第三章 年金精算现值

1. 第三章 年金精算现值 第一节 生存年金的概念和种类 一、生存年金的定义： • 以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型 二、生存年金的分类： 1、按交保险费的方法分类：趸缴年金和年缴年金 2、按被保险人数分类：个人年金和联合年金 3、按给付年金的额度分类：定额年金和变额年金 4、按给付开始的日期分类：即付年金和延付年金 5、按给付期间分类：终身年金、期间保证年金、定期年金

2. 生存年金与确定性年金的关系 • 确定性年金 • 支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金） • 生存年金与确定性年金的联系 • 都是间隔一段时间支付一次的系列付款 • 生存年金与确定性年金的区别 • 确定性年金的支付期数确定 • 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条件）

3. 生存年金的用途 • 被保险人保费交付常使用生存年金的方式 • 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金的方式，特别在： • 养老保险 • 伤残保险 • 抚恤保险 • 失业保险

4. 三、生存年金精算现值的概念 1、生存年金趸缴纯保费的计算方法：现实支付法和总额支付法 现实支付法－将任意时刻t时的年金给付额折现至签单时的现值，再将所有的现值相加或积分。 总额支付法－先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付额的现值，再求现值的期望值。 • 现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔付的保险。 • 也就是我们在第三章讲到的n年期纯生存保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保费为 • 在生存年金研究中习惯用 表示该保险的精算现值

5. 例1：某25岁的男性购买了定期生存险，按保单规定：若能满65岁，可获得10000元。已知i＝6％，计算（1）趸缴纯保费。例1：某25岁的男性购买了定期生存险，按保单规定：若能满65岁，可获得10000元。已知i＝6％，计算（1）趸缴纯保费。 （2）25岁时缴纳的10000元在65岁时的精算累积值 （利用附录中的生命表） 解：

7. 第二节 连续给付型年金 • 连续生存年金的定义 • 在保障时期里，以被保险人存活为条件，连续支付年金的保险 • 连续生存年金的种类 • 终身连续生存年金/定期连续生存年金 • 连续生存年金精算现值的估计方法 • 现实支付法 • 总额支付法

8. 一、连续给付型终身生存年金 假设（x)岁的人购买了终身生存年金，即按连续方式方式每年给付年金额1元，则此终身生存年金在x岁时的精算现值为 终身生存年金的未来给付现值的随机变量为 • 步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年金的现值之和

9. 步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期望值，即终身连续生存年金精算现值步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期望值，即终身连续生存年金精算现值

10. 例1：在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求例1：在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求 解:

11. 解:

12. 二、n年定期生存年金 解:

13. 三、延期生存年金 （x)岁的人购买了延期n年的终身生存年金，即按连续方式方式每年给付年金额1元，则此延期生存年金在x岁时的精算现值为

14. （x)岁的人购买了延期m年的n年定期生存年金，即按连续方式方式每年给付年金额1元，则此延期生存年金在x岁时的精算现值为（x)岁的人购买了延期m年的n年定期生存年金，即按连续方式方式每年给付年金额1元，则此延期生存年金在x岁时的精算现值为

15. 四、年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系 证明:

16. 同理可得：

17. Y的方差 1、终身生存年金 2、n年定期生存年金

18. 3、延期n年的终身生存年金

19. 解:

21. 例2：年龄为35岁的人，购买按连续方式给付年金额为2000元的生存年金，利率为6％，试利用用生命表在UDD假设下的下列生存的精算现值。（1）终身生存年金（2）20年定期生存年金（3）延期10年的终身生存年金（4）延期10年的20年定期生存年金例2：年龄为35岁的人，购买按连续方式给付年金额为2000元的生存年金，利率为6％，试利用用生命表在UDD假设下的下列生存的精算现值。（1）终身生存年金（2）20年定期生存年金（3）延期10年的终身生存年金（4）延期10年的20年定期生存年金 解:

25. 五、年金的精算累积值 以连续方式每年给付金额为1元的n年定期生存年金的精算累积值

26. 第三节 离散型年金 • 离散生存年金定义： • 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次年金的保险。 • 离散生存年金与连续生存年金的关系 • 计算精算现值时理论基础完全相同 • 连续－积分离散－求和 • 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑 • 离散生存年金的分类 • 期初年金/期末年金 • 终身年金/定期年金 • 延期年金/非延期年金

