尤度・尤度比・事前確率

1. 尤度・尤度比・事前確率 法数学勉強会(京大法医学講座) 2012/02/18 京都大学　統計遺伝学 山田

2. 臨床検査と尤度・尤度比 検査値が高いと「病気である」と診断 検査値が低いと「病気ではない」と診断

3. 病気Ｘの診断をするために検査Ｔを実施する • a/s : 病気であるときの検査の陽性率(感度) • d/t : 病気でないときの検査の陰性率(特異度) • a/u : 検査が陽性のときに病気である確率(PPV) • d/v : 検査が陰性のときに病気でない確率(NPV) • s : 対象集団のうちの病気である割合(病気である事前確率) • t : 対象集団のうちの病気でない割合(病気でない事前確率)

4. 受診した、検査した • 検査が陽性だった • 病気であったとしたら a/s の確率で陽性になる • 感度 • 病気であるという仮説の下での尤度 • 病気でなかったとしたら c/t の確率で陽性になる • 1-特異度 • 病気でないという仮説の下での尤度 • 尤度の比 • (a/s) / (c/t) = (at)/(cs) • 病気である・病気でない　の事前確率を等しいとした場合

5. 検査した、診断する • 検査が陽性だった • 病気である確率はa/u • 「Xであると診断」する確率 • PPV • 病気でない確率は 1-a/u=c/u • 「Xではないと診断」する確率 • 1-PPV

6. 検査した、診断する • 検査が陽性だった • 病気である確率はa/u • 病気でない確率は 1-a/u=c/u • 比をとる　→　尤度比 • a/c =(s x a/s) / (t x c/t) • s x a/s : (病気である事前確率) x (病気である仮説での尤度) • t x c/t : (病気でない事前確率)x (病気でない仮説での尤度) • 事前確率を持ち込んだ尤度比 • 事前確率を等しいとした尤度比は • (a/s) / (c/t)

7. ２つの診断 • 高いPPV: a/u • 「病気Xです」と診断 • 『ルール・インする』 • 高いNPV : d/v • 「病気Xではないです」と診断 • 『ルール・アウトする』

8. 病気Ｘの診断をするために検査Ｔを実施する

9. Aさんが、夫婦Xの子xであるかどうか A x

10. Aさんが、夫婦Xの子xであるかどうか • a/s, b/s は計算できる　→　感度の計算が可能 • c/t, d/t も計算できる　 →　特異度の計算が可能 • 尤度比　(a/s)/(c/t) は計算できる • 判断のためのPPV,NPVはs,t(事前確率)を与えないと計算できない x A

11. ２つの判定 • AさんはX夫婦の子供である • PPV : a/u で判断 • AさんはX夫婦の子供ではない • NPV : d/v で判断 x A

12. 判定例 • xのDNAが得られている場合 • a=s, b=0 • Aさんのジェノタイプがxさんのそれと一致すれば • PPV : a/u = s/u = s/(s+ct) で「A=x」と判断 • Aさんのジェノタイプがxさんのそれと一致しなければ • NPV : d/v = d/d = 1 で「Aさん以外の人がxである～Aさんはxではない」と判断 • 事前確率s,tによらない x A

13. 判定例　２ • xのDNAが得られていない場合 • a/s はそこそこ小さく、b/sはそれなりに大きい • c/t はかなりちいさく、d/t はそれなりに大きい • PPV は大きくなりえるが • Aさんがxさんであるという判定はできるが • NPV は大きくなりにくい • Aさんがxさんではない、という判定は難しい x A

14. どれくらいのPPVが必要？ • PPV : a/u(事前確率込み)

15. 診断する、治療する • 診断名の重みで必要なPPV, NPVが変わる • 治療の判断は、診断があいまいなまま、行える(行う) • 心筋梗塞 • PPVが低くても、酸素投与は開始する • 急性腹症 • それなりに高いPPVが出れば、開腹手術してみてから診断が確定することもある（試験開腹） • 肺がん • 片肺摘出は「確定診断」がついてから

