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第 6 章 树

第 6 章 树. 数据结构（ C++ 描述 ）. 目录. 6.1 树的基本概念. 6.2 二叉树. 6.3 遍历二叉树. 6.4 线索二叉树. ６ . ５树和森林. 6.6 哈夫曼树. 退出. 6.1 树的基本概念. 6.1.1 树的定义. 1 ．树的定义. 树是由 n （ n≥0 ）个结点组成的有限集合。若 n=0 ，称为空树；若 n>0 ，则： （ 1 ）有一个特定的称为根（ root ）的结点。它只有直接后继，但没有直接前驱；

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第 6 章 树

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  1. 第6章 树 数据结构（C++描述）

  2. 目录 6.1 树的基本概念 6.2 二叉树 6.3遍历二叉树 6.4线索二叉树 ６.５树和森林 6.6 哈夫曼树 退出

  3. 6.1 树的基本概念 6.1.1 树的定义 1．树的定义 树是由n（n≥0）个结点组成的有限集合。若n=0，称为空树；若n>0，则： （1）有一个特定的称为根（root）的结点。它只有直接后继，但没有直接前驱； （2）除根结点以外的其它结点可以划分为m（m≥0）个互不相交的有限集合T0，T1，…，Tm-1，每个集合Ti（i=0,1,…,m-1）又是一棵树，称为根的子树，每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但可以有0个或多个直接后继。 由此可知，树的定义是一个递归的定义，即树的定义中又用到了树的概念。 树的结构参见图6-1。

  4. 在图6-1(c)中，树的根结点为A，该树还可以分为三个互不相交子集T0，T1，T2，具体请参见图6-2，其中T0={B，E，F，J，K，L}，T1={C，G}，T2={D，H，I，M}，其中的T0，T1，T2都是树，称为图6-1（C）中树的子树，而T0，T1，T2又可以分解成若干棵不相交子树。如T0可以分解成T00，T01两个不相交子集，T00={E，J，K，L}，T01={F}，而T00又可以分为三个不相交子集T000，T001，T002，其中，T000={J}，T001={K}，T002={L}。

  5. 2．树的逻辑结构描述 一棵树的逻辑结构可以用二元组描述为： tree =(k,R) k={ki∣1≤i≤n;n≥0,kielemtype} R={r} 其中，n为树中结点个数，若 n=0，则为一棵空树， n> 0时称为一棵非空树，而关系 r 应满足下列条件： （1）有且仅有一个结点没有前驱,称该结点为树根; （2）除根结点以外,其余每个结点有且仅有一个直接前驱; （3）树中每个结点可以有多个直接后继(孩子结点)。

  6. 例如，对图6-1(c )的树结构,可以二元组表示为： K={A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，M} R={r} r={(A,B)，(A,C)，(A,D)，(B,E)，(B,F)，(C,G)，(D,H)，(D,I)，(E,J)，(E,K)，(E,L)，(H,M)} 3．树的基本运算 树的基本运算可以定义如下几种： (1) inittree(&T) 初始化树T。 (2) root(T) 求树T的根结点。

  7. (3) parent(T,x) 求树T中，值为x的结点的双亲。 (4) child(T,x,i) 求树T中，值为x的结点的第i个孩子。 (5) addchild(y,i,x) 把值为x的结点作为值为y的结点的第i个孩子插入到树中。 (6) delchild(x,i) 删除值为x的结点的第i个孩子。 (7) traverse(T) 遍历或访问树T。

  8. 6.1.2 基本术语 1.结点 指树中的一个数据元素，一般用一个字母表示。 2.度 一个结点包含子树的数目，称为该结点的度。 3.树叶（叶子） 度为0的结点，称为叶子结点或树叶，也叫终端结点。 4.孩子结点 若结点X有子树，则子树的根结点为X的孩子结点，也称为孩子，儿子，子女等。如图6-1（c）中A的孩子为B，C，D。

  9. 5.双亲结点 若结点X有子女Y，则X为Y的双亲结点。 6.祖先结点 从根结点到该结点所经过分枝上的所有结点为该结点的祖先，如图6-1（c）中M的祖先有A，D ，H 。 7.子孙结点 某一结点的子女及子女的子女都为该结点子孙。 8.兄弟结点 具有同一个双亲的结点，称为兄弟结点。

