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4 Les Lois discrètes

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4 Les Lois discrètes

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  1. 4 Les Lois discrètes

  2. X b 1 1)VARIABLE ALEATOIRE CONSTANTE • Espérance :E(X) = b.1=b Variance : V(X) = 0

  3. 2)LOI DE BERNOULLI • Espérance :E(X) = p Variance : V(X) = pq

  4. 3)LOI BINOMIALE

  5. a)Présentation • Épreuve aléatoire avec deux issues: • A de probabilité P(A) = p • de probabilité q = 1 – p

  6. On répète n fois avec indépendance • X est le nombre de réalisations de A • alors X suit une loi binomiale B(n,p) de paramètres n et p

  7. b)Autre Présentation • avec Xi Loi de Bernoulli et Xi est le nombre de réalisation du ième tirage

  8. c)Définition • On appelle loi binomiale B(n,p) la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète X telle que • avec P( X=k ) =

  9. d) • Espérance : E( X ) = np • Variance : V( X ) = npq • Écart Type :

  10. 4)LOI DE POISSON

  11. Définition • On appelle loi de Poisson de paramètres  la loi de probabilité d’une v.a. discrète X telle que • Avec P(X=k)=

  12. Propriété

  13. Utilisation de la Table • Pour la loi de Poisson avec =2 (paramètre de la loi =2) • P( X=3 ) = 0,180 (valeur k=3)

  14. APPROXIMATION DE LA LOI BINOMIALE B(n,p) PAR LA LOI DE POISSON • Si n est grand( n  30 ) • Si p est petit( p  0,1 ) • Si np < 15 • Alors on peut remplacer la loi binomiale B(n,p)par une loi de Poisson de paramètre =np