MODULO I

1. MODULO I ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES El estudio de los sistemas de Ecuaciones Lineales y sus soluciones es uno de los temas mas importantes del Algebra Lineal. Una recta en el plano x,y puede representarse algebraicamente por una ecuación de la forma: Este tipo de ecuaciones se denomina ecuación lineal en las variables x e y . Las variables en una ecuación lineal se denominan incógnitas De una manera mas general en n variables se puede representar como: En este Curso nos limitaremos al estudio de Ecuaciones Lineales en dos dimensiones, es decir en el plano.

3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un conjunto de ecuaciones lineales en las variables x e y se denomina Sistema de Ecuaciones Lineales, para el cual existe una sucesión de números que se denomina solución del sistema. Las letras utilizadas en este tipo de ecuaciones tienen el siguiente significado: Constantes arbitrarias Incógnitas El siguiente sistema no tiene una solución: Ya que dividimos la segunda ecuación por 2 tendremos

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Que evidentemente esta compuesto por ecuaciones contradictorias. Como hemos visto las graficas de estas ecuaciones son rectas todo punto del plano se encuentra sobre cada recta si o si los números y satisfacen la ecuación de la recta. Los casos que pueden presentarse son los siguientes: Las rectas son paralelas( no se cortan) y el sistema no tiene solución. Las rectas se cortan y tienen una única solución. Las rectas coinciden y por lo tanto existen infinitas soluciones.

5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La primer figura representa el primer caso (no hay solución) La segunda es el caso mas importante y la que prestaremos mas atención

6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ahora entraremos directamente en la metodología para resolver los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas que como se vera mas adelante tiene aplicación practica en el Modelado del par de cobre. Antes que nada hay que definir una estructura nueva y que denomina determinante. En el siguiente sistema: Podemos considerar el conjunto de números formados por las constantes del mismo de la siguiente manera:

7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Esto también puede escribirse como: D= = Entonces D es denominado determinante de segundo orden. Con esta introducción podemos ahora analizar un sistema de ecuaciones lineales como el anterior:

8. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Si multiplicamos la primer ecuación por d y la siguiente por -b y sumamos ambas ecuaciones tendremos: De aquí: Si ahora multiplicamos la primer ecuación por –c y la segunda por a y nuevamente las sumamos:

9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ese conjunto de números se denomina determinante y puede simbolizarse de la siguiente manera: En realidad lo que tenemos es el cociente de dos determinantes. Para la incógnita En el numerador el determinante compuesto en la primera columna por los coeficientes del lado derecho del sistema de ecuaciones Y en la segunda columna por los coeficientes de la incógnita Como denominador el definido Determinante del Sistema (D). El mismo procedimiento para la otra incógnita

10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Si en la ecuación anterior los coeficientes son nulos se tiene: El sistema de ecuaciones se dice que es homogéneo. Se presentan dos casos posibles: D≠0

11. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES b) D=0 Si suponemos que por lo menos uno de los coeficientes es distinto de cero. Por ejemplo a≠0 Reemplazamos este valor en la segunda de las ecuaciones: Y sacando factor común

12. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES El método anterior de calculo se denomina Regla de Cramer.Este método puede extenderse a determinantes de n dimensiones. Siendo el orden de un determinante el numero de filas o columnas del mismo. =

13. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Volvamos ahora a los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. La notación empleada es la siguiente para un sistema de ecuaciones lineales de 3 dimensiones: Este sistema puede también denotarse por:

14. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Analizamos ahora otra manera de resolver estos sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. El método se conoce como Método de Triangulacion: Ahora multiplicamos la primera ecuación (fila 1) por -2 y la sumamos a la segunda:

15. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Si ahora multiplicamos la primera ecuación por -1 y la sumamos a la tercera tendremos: Dividamos la segunda ecuación por 3 y obtendremos:

16. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Multipliquemos ahora la segunda ecuación por 3 y se la sumamos a la tercera resultando: De aquí se puede despejar de la tercera ecuación y tendremos: Reemplazamos el valor obtenido de en la segunda ecuación:

17. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Finalmente reemplazamos en la primera ecuación los valores encontrados para las incógnitas , de esta manera obtendremos finalmente : Es decir que la solución del sistema que ha sido encontrar los valores de las primitivas incógnitas será :

18. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ahora como aplicación practica se debe resolver los siguientes ejercicios: Evaluar el siguiente Determinante: Demuestran que el siguiente Determinante tiene el siguiente valor:

19. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Resolver el siguiente sistema por el Método Triangulacion:

20. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS Consideremos ahora la siguiente red de cuatro terminales (cuadripolo) que puede fácilmente representar un circuito telefónico:

21. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS La descripción de los parámetros que aparecen en la ecuación anterior son los siguientes: Tensión de entrada: Corriente de entrada: Tensión de salida: Corriente de salida: Los parámetros A,B,C y D son en general números complejos .A y D son adimensionales,mientras que B tiene la dimensión de una Impedancia y C la de una -admitancia

22. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS Reemplacemos en la segunda ecuación este valor: Agrupando términos:

23. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS Podemos representar estas ecuaciones en notación matricial:

24. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS Si a la ecuación anterior la dividimos por B: Lo que aquí tenemos representado es una ecuación que pone las corrientes en función de las tensiones.

25. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS Representación esquemática de un bucle de abonado para líneas ADSL

26. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS

27. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS

28. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS a par trenzado americano de diámetro 0,405 mm. b par trenzado americano de diámetro 0,51 mm. c cable de distribución de British Telecom de 0,5 mm de diámetro. d cable de bajada reforzado de British Telecom de 0,5mm de diámetro y aislado con PVC. e cable de bajada plano (no trenzado) de 1,14 mm. de diámetro.

29. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS

30. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS Utilizando las expresiones para la Impedancia Característica y la Constante de Propagación anteriores ,calcular los siguientes elementos de la Matriz de Transmisión: Considerar

31. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS El vector resultante de la suma de los tres vectores es:

32. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS Se denomina impedancia del circuito al término: de modo que se cumpla una relación análoga a la de los circuitos de corriente continua: V0=I0·Z.

33. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS El ángulo que forma el vector resultante de longitud V0 con el vector que representa la intensidad I0es: Las expresiones de la fem y de la intensidad del circuito son: La intensidad de la corriente en el circuito está atrasada un ángulo j respecto de la fem que suministra el generador.

34. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS Ley de Nodos de Kirchof En cualquier nodo, y la suma de todos los nodos y la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De igual forma, La suma algebraica de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero.

35. APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS Ley de las Tensiones de Kirchoff En toda malla la suma de todas las caídas de tensión es igual a la tensión total suministrada. De forma equivalente, En toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico es igual a cero.