第 4 章 静态场分析

1. 第4章 静态场分析 静态场的工程应用 一、静态场特性 二、泊松方程和拉普拉斯方程 三、静态场的重要原理和定理 四、镜像法 五、分离变量法 六、复变函数法

2. 含石英硫酸盐矿 硫酸盐矿 石英 静态场的工程应用 喷墨打印机工作原理 选矿器

3. 均匀电场中带电粒子的轨迹 阴极射线示波器原理

4. 磁分离器 回旋加速器

5. 磁悬浮列车

6. 磁录音原理：

7. 一、静态场特性 • 静态场基本概念 • 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。 • 静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。 • 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。 • 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。 • 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。

8. 静态场的麦克斯韦方程组 • 静态场与时变场的最本质区别：静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。

9. 二、泊松方程和拉普拉斯方程 • 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 静电场基本方程 ——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。 ——泊松方程 无源区域 ——拉普拉斯方程

10. 恒定电场的拉普拉斯方程 恒定电场基本方程 ——导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场 ——拉普拉斯方程

11. 洛仑兹规范 • 恒定磁场的矢量泊松方程 恒定磁场基本方程 ——恒定磁场是无散有旋场。 ——矢量泊松方程

12. 在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，引入标量磁位 来表示磁场强度。即 分解 ——矢量拉普拉斯方程 ——标量拉普拉斯方程 注意： 标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无此限制。

13. 拉普拉斯算子 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系

14. 三、静态场的重要原理和定理 1. 对偶原理 (1)概念：如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的数学形式也将是相同的，这就是对偶原理，亦称为二重性原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶方程，在对偶方程中，处于同等地位的量称为对偶量。 (2)静电场与恒定电场 • 对偶方程 • 对偶量

15. (3)静电场与恒定磁场 • 对偶方程 • 对偶量 (4)有源情况下的对偶关系 • 对偶关系存在 • 不像上述两种情况那样一目了然 (5)应用 • 电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系， • 某些波导中横电波(TE波)和横磁波(TM波)间的对偶关系

16. 例1:已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和 ，如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 ，外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。 解：根据轴对称的特点和无限长的假设，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系 积分 由边界条件 则：

17. 例2:如图所示，在电缆中填充电导媒质，其他条件同“例1”，求: (1)内外导体间的电位及电场强度。(2)单位长度上该同轴线的漏电流。 解: (1)由于内、外导体的电导率很高，可以认为电力线仍和导体表面垂直，和静电场的边界条件一致，利用对偶原理，可以立即得到 (2)单位长度同轴线漏电流密度为 则漏电流为

18. 2. 叠加定理 • 若和 分别满足拉普拉斯方程，则 和的线性组合 必然满足拉普拉斯方程。 • 证明： 已知 和 满足拉普拉斯方程 所以： • 利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问题的组合，便于求解。

19. 3. 惟一性定理 • 边值问题的分类 • 狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值 • 聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 • 混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合 • 惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是惟一的。 • 用反证法可以证明。 • 惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。

20. 四、镜像法 • 镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。 • 理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。

21. 应注意的问题： • 镜像电荷位于待求场域边界之外。 • 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。 • 实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。

22. 导体平面 导体平面 • 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 待求场域：上半空间 边界： 无限大导体平面 边界条件： 在空间的电位为点电荷q和镜像电荷 -q所产生的电位叠加，即 导体平面边界上： 电位满足边界条件

23. 电位： 上半空间的电场强度：

24. 导体表面感应电荷 • 导体表面上感应电荷总量 • 导体表面上感应电荷对点电荷的作用力

25. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 • 将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为 • 待求场域 中的电位 • 上半空间的电场

26. 点电荷对无限大介质平面的镜像 设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边界条件。 当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′ 介质1中任一点的电位和电位移矢量分别为：

27. 当待求区域为介质2所在区域时， 设一镜像电荷q″位于区域1中，且位置与 q 重合，同时将整个空间视为均匀介质2。于是区域2中任一点的电位和电位移矢量分别为： 在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相等的边界条件：