16. PPVの大きさの基準は判断後の行動が左右する • DNA鑑定という判断後の行動とは？ • 「親子なのか、そうでないのか」 • 「犯人なのか、そうでないのか」 • どのレベル？ • 酸素吸入？ • 試験開腹？ • 肺切除？

17. もう少し臨床診断に即して考えてみる

18. 臨床診断 • H1:「Aさんは病気Xである」 • H2:「Aさんは病気Xではない」 • 仮説は２つしかない • Ω • 尤度とその比 • 事前確率を均等に • (a/s) / (c/t) = (at)/(cs) • 事前確率を持ち込んで • a/c =(s x a/s) / (t x c/t)

19. 少し複雑にする

20. AさんとBさんとが受診した • H1:「Aさんが病気Ｘ、Bさんも病気X」 • H2:「Aさんは病気X、Bさんは病気Xではない」 • H3:「Aさんは病気Xではない、Bさんは病気X」 • H4:「Aさんは病気Xではなく、Bさんも病気Xではない」 • 事前確率は？ • H1=H2=H3=H4=1/4 ?? • H1=ss,H2=H3=st,H4=tt ??

21. Aさんは男、Bさんは女 • 事前確率は • H1=ss’, H2=st’, H3=s’t, H4=tt’

22. Aさんが受診した病気Xの検査Txと病気Yの検査TyAさんが受診した病気Xの検査Txと病気Yの検査Ty • H1:「Aさんが病気Ｘであり、病気Yでもある」 • H2:「Aさんは病気Xであり、病気Yではない」 • H3:「Aさんは病気Xではなく、病気Yである」 • H4:「Aさんは病気Xではなく、病気Yでもない」 • 事前確率は？ • H1,H2,H3,H4

23. Aさんが受診した病気Xの検査Txと病気Yの検査TyAさんが受診した病気Xの検査Txと病気Yの検査Ty

24. Aさんが受診した病気Xの検査Txと病気Yの検査TyAさんが受診した病気Xの検査Txと病気Yの検査Ty • XとYとは紛らわしい病気 • XとYとの両方ということはない • H1:「Aさんが病気Ｘであり、病気Yでもある」 • H2:「Aさんは病気Xであり、病気Yではない」 • H3:「Aさんは病気Xではなく、病気Yである」 • H4:「Aさんは病気Xではなく、病気Yでもない」 • 事前確率は • H1 : H2 : H3 : H4 = 0 : st’ : s’t : tt’

25. Aさん、Bさん、２人のXの診断は独立して下したAさん、Bさん、２人のXの診断は独立して下した • ２人のための確率計算表は異なった • １人の人に考えられる複数の診断名は相互に独立していなかった • 事前確率が0の仮説があった

26. DNA鑑定という判断 • いくつかの例を

27. 取り違え事件 • 夫婦Xの子x • 夫婦Yの子y • 親がわからなくなった子供AとB

28. 個人識別のためのテスト • xさん/yさんのジェノタイプは確率的に予想される

29. 取り違え事件 • 夫婦Xの子x • 夫婦Yの子y • 子供AとB

30. 取り違え事件 • 夫婦Xの子x • 夫婦Yの子y • 子供AとB • 事前確率は • H1 = H4 = 0 • H2=H3 = 0.5 『割り付け』するときには あり得ない仮説がある

31. 事前確率は • H1 = H4 = 0 • H2=H3 = 0.5 取り違え事件 • 事前確率込みの尤度の比較 • H1 = 0 • H2 = P(A=x)P(B=y) • H3 = P(A=y)P(B=x) • H4 = 0

32. 事前確率は • H1 = H4 = 0 • H2=H3 = 0.5 取り違え事件 • 事前確率込みの尤度の比較 • H1 = 0 • H2 = P(A=x)P(B=y) • H3 = P(A=y)P(B=x) • H4 = 0 • 尤度比としていくつが適当？