  10. 9.分枝结点 除叶子结点外的所有结点，为分枝结点，也叫非终端结点。 10．层数 根结点的层数为1，其它结点的层数为从根结点到该结点所经过的分支数目再加1。 11. 树的高度（深度） 树中结点所处的最大层数称为树的高度，如空树的高度为0，只有一个根结点的树高度为1。 12.树的度 树中结点度的最大值称为树的度。

  11. 13. 有序树 若一棵树中所有子树从左到右的排序是有顺序的，不能颠倒次序。称该树为有序树。 14. 无序树 若一棵树中所有子树的次序无关紧要，则称为无序树。 15．森林（树林） 若干棵互不相交的树组成的集合为森林。一棵树可以看成是一个特殊的森林。

  12. 6.1.3 树的表示 1．树形结构表示法 具体参 见图6-1 。

  13. 2. 凹入法表示法 具体参见图6-3 。

  14. 3. 嵌套集合表示法 具体参 见图6-4 。

  15. 4.广义表表示法 对图6-1（c）的树结构，广义表表示法可表示为： （A（B（E（J，K，L），F），C（G），D（H（M），I））） 6.1.4 树的性质 性质1树中的结点数等于所有结点的度加1。 证明：根据树的定义，在一棵树中，除根结点以外，每个结点有且仅有一个直接前驱，也就是说，每个结点与指向它的一个分支一一对应，所以，除根结点以外的结点数等于所有结点的分支数（即度数），而根结点无直接前驱，因此，树中的结点数等于所有结点的度数加1。

  16. 性质 2 度为k的树中第i层上最多有ki-1个结点（i≥1）。 下面用数学归纳法证明： 对于i=1，显然成立，假设对于i-1层，上述条件成立，即第i-1层最多有ki-2个结点， 对于第i层，结点数最多为第i-1层结点数的k倍（因为度为k），故第i层的结点数为ki-2*k= ki-1。 性质3深度为h的 k叉树最多有 个结点。 证明：由性质2可知，若每一层的结点数最多，则整个k叉树结点数最多，共有 =k0+k1+…+kh-1= 。 当一棵K叉树上的结点数达到 时，称为满K叉树。

  17. 性质4具有n个结点的k叉树的最小深度为logk(n(k-1)+1)。 （请注意，x表示取不小于x的最小整数，或叫做对x上取整。） 证明：设具有n个结点的k叉树的深度为h，即在该树的前面h-1层都是满的，即每一层的结点数等于ki-1个(1≤i≤h-1)，第h层（即最后一层）的结点数可能满，也可能不满，这时，该树具有最小的深度。由性质3知道，结点数n应满足下面条件： <n≤ ，通过转换为：kh-1<n(k-1)+1≤kh，再取以k为底的对数后，可以得到： h-1<logk(n(k-1)+1)≤h，即有：logk(n(k-1)+1)≤h<logk(n(k-1)+1)+1，而h只能取整数，所以，该k叉树的最小深度为h=logk(n(k-1)+1)。

  18. 6.2 二叉树 6.2.1 二叉树的定义 1．二叉树的定义 和树结构定义类似，二叉树的定义也可以递归形式给出： 二叉树是n（n≥0）个结点的有限集，它或者是空集（n=0），或者由一个根结点及两棵不相交的左子树和右子树组成。 二叉树的特点是每个结点最多有两个孩子，或者说，在二叉树中，不存在度大于2的结点，并且二叉树是有序树（树为无序树），其子树的顺序不能颠倒，因此，二叉树有五种不同的形态，参见图6-5 。

  19. 2．二叉树的基本运算 （1）inittree(&T) 二叉树的初始化。 （2）root(T) 求二叉树的根结点。 （3）parent(T,x) 求二叉树T中值为x的结点的双亲。 （4）lchild(T,x) 求二叉树T中值为x的结点的左孩子。

  20. (5) rchild(T,x) 求二叉树T中值为x的结点的右孩子。 (6) lbrother(T,x) 求二叉树T中值为x的结点的左兄弟。 (7) rbrother(T,x) 求二叉树T中值为x的结点的右兄弟。 (8) traverse(T) 遍历二叉树T。

  21. (9) createtree(&T) 建立一棵二叉树T。 (10) addlchild(&T,x,y) 在二叉树T中，将值为y的结点作为值为x的结点的左孩子插入。 (11) addrchild(&T,x,y) 在二叉树T中，将值为y的结点作为值为x的结点的右孩子插入。 (12) dellchild(&T,x) 在二叉树T中，删除值为x 的结点的左孩子。 (13) delrchild(&t,x) 在二叉树T中，删除值为x 的结点的右孩子。

