“ 高等数学”课程所要学习的内容及内容间的相互关系

1. “高等数学”课程所要学习的内容及内容间的相互关系“高等数学”课程所要学习的内容及内容间的相互关系

2. 第一章 函数 第一节 变量与函数 第二节初等函数

3. 第一节 变量与函数 一、常量与变量 二、区间与邻域 三、函数 四、函数的几种特性 五、反函数

4. 一、常量与变量 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 有限集 无限集

5. 数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集 数集间的关系: 例如 不含任何元素的集合称为空集. 例如, 规定 空集为任何集合的子集.

6. 二、区间与邻域 1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间, 称为闭区间,

7. 称为半开区间, 称为半开区间, 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.

8. 2.邻域:

9. 三、函数概念 定义1：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f：X Y 三要素：集合X(即定义域Df=X);集合Y,即值域的范围RfY;对应法则f。

10. 因变量 自变量 数集D叫做这个函数的定义域.

11. 函数的两要素: 定义域与对应法则. 自变量 对应法则f 因变量

12. 函数定义域的确定： （1）由算式表示的函数，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数组成的集合. （2）有实际意义的函数，根据实际意义确定. 　　如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．

13. y 1 x o -1 几个特殊的函数举例 (1) 符号函数

14. y 4 3 2 1 x o -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 (2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 的最大整数 阶梯曲线

15. 对应法则用不同的 在自变量的不同变化范围中, 式子来表示的函数,称为分段函数.

16. y M y M y=f(x) x o X x o X -M -M 四、函数的几种特性 1．函数的有界性: 上界、下界、有界、无界。 有界 无界

17. y y o o x x 2．函数的单调性:

18. y -x -x o x x o x x 奇函数 3．函数的奇偶性: y 偶函数

19. 4．函数的周期性: （通常说周期函数的周期是指最小正周期）.

20. 例1

21. 五、反函数 W W D D

22. 直接函数与反函数的图形关于直线 对称.

23. 第二节 初等函数 一、复合函数、初等函数 二、双曲函数与反双曲函数*

24. = = 定义: u g ( x ) y f ( u ) , 设函数 的定义域 而函数 D 1 , D 蘿 在 上有定义，且 则由下式确定的函数 g ( D ) D 1 = = = y f [ g ( x )] u g ( x ) y f ( u ) 称为由函数 和函数 构 . 成的 复合函数 一、复合函数 初等函数 1、复合函数

25. 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的; 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 2、初等函数 由常数和基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数)经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.

26. 例 解

27. 综上所述

28. 二、双曲函数与反双曲函数* 1、双曲函数(sh,ch) 奇函数. 偶函数.

29. 有界函数, 奇函数,

30. 双曲函数常用公式

31. = sinh y x ; 反双曲正弦 2、反双曲函数(arsh,arch,arth) 奇函数,

33. 奇函数,

34. 思考题 1. 判断是否存在函数关系？ (1) x2是否为x的函数？ (2)y=ex (3) x 1 2 3 y 4 5 6 (4) x+ey=0 (5) (6) x2+y2+1=0 2.映射与函数有何关系？ 3.是否任何两个函数都可以复合成一个复合函数？ 4.初等函数可以是分段函数吗？ 5.复合函数可以是分段函数吗？

35. 6. 7.设

36. 思考题6解答 设 则 故

37. 思考题7的答案