33. PPVの大きさの基準は判断後の行動が左右する • DNA鑑定という判断後の行動とは？ • 「親子なのか、そうでないのか」 • 「犯人なのか、そうでないのか」 • どのレベル？ • 酸素吸入？ • 試験開腹？ • 肺切除？

34. 事前確率は • H1 = H4 = 0 • H2=H3 = 0.5 取り違え事件 • 事前確率込みの尤度の比較 • H1 = 0 • H2 = P(A=x)P(B=y) • H3 = P(A=y)P(B=x) • H4 = 0 • 尤度比としていくつが適当？ • P(A=x)P(B=y) : P(A=y)P(B=x) • 自分なら、いくつの値で決断するか • 決断に困ったら・・・現実的に考えるために • 「値段で考えてみる」というのも一つのやり方 • 尤度比１００なら１０万円 • 尤度比１０００なら１００万円 • 尤度比１００００なら１０００万円 • 尤度比１０００００なら１億円・・・かかるとしたら、どこで手を打つ？

35. 取り違え大事件 • 夫婦X1の子x1 • 夫婦X2の子x2 • ...全部でN夫婦のN人の子 • 親がわからなくなった子供A1,...,AN

36. 個人識別のためのテスト • xiさんのジェノタイプは確率的に予想される

37. いろんな割り付けがある • A1=x1 A2=x1　のような割り付けは許されないので、書くのを省略する • 許されない割り付けを書かないのは、『事前確率が０だから』

38. どの割り付けが最も適当か？ • Xi = Ajであるかどうかの判断はどうしたらよいか • 大規模災害時の割り付け問題(前回・前々回の話)

39. 取り違え大事件 • L1=尤度(Ai = xj, あとの組合せはなんでもあり) • L2=尤度(Ai != xj, あとの組合せは相変わらず何でもあり) • L1 : L2 尤度比としていくつが適当？ • N人のうち、xjである尤度が一番大きく、それ以外の尤度のすべてを併せたものと比べて、Ｌ倍だったら、信じよう • どれくらいの　Ｌ　が必要？

40. PPVの大きさの基準は判断後の行動が左右する • 「取り違え事件」と「取り違え大事件」とでは、判断後の行動は同じなのでは？

41. 取り違え大事件 • 判断後の行動が同じなら、 • Ｌ　は同じでよいのでは？？

42. 島の子ザル • 絶海の孤島 • ボス(雄)ザルが倒れ序列が崩壊 • Ｎ頭の雄ザル • １頭だけ、『血統書付き』 • １頭の雌ザルから１頭の子ザルが生まれた • 父ザルは『血統書付き』か否か！

43. 島の子ザル • 雄ザルのDNA • 『血統書付き』の雄ザルのDNAはある • それ以外はマーカーの『頻度』だけ • 事前確率 • すべての雄ザルが1/N

44. 島の子ザル • 雄ザル • S1,S2,...,SN • S 1:血統書付き • 尤度比 • p(1) : (N-1)p(2)

45. 島の子ザル • 雄ザル • 個体別の尤度比 • p(1) : p(2) • 個体別の尤度比として、どれくらいの大きさで納得するか • 「取り違え事件」の1/N ?

46. 島の子ザル • 実は • すべての雄ザルと雌ザルには「ＧＰＳ」がつけられていて、「近くに居た時間」が計測されていた！ • 近くに居た時間に比例して『事前確率』を変更しよう！ GPS搭載のウミガメ

47. 父親鑑定

48. 島の子ザル • 絶海の孤島 • ボス(雄)ザルが倒れ序列が崩壊 • Ｎ頭の雄ザル • １頭だけ、『血統書付き』 • １頭の雌ザルから１頭の子ザルが生まれた • 父ザルは『血統書付き』か否か！

49. 日本列島の子 • 絶海の孤島 • Ｎ人の候補者 • １人だけ、『お墨（戸籍）付き』 • 父親は『お墨付き』か否か！

50. 日本列島の子 • 候補者のDNA • 『お墨付き』候補者のDNAはある • それ以外はマーカーの『頻度』だけ • 事前確率 • すべての候補者が 1/N ??? • N • ～5000万(半数) ？ • ～4000万(成人男性)　？