生無法將逆算概念應用於此兩種題型。

17. 解文字題的困難： 出現利用假設的未知數把另一個未知數表示出來方面，解題時須以文字來表示未知的量數關係，並依提議中以之條件來列出關係式。 • 缺乏事實知識、語言知識、或基模知識，而造成解題失敗。

18. 陸、代數概念的教學策略 ㄧ、有關數概念中相關先備知識的教學策略 二、有關文字符號概念的教學策略 三、有關符號表徵的教學策略

19. ㄧ、數概念 • 吳貞祥〈 民79〉認為數概念只對於數能夠做某種程度的思考。 • 甯自強〈民82〉指出數概念可以看程式某量與某一單位量之間的關係。 • Linchevski（1995）認為先備知識是必須的，先教以數字代替文字。 Sovchik（1996）認為可使用圖形或具體物幫助學生。

20. 二、文字符號 • 學生文字符號概念分為六種不同層次： (1)文字符號代表可算出的值 n+5=8的n (2)文字符號可忽略不用 a+b=5，求a+b+2=？ (3)文字符號當作物 以h表某一邊長 (4)文字符號當作特定未知數 有n個邊，每邊長2cm，周長為2ncm (5)文字符號當作一般化的數字 c+d=10，且c〈d，則c表小於5的數 (6)文字符號當作變數 比較n和2n的大小

21. 學習文字符號概念部分來自於文字符號有不同用法及意義。學習文字符號概念部分來自於文字符號有不同用法及意義。 • 學生需了解文字符號所代表的不同意義，及不同使用方法。

22. 三、符號表徵 • 可視為算數運算的通則性敘述 • 亦可視為一種數學物件 • 據林敏雪（民86）研究，圖形整合能力可提升表徵層次

23. 等號的教學策略： 在代數中，等式是指等號兩邊資料量 是相等的。教師可利用等臂天平平衡原理 。

24. Q：「5＋3會等於9－1嗎？」 5 + 3 9 – 1

25. 柒、解方程式的教學概念 • 解代數方法有利用述的事實、使用數數的 技巧、遮蓋法、逆算法、嘗試錯誤法、移項規則、在等號兩邊進行同樣的運算等。 • 教師應提供一些經驗，使學生能聯繫具體物的操作與數學概念間的關係。 • 學生最常用的策略是將數字代入方程式中，看是否會得相同結果。

26. 捌、進行解代數時常用的策略 ㄧ、猜數字法及嘗試錯誤法 例題:我在心想了一個數字,這個數字的三倍再加4會等於19,請問我心中所想的那個數字是多少?

27. 先列出 3×□＋ 4＝19 若□＝1，3×(1) ＋ 4 ＝ 7≠ 19 若□＝4，3×(4) ＋ 4 ＝ 16≠ 19 若□＝5，3×(5) ＋ 4 ＝ 19 所以5是這個方程式的解， □＝5

28. 二、遮蓋法 例題:3×□＋ 4＝19 以○ 將3×□遮起來， 就變成○ ＋ 4＝19 ， 所以○ ＝15 ， 也就是說3×□ ＝15 ， 而3×5＝15 ， 所以□ ＝5

29. 三、逆算法 • 例題:3×□＋ 4＝19 19－ 4 ＝15 ， 15÷ 3 ＝5 所以□ ＝5 ×3 ＋4 15 19 ÷3 －4

30. 四、系統法 • 系統法是指依方程式的複雜程度，配合具體、圖形及抽象表徵來解方程式。 • 例題:3×□＋ 4＝19 1.具體/圖形表徵 抽象表徵 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 3×□＋ 4＝19 □ □ □ ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●

31. 2.兩邊都減去4 具體/抽象表徵 抽象表徵 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 3×□＋ 4－4 ＝19－4 □ □ □● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 3×□ ＝15 □ □ □ ● ● ● ● ●

32. 3.兩邊都除以3(分成三份) 具體/抽象表徵 抽象表徵 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 3×□ ÷ 3＝15 ÷ 3 □ □ □ ● ● ● ● ● □ ● ● ● ● ● □ ＝5

33. 五、平衡法 • 例題:□ ＋ 6＝ 15 □ ＋ 6 ＝ 15 拿走六個花片● ● ●＝ ● ● ● ● ● ● ● ● ● 拿走六個花片 ● ● ● ● ● ● ● ● ● □ ＝ 9

34. 六、線段圖示法 • 例題:2×□+4＝□+6 □ □ 4 2×□+4 □ 6 □+6 □＝2

35. 玖、分數教學中的表徵法 • 具體的指示物 • 圖像表徵 • 語言表徵 • 抽象符號表徵 • 生活腳本

36. 小明生日的那一天，媽媽買了一個蛋糕，平分給全家八個人，請問每人吃到幾個蛋糕?小明生日的那一天，媽媽買了一個蛋糕，平分給全家八個人，請問每人吃到幾個蛋糕?

37. 一瓶果汁平分成3杯，曉華喝了2杯，共喝了多少瓶果汁？一瓶果汁平分成3杯，曉華喝了2杯，共喝了多少瓶果汁？