28. 电介质中的电场分布：

29. 线电流对无限大磁介质平面的镜像 • 当计算上半空间的磁场时 • 可认为整个空间充满磁导率为μ1的磁介质，在下半空间有一镜像电流I′，与I关于分界面对称(如图所示)。上半空间任一点的磁场为 • 设想用镜像电流代替磁化电流的作用，并在界面上保持原有边界条件不变

30. 当计算下半空间磁场时 • 可认为整个空间充满磁导率为μ2的磁介质，在上半空间有一镜像电流I″，与电流I 位置重合(如图)。下半空间任一点的磁场为 • 在分界面(r = r′= r″)上，磁场满足边界条件：

31. (1) 当时 ， ，说明 与 方向相同， 与 方向相反。 (2) 当时 ， ，说明 与 方向相反， 与 方向相同。 (3) 当有限 时 ， ，此时铁磁质中 但 。 (4) 当有限 时 ， ，此时 中磁场 为原来的两倍。 讨论：

32. 上半空间的磁场： 当有限 时 ， 磁壁

33. 上半空间的磁场： 当有限 时 ，

34. 点电荷对半无限大接地导体角域的镜像 • 由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 为整数时，该角域中的点电荷将有个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解 • 当n=2时： • 该角域外有3个镜像电荷q1、 q2和q3，位置如图所示。其中

35. 角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。 • 当n=3时： • 角域夹角为π/n，n为整数时，有(2n－1)个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为 • n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。

36. 6.点电荷对导体球面的镜像 • 设一点电荷q位于半径 a 为的接地导体球附近，与球心的距离为d，如图所示。待求场域为r >a区域，边界条件为导体球面上电位为零。 • 设想在待求场域之外有一镜像电荷q′，位置如图所示。根据镜像法原理， q 和 q′在球面上的电位为零。

37. a a 点电荷与接地导体球周围的电场

38. 空间任意点 的电位： 在球面上任取一点c，则

39. a — a 导体球不接地：

40. 导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷 q″=－q′ 为了保证球面为等位面的条件，镜像电荷q″应位于球心处 。 球外任一点电位： 球面上任一点电位：

41. 例3： 有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2，与球心距离分别为d1和d2，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。 • 球壳外：边界为r = a2的导体球面，边界条件为 • 根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为 • 球壳外区域任一点电位为 解：

42. 球壳中： • 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。 • 球壳内：边界为r = a1的导体球面，边界条件为 • 根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为 • 球壳内区域任一点电位为 • 用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界以外的情况不予考虑。

43. 线电荷对导体圆柱面的镜像 • 待求区域： • 边界条件：柱面上电位为零 • 设想镜像线电荷 位于对称面上，且与圆柱轴线距离为b，则导体柱面上任一点的电位表示为 其中：

44. 在柱面上取两个特殊点M和N，则 两平行线电荷的电位分布 空间电位为： 其中：

45. 带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像 • 设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为 和 ，其位置如图所示。 • 其等位面是许多圆柱面，若让其中两个等位面分别与两圆柱面重合，即满足两导体柱面为等位面的边界条件。根据惟一性定理，待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生。

46. 两电轴在空间产生的电位为 等位面方程为 • 通常把这两个等效的线电荷称为电轴，该方法也称为电轴法

47. 例4：图为一偏心电缆，内导体半径为a，外导体半径为b，两几何轴线间距离为d，求两等效电轴的位置。例4：图为一偏心电缆，内导体半径为a，外导体半径为b，两几何轴线间距离为d，求两等效电轴的位置。 • 只要能求出假想电轴的位置，使两个导体圆柱面分别和电场中两个等位面重合，就满足了导电圆柱面为等位面的边界条件。 • 根据电轴法 • 两等效电轴的位置分别位于（c，0）和（－c，0）处。

48. 五、分离变量法 • 理论基础 • 惟一性定理 • 分离变量法的主要步骤 • 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。 • 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。 • 利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。

49. 直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法 • 本征方程的求解 (1)当 时 • 本征函数 • 本征方程 • 本征值

50. (2)当 时，设 由 本征方程为： 或 则：