27. 一、期初付年金及其精算现值 终身生存年金－每个保单年度初给付1元，直到年金受领人死亡。

28. 例 已知 假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，求： 解:

29. 定期生存年金－每个保单年度初给付1元的n年定期生存年金。定期生存年金－每个保单年度初给付1元的n年定期生存年金。 例：某人在55岁时购买了定期5年的生存年金，这一年金可以保证在他60岁退休时，每年得到10000元的给付，假设年金在每年初给付，i=0.06,以中国人寿保险业经验生命表（1990－1993）（男女混合）资料计算这一年金在购买时的现值。 解:

31. 延期终身生存年金－每个保单年度初给付1元的延期n年的终身生存年金。延期终身生存年金－每个保单年度初给付1元的延期n年的终身生存年金。

32. 延期终身生存年金－每个保单年度初给付1元的延期m年的n年定期生存年金。延期终身生存年金－每个保单年度初给付1元的延期m年的n年定期生存年金。

33. 例：某人为其14岁的子女投保了一定期生命年金，这一保险可以使该儿童在18岁到21岁间，每年初获得4000元作为大学学费（年利率i=0.06),以附表计算该年金的现值。例：某人为其14岁的子女投保了一定期生命年金，这一保险可以使该儿童在18岁到21岁间，每年初获得4000元作为大学学费（年利率i=0.06),以附表计算该年金的现值。 解:这是延期4年又定期3年的生命年金

34. 二、期初付年金精算现值与趸缴纯保费间的关系二、期初付年金精算现值与趸缴纯保费间的关系 假设K为x岁的人的未来的取整余命的随机变量，Y为年金给付的现值的随机变量。

35. n年定期生存年金

36. 延期生存年金

37. 三、期末付年金的精算现值 期末付终身生存年金－每个保单年度末给付1元的终身生存生存年金。

38. 例2：李丽在55岁时投保了终身生存年金。从56岁开始每年末能得到5000元的生存保险金。假设她在55岁的存活率比标准生命表给出的存活率高出0。005,其余年龄的存活率与生命表存活率一致，当i=0.06时，试给出这一年金现值的简化形式。例2：李丽在55岁时投保了终身生存年金。从56岁开始每年末能得到5000元的生存保险金。假设她在55岁的存活率比标准生命表给出的存活率高出0。005,其余年龄的存活率与生命表存活率一致，当i=0.06时，试给出这一年金现值的简化形式。 解: 年金现值为： 依此类推：

40. 期末付n年定期生存年金－每个保单年度末给付1元的n年定期生存年金。期末付n年定期生存年金－每个保单年度末给付1元的n年定期生存年金。

41. 期末付延期n年的终身生存年金－每个保单年度末给付1元的延期n年的终身生存年金。期末付延期n年的终身生存年金－每个保单年度末给付1元的延期n年的终身生存年金。

42. 例：某人在55岁时购买了延期10年的生存年金，这一年金可以保证在他65岁退休时，每年得到10000元的给付，假设年金在每年末给付，在死亡力为常数0.01，利息力为常数0.02的假定下，计算这一年金在购买时的现值。例：某人在55岁时购买了延期10年的生存年金，这一年金可以保证在他65岁退休时，每年得到10000元的给付，假设年金在每年末给付，在死亡力为常数0.01，利息力为常数0.02的假定下，计算这一年金在购买时的现值。 解:

44. 期末付延期m年的n年定期生存年金－每个保单年度末给付1元的延期m年的n年定期生存年金。期末付延期m年的n年定期生存年金－每个保单年度末给付1元的延期m年的n年定期生存年金。

45. 四、年金的精算累积值 每个保单年度初给付1元的n年定期生存年金：

46. 第四节 每年给付数次的年金 1、期初付终身生存年金－每年支付m次，每次支付为期初支付，支付额为1／m。

48. 注:当实际利率很小时，可得到一近似公式。

49. 例：某人在30岁时购买了每月给付300元的生存年金,第一给付于契约成立一个月后。i=0.06,在死亡力为常数0.12，利息力为常数0.24的假定下，计算这一年金在购买时的现值。例：某人在30岁时购买了每月给付300元的生存年金,第一给付于契约成立一个月后。i=0.06,在死亡力为常数0.12，利息力为常数0.24的假定下，计算这一年金在购买时的现值。 解: