סיבוכיות תירגול 1

1. סיבוכיות תירגול 1

2. פונקציות סיבוכיות הגדרה: זמן הריצה של אלגוריתם הוא פונקציה כ"ש לכל קלט באורך האלגוריתם מבצע לכל היותר צעדים הגדרות: יהיו אזימתקיים ש:

3. פונקציות סיבוכיות תרגיל:הוכח פתרון:נראה 1) 2) 1) ומתקיים הנדרש עבור

4. פונקציות סיבוכיות 2) עבור מתקיים לכן עבור : ומתקיים הנדרש עבור

5. מכונות טיורינג הגדרה:מכונת טיורינג מורכבת מסרט ממנו ניתן לקרוא ולכתוב תוים, ראש קורא/כותב, ומערכת חישובית שפועלת לפי הסרט. פורמלית, מכונת טיורינג היא שביעייה: א"ב של השפה (קלט) א"ב של ( ) קבוצת המצבים הפנימיים פונקציית מעבר מצב התחלתי מצב מקבל מצב דוחה

6. מכונות טיורינג תחילת ריצה: סרט המכונה מכיל את הקלט ולאחריו תאים ריקים. הראש הקורא/כותב נמצא בתחילת הסרט. המצב הפנימי הוא המצב ההתחלתי. מעבר:פונקציית המעבר מקבלת כקלט את התו שנמצא מתחת לראש ואת המצב הפנימי הנוכחי. הפונקציה מוציאה כפלט את התו שייכתב מתחת לראש, את המצב הפנימי החדש, ואת הכיוון אליו יזוז הראש. סיום ריצה: אם המכונה מגיעה למצב מקבל , היא עוצרת ומקבלת. אם המכונה מגיעה למצב דוחה, היא עוצרת ודוחה.

7. מכונות טיורינג הגדרות: מ"ט מכריעה (decides) שפה אם לכל : מקבלת את . דוחה את. מ"ט מזהה (recognizes) שפהאםלכל: מקבלת את . דוחה אתאו לא עוצרת.

8. מכונות טיורינג תרגיל:תהי שפת הפלינדרומים. צריך ליבנות מ"ט שמכריעה את . פתרון: נראה פתרון של אלגוריתם ותרשים מעבר מצבים. אלגוריתם: קרא וזכור את התו שבתא הראשון בסרט, ואז מחק אותו. עבור על הסרט עד הגעה לתא האחרון בסרט שאינו ריק. אם התו שונה מהתו שזכרת, דחה. אחרת, מחק התא הנוכחי, חזור לתא הראשון בסרט שאינו ריק, וחזור על התהליך. אם במהלך הריצה מחפשים תא לא ריק ואין כזה (הסרט ריק או מכיל תו בודד), קבל. סיבוכיות זמן ריצה: סיבוכיות מקום:

9. מכונות טיורינג (פלינדרום זוגי) תרשים מעבר מצבים: qacc q0 q1 q4 (פלינדרום אי-זוגי) (פלינדרום אי-זוגי) qcc qacc q2 q5 qrej qrej q3

10. מחלקות סיבוכיות P מחלקת השפות שניתנות להכרעה ע"י מכונת טיורינג בזמן פולינומיאלי. דוגמאות לשפות ב : • כל שפה סופית • שפת הפלינדרומים • גרפים וזוג קודקודים כ"ש קיים מסלול ביןל . • גרפים שקיימת בהם קליקה בגודל - עבור קבוע.

11. מחלקות סיבוכיות חישוב א-דטרמיניסטי למכונת טיורינג דטרמיניסטית יש פונקציית מעבר המוגדרת: למכונת טיורינג א-דטרמיניסטיות יש פונקציית מעבר המוגדרת:

12. מחלקות סיבוכיות מ"ט דטרמיניסטית: q2 q4

13. מחלקות סיבוכיות מ"ט א-דטרמיניסטית: q2 q4 q3

14. מחלקות סיבוכיות NP(הגדרה ע"י חישוב א-דטרמיניסטי) מחלקת השפות שניתנות להכרעה ע"י מכונת טיורינג א-דטרמיניסטית בזמן פולינומיאלי. חישוב א-דטרמיניסטי הוא לא חישוב אקראי. ניתן לחשוב על כך כאילו המכונה "מנחשת" את הצעד הנכון מבין הצעדים האפשריים. הגדרה: מ"ט א"ד מכריעה שפה אםלכל היא עוצרת ו: קיים מסלול חישוב שבסופו מקבלת את .

15. מחלקות סיבוכיות NP(הגדרה ע"י עד מוודא) מחלקת השפות שניתן לוודא ע"י מכונת טיורינג דטרמיניסטית בזמן פולינומיאלי. מ"ט מוודאת שפה אם לכל היא עוצרת ו: קיים עד (תלוי ב ) כ"ש מקבלת.

16. מחלקות סיבוכיות דוגמאות לשפות ב : • כל שפה שנמצאת ב . • גרפים שקיים בהם מעגל המילטוני. • גרפים שקיימת בהם קליקה בגודל - ללא הגבלה על גודל .

17. מחלקות סיבוכיות משפט:שתי ההגדרות שראינו ל שקולות פתרון:נראה 1) 2) 1) נניח שקיימת ולכל בשפה קיים לפי ההגדרה, ונראה את : בוחרת באופן א"ד מחרוזת. מריצה את עם הקלט ,ומקבלת אמ"ם ריצה זו קיבלה. נכונות: מקבלת קיים בריצת מסלול מקבל קיים כ"ש מקבלת

18. מחלקות סיבוכיות 2) נניח שקיימת שמכריעה את ונראה את : מריצה את על במסלול שמוכתב ע"י ,ומקבלת אמ"ם ריצה זו קיבלה. נכונות: קיים כ"ש מקבלת קיים בריצת מסלול מקבל