  22. 6.2.2 二叉树的性质 性质1若二叉树的层数从1开始，则二叉树的第k层结点数，最多为2k-1个（k>0）。 可以用数学归纳法证明之。 性质2深度（高度）为k的二叉树最大结点数为2k-1（k>0）。 证明： 深度为k的二叉树，若要求结点数最多，则必须每一层的结点数都为最多，由性质1可知，最大结点数应为每一层最大结点数之和。既为 20+21+…+2k-1=2k-1。

  23. 性质3 对任意一棵二叉树，如果叶子结点个数为n0，度为2的结点个数为n2，则有n0=n2+1。 证明：设二叉树中度为1的结点个数为n1，根据二叉树的定义可知，该二叉树的结点数n=n0+n1+n2。又因为在二叉树中，度为0的结点没有孩子，度为1的结点有1 个孩子，度为2的结点有2个结孩子，故该二叉树的孩子结点数为 n0*0+n1*1+n2*2 ，而一棵二叉树中，除根结点外所有都为孩子 结点，故该二叉树的结点数应为孩子结点数加1即：n=n0*0+n1*1+n2*2+1因此,有 n=n0+n1+n2=n0*0+n2*1+n2*2+1，最后得到n0=n2+1。 为继续给出二叉树的其它性质，先定义两种特殊的二叉树。

  24. 满二叉树 深度为k具有2­k-1个结点的二叉树，称为满二叉树。 从上面满二叉树定义可知，必须是二叉树的每一层上的结点数都达到最大，否则就不是满二叉树。 完全二叉树 如果一棵具有n个结点的深度为k的二叉树，它的每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号为1~ n的结点一一对应，则称这棵二叉树为完全二叉树。 从完全二叉树定义可知，结点的排列顺序遵循从上到下、从左到右的规律。所谓从上到下，表示本层结点数达到最大后，才能放入下一层。从左到右，表示同一层结点必须按从左到右排列，若左边空一个位置时不能将结点放入右边。

  25. 从满二叉树及完全二叉树定义还可以知道，满二叉树一定是一棵完全二叉树，反之完全二叉树不一定是一棵满二叉树。满二叉树的叶子结点全部在最底层，而完全二叉树的叶子结点可以分布在最下面两层。深度为4的满二叉树和完全二叉树如图6-6所示。从满二叉树及完全二叉树定义还可以知道，满二叉树一定是一棵完全二叉树，反之完全二叉树不一定是一棵满二叉树。满二叉树的叶子结点全部在最底层，而完全二叉树的叶子结点可以分布在最下面两层。深度为4的满二叉树和完全二叉树如图6-6所示。

  26. 性质4 具有n个结点的完全二叉树高度为log2(n)+1 或 log2（n+1） 。 (注意x表示取不大于x的最大整数，也叫做对x下取整，x表示取不小于x的最小整数，也叫做对x上取整。) 证明：设该完全二叉树高度为k，则该二叉树的前面k-1层为满二叉树，共有2k-1-1个结点，而该二叉具有k层，第k层至少至少有1个结点，最多有2k-1个结点。因此有下面的不等式成立：­­­­­（2k-1 –1） +1 ≤n ≤（2k-1-1）+2k-1，即有 2k-1≤n≤2k-1。由式子后半部分可知, n≤2k-1…① 由式子前半部分可知 2k-1≤n…② 由①有 n+1≤2k，同时取对数得： log2(n+1)≤k 故 k≥log2(n+1),即 k=log2(n+1)。即得到第二个结论。 由②有2k-1≤n,同时取对数得：k≤log2n+1即 k=log2 n+1,即第一个结论成立,证毕。

  27. 性质5如果将一棵有n个结点的完全二叉树从上到下，从左到右对结点编号1，2，…，n，然后按此编号将该二叉树中各结点顺序地存放于一个一维数组中，并简称编号为j的结点为 j(1≤j≤n)，则有如下结论成立： （1）若 j=1，则结点j为根结点，无双亲，否则j的双亲为 j/2； （2）若2j≤n，则结点j的左子女为2j ,否则无左子女。即满足2j>n的结点为叶子结点； （3）若2j+1≤n，则结点j的右子女为2j+1，否则无右子女； （4）若结点j序号为奇数且不等于1，则它的左兄弟为j-1； （5）若结点j序号为偶数且不等于n，它的右兄弟为j+1； （6） 结点j所在层数(层次)为log2j+1；

  28. 6.2.3 二叉树的存贮结构 1．顺序存贮结构 将一棵二叉树按完全二叉树顺序存放到一个一维数组中，若该二叉树为非完全二叉树，则必须将相应位置空出来，使存放的结果符合完全二叉树形状。如图6-7给出了顺序存贮形式。

  29. 对于一棵二叉树,若采用顺序存贮时,当它为完全二叉树时,比较方便,若为非完全二叉树,将会浪费大量存贮存贮单元。最坏的非完全二叉树是全部只有右分支,设高度为K,则需占用2K-1个存贮单元,而实际只有k个元素,实际只需k个存储单元。因此，对于非完全二叉树，宜采用下面的链式存储结构。对于一棵二叉树,若采用顺序存贮时,当它为完全二叉树时,比较方便,若为非完全二叉树,将会浪费大量存贮存贮单元。最坏的非完全二叉树是全部只有右分支,设高度为K,则需占用2K-1个存贮单元,而实际只有k个元素,实际只需k个存储单元。因此，对于非完全二叉树，宜采用下面的链式存储结构。 2．二叉链表存贮结构 （1）二叉链表表示 将一个结点分成三部分,一部分存放结点本身信息,另外两部分为指针,分别存放左、右孩子的地址。 二叉链表中一个结点可描述为:

  30. 对于图6-7所示二叉树,用二叉链表形式描述见图6-8。

  31. 对于一棵二叉树,若采用二叉链表存贮时,当二叉树为非完全二叉树时,比较方便,若为完全二叉树时,将会占用较多存贮单元(存放地址的指针)。若一棵二叉树有n个结点,采用二叉链表作存贮结构时,共有2n个指针域,其中只有n-1个指针指向左右孩子,其余n+1个指针为空,没有发挥作用,被白白浪费掉了,(当然后面介绍的线索可利用它)。对于一棵二叉树,若采用二叉链表存贮时,当二叉树为非完全二叉树时,比较方便,若为完全二叉树时,将会占用较多存贮单元(存放地址的指针)。若一棵二叉树有n个结点,采用二叉链表作存贮结构时,共有2n个指针域,其中只有n-1个指针指向左右孩子,其余n+1个指针为空,没有发挥作用,被白白浪费掉了,(当然后面介绍的线索可利用它)。 （2）二叉链表的数据类型 二叉链表的数据类型描述如下: struct bitree { elemtype data ; //结点数据类型 bitree *lchild, *rchild;} //定义左、右孩子为指针型

  32. (3)二叉链表的建立 为了后面遍历二叉树方便，先介绍建立二叉链表的算法（假设elemtype 为char型）。 假设二叉链表的数据类型描述如刚才所述，为建立二叉链表，用一个一维表数组来模拟队列，存放输入的结点，但是，输入结点时，必须按完全二叉树形式，才能使结点间满足性质5，若为非完全二叉树，则必须给定一些假想结点(虚结点)，使之符合完全二叉树形式。为此，我们在输入结点值时，存在的结点则输入它对应的字符，不存在的结点(虚结点)，输入逗号，最后以一个特殊符号 “#”作为输入的结束,表示建二叉链表已完成。建成的二叉链表可以由根指针root唯一确定。

  33. 算法描述如下： #include<iostream.h> typedef char elemtype; struct bitree { elemtype data; bitree *lchild,*rchild;}; bitree *create() { bitree *q[100]; //定义q数组作为队列存放二叉链表中结点，100为最大容量 bitree *s; //二叉链表中的结点 bitree *root ; //二叉链表的根指针 int front=1,rear=0; //定义队列的头、尾指针

  34. char ch; //结点的data域值 root=NULL; cin>>ch; while(ch!='#') //输入值为#号,算法结束 { s=NULL; if(ch!=',') //输入数据不为逗号,表示不为虚结点,否则为虚结点 { s=new bitree; s->data=ch; s->lchild=NULL; s->rchild=NULL; } rear++; q[rear]=s; //新结点或虚结点进队

  35. if(rear==1) root=s; else { if((s!=NULL)&&(q[front]!=NULL)) { if(rear%2==0) q[front]->lchild=s; //rear为偶数,s为双亲左孩子 else q[front]->rchild=s;} //rear为奇数,s为双亲右孩子 if(rear%2==1) front++; } //出队 cin>>ch;} return root; }

  36. 例如，对图6-9所示的二叉树，建立的二叉链表如图6-10所示。

  37. 对图6-9(a)所示的二叉树，要用算法建成图6-10所示的二叉树链表，从键盘输入的数据应为：AB,,C,,,,D#↙ 其中#为输入结束，↙为回车符。

  38. 6.3遍历二叉树 所谓遍历二叉树，就是遵从某种次序，访问二叉树中的所有结点，使得每个结点仅被访问一次。 这里提到的“访问”是指对结点施行某种操作，操作可以是输出结点信息，修改结点的数据值等，但要求这种访问不破坏它原来的数据结构。在本书中，我们规定访问是输出结点信息data，且以二叉链表作为二叉树的存贮结构。

  39. 由于二叉树是一种非线性结构，每个结点可能有一个以上的直接后继，因此，必须规定遍历的规则,并按此规则遍历二叉树,最后得到二叉树所有结点的一个线性序列。 令L,R,D分别代表二叉树的左子树、右子树、根结点，则遍历二叉树有6种规则：DLR、DRL、LDR、LRD、RDL、RKD。若规定二叉树中必须先左后右(左右顺序不能颠倒)，则只有DLR、LDR、LRD三种遍历规则。DLR称为前根遍历(或前序遍历、先序遍历、先根遍历)，LDR称为中根遍历(或中序遍历)，LRD称为后根遍历(或后序遍历)。

  40. 6.3.1前根遍历 所谓前根遍历，就是根结点最先遍历，其次左子树，最后右子树。 1．递归遍历 前根遍历二叉树的递归遍历算法描述为： 若二叉树为空，则算法结束;否则 （1）输出根结点； （2）前根遍历左子树; （3）前根遍历右子树;

  41. 算法如下: void preorder(bitree *root) { bitree *p; p=root; if(p!=NULL) {cout<<p->data<<“ ”; preorder(p->lchild); preorder (p->rchild);} }

  42. 2．非递归遍历 利用一个一维数组作为栈，来存储二叉链表中结点，算法思想为： 从二叉树根结点开始，沿左子树一直走到末端(左孩子为空)为止，在走的过程中，访问所遇结点，并依次把所遇结点进栈，当左子树为空时，从栈顶退出某结点，并将指针指向该结点的右孩子。如此重复，直到栈为空或指针为空止。

  43. 算法如下： void preorder1(bitree *root) { bitree *p,*s[100]; int top=0; //top为栈顶指针 p=root; while((p!=NULL)||(top>0)) { while(p!=NULL) {cout<<p->data<<" "; s[++top]=p; p=p->lchild; } p=s[top--]; p=p->rchild; }}

  44. 6.3.2中根遍历 所谓中根遍历，就是根在中间，先左子树，然后根结点，最后右子树。 1．递归遍历 中根遍历二叉树的递归遍历算法描述为： 若二叉树为空，则算法结束；否则 ⑴中根遍历左子树; ⑵输出根结点; ⑶中根遍历右子树。

  45. 算法如下: void inorder(biteee *root) { bitree *p; p=root; if (p!=NULL) { inorder(p->lchild); cout<<p->data<<“ ”; inorder(p->rchild); } }

  46. 2．非递归遍历 同样利用一个一维数组作栈，来存贮二叉链表中结点，算法思想为： 从二叉树根结点开始，沿左子树一直走到末端(左孩子为空)为止，在走的过程中，把依次遇到的结点进栈,待左子树为空时,从栈中退出结点并访问,然后再转向它的右子树。如此重复，直到栈空或指针为空止。

  47. 算法如下: void inorder1( bitree *root) { bitree *p,*s[100]; //s为一个栈，top为栈顶指针 int top=0; p=root; while((p!=NULL)||(top>0)) { while(p!=NULL) {s[++top]=p;p=p->lchild;} {p=s[top--]; cout<<p->data<<" "; p=p->rchild; } }}

  48. 6.3.3 后根遍历 所谓后根遍历，就是根在最后，即先左子树，然后右子树，最后根结点。 1．递归遍历 后根遍历二叉树的递归遍历算法描述为： 若二叉树为空，则算法结束;否则 （1）后根遍历左子树: （2）后根遍历历子树; （3）访问根结点。

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