四、平行轴定理

四、平行轴定理 前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：这个结论称为平行轴定理。

例：右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球体半径为R）例：右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球体半径为R）解：棒绕zz’轴的转动惯量：球体绕球心O的转动惯量：利用平行轴定理：作业： P150 4-8 4-9

M m 五、刚体定轴转动的转动定律的应用例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。解：如图所示，M、m的受力图得知：

F 0 例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大？

N fr 0  解：飞轮制动时有角加速度外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。

x O  X dm dmg 例3、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，重力矩为：

xc O  X dm C dmg mg 重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。

作业：P151 4-10 4-14

设质量为m的质点在时刻t以速度 运动，它对所取参考点O的角动量定义： §4-3 角动量、角动量守恒定律～讨论力矩对时间的累积作用，得出角动量定理和角动量守恒定律。一、质点的角动量定理和角动量守恒定律 1、质点的角动量其方向：右手法则确定；大小：

例：若质点在半径为r的圆周上运动，在某一时刻，质点位于点A速度为 。以圆心0为参考点，那么，注意：质点的角动量是与位矢、动量、参考点0的选择有关。因此在讲述质点的角动量时，必须指明是对哪一点的角动量。质点绕oz轴做圆周运动角动量为：

设质量为m的质点，在合外力 作用下，其运动方程为：质点对参考点O的位矢为，故以叉乘上式两边，有： 2、质点的角动量定理～质点的角动量定义、牛顿定律导出。因为：其中：所以：

合力对参考点0的合力矩： 力矩与作用时间的乘积，叫做冲量矩～作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率。这与牛顿第二定律在形式上是相似的，上式还可写成：～质点的角动量定理

若质点所受合力矩为零，即，则有： 注意：有两种情况：① ② 单位：千克二次方米每秒；通过参考点O，即量纲：。质点的角动量定理：对同一参考点0，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。 3、质点的角动量守恒定律当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点O的角动量为一恒矢量。～质点的角动量守恒定律

转动平面 转轴角速度刚体上任一质点转轴与其转动平面交点绕圆周运动半径为对的角动量：即二、刚体的角动量定理和角动量守恒定律 1. 定轴转动刚体的角动量

定义：质点对 点的角动量的大小，称为质点对转轴的角动量。 (1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不同的圆周运动； (2) 各质点的角速度大小相等，且均沿轴向。式中～刚体对轴的转动惯量刚体定轴转动的特点：刚体对 z轴的总角动量为：

对个质点组成的质点系，由 2、刚体的角动量定理可得两边求和得

注意：合外力矩 是质点系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。由图可知于是：质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和 (合外力矩 )

对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累效果，称为冲量矩对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累效果，称为冲量矩右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。在定轴转动中，可用标量表示：刚体定轴转动的转动定律实质是角动量定理的沿固定轴方向的分量式的一种特殊形式。积分：～当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。叫做角动量定理

有两种情况：① ② 通过参考点O，即但它与轴平行，对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。 J不变时, J也改变时, 3、角动量守恒定律 L不变的含义为：刚体：J不变非刚体：J不变注意：

例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为 ,质量为。解:以代表棒对子弹的阻力,对子弹有: 因, 由两式得子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：

例2.已知：两平行圆柱在水平面内转动， 求：接触且无相对滑动时 .o1 m1 R1 o2. .o2 o1. m2 R2

接触点无相对滑动： f1 F2 o2 o1. F1 f2 解一：因摩擦力为内力，外力过轴，外力矩为零，则：J1 + J2 系统角动量守恒，以顺时针方向为正：又：联立1、2、3、4式求解，对不对？

f1 F2 o2 o1. F1 f2 问题：(1) 式中各角量是否对同轴而言？ (2) J1 +J2系统角动量是否守恒？分别以m1 , m2为研究对象，受力如图：系统角动量不守恒！解二：分别对m1 , m2 用角动量定理列方程设：f1 = f2 = f ，以顺时针方向为正

接触点： m1对o1 轴： m2对o2 轴：联立各式解得：作业： P152 4-17

F v  P dr d r O  x §4-4 力矩作功刚体绕定轴转动的动能定理一、力矩作功称为力矩的功。力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。

①如果力矩的大小和方向都不变，则 即恒力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于力矩的大小与转过的角度的乘积。 ②如果作用在绕定轴转动的刚体上的力矩是变化的，则二、力矩的功率设刚体在恒力矩作用下绕定轴转动时，则力矩的功率：

三、转动动能 刚体上所有质元的动能之和为：即刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度二次方的乘积的一半。四、刚体绕定轴转动的动能定理将定轴转动的转动定律两边乘以d再同时对积分，有:

上式即为： 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。这个结论称为定轴转动的动能定理。

h m m hi C hc O x 五、刚体的重力势能一个质元：整个刚体：一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。六、机械能守恒对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。

P139 表4-3 质点运动与刚体定轴转动对照表

M T m mg 例1.(P137 例1)一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？解：解得：

例2.(P138 例2）一长为l，质量为M的杆可饶支点o自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。 o 解：系统：杆、子弹，角动量守恒： 30° a l v 系统机械能守恒：

c l hc l m h=3h0/2 ho h’ (2) (1) 例3.如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度ho ，令它自静止状态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h 。解:碰撞前单摆摆锤的速度为:

① ② 令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v＇。由角动量守恒，有在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的: 二式联立解得：按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度为而杆的质心达到的高度满足: 得: 作业： P153 4-23 4-28

§4-5 刚体的平面平行运动 一、定义：刚体的质心被限制在一平面上运动，则这种刚体的运动就称为刚体的平面平行运动。二、研究方法：刚体运动：质心的平动、刚体绕质心的转动的合成。 ①质心的平动： ②刚体绕质心的转动： ③刚体的动能：刚体绕质心的转动动能刚体质心的平动动能 ④刚体的势能视为是质心的势能，即：

解1 用转动定律求解：作用在圆盘上的力有重力和绳索的张力 ,建立坐标。例1(P140)一绳索缠绕在半径为R、质量为m的均匀圆盘的圆周上，绳的另一端悬挂在天花板上(图4-32)。设绳的质量忽略不计，求：(1)圆盘质心的加速度；(2)绳的张力。 ①质心的平动：圆盘质心相对天花板的加速度 ②刚体绕质心的转动：通过圆盘质心的转轴的角加速度 ③圆盘滚动时，绳索相对于圆盘质心的加速度：

代入上式： 即：所以：解1 用功能原理求解：系统：绳索、圆盘、地球。系统满足机械能守恒定律，有：对t求导，有：其中：作业： P155 4-34 且：

形成三大理论体系 1. 机械运动:以牛顿定律和万有引力定律为基础的经典力学 2. 电磁运动:以麦克斯韦方程组为基础的经典电磁学 3. 热运动：以热力学三定律为基础的热力学宏观理论分子热运动为基础的统计物理学微观理论 §4-6 经典力学的成就和局限性经典物理：伽利略时期～19世纪末经过300年发展，到达全盛的“黄金时代” 在牛顿定律基础上建立的力学理论体系称为牛顿力学或经典力学。

成就： ①质点力学和刚体力学流体力学、弹性力学、结构力学等多门工程力学学科均属于牛顿力学或经典力学的范畴。 ②经典力学是物理学中较早地发展成为理论严密、体系完整、应用广泛的一门学科，并且还是经典电磁学和经典统计力学的基础。 ③促进了蒸汽机和电机的发明，为产业革命和电力技术革命奠定了基础。 ④科学技术的发展，如智能技术、信息技术、材料科学、生命科学等技术，经典力学还是极为重要的基础之一。 ⑤可以肯定，在科学技术今后的发展中，它仍将发挥其不可替代的作用。

物理学家感到自豪而满足，两个事例： 在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只要做一些零碎的修补工作就行了。也就是在测量数据的小数点后面添加几位有效数字而已。 ——开尔芬（1899年除夕）理论物理实际上已经完成了，所有的微分方程都已经解出，青年人不值得选择一种将来不会有任何发展的事去做。 ——约利致普朗克的信局限性：正当物理学家们为经典物理学的成就感到满意的时候，一些新的实验事实却给经典物理学以有力的冲击，这些冲击主要来自以下三个方面。

①1887年的迈克耳孙—莫雷实验否定了绝对参考系的存在；①1887年的迈克耳孙—莫雷实验否定了绝对参考系的存在； ②1900年瑞利和金斯用经典的能量均分定理来说明热辐射现象时，出现了所谓的“紫外灾难”； ③1896年贝克勒尔首次发现放射性现象，说明原子不是物质的基本单元，原子是可分的。经典物理理论无法对这些新的实验结果作出正确的解释，从而使经典物理处于非常困难的境地，也使一些物理学家深感困惑。 1905年爱因斯坦建立了狭义相对论、1925年前后建立了量子理论对实验结果作出正确的解释。一、经典力学只适用于处理物体的低速运动问题，而不能用于处理高速运动问题

P 与重合时， 1.牛顿力学的相对性原理和伽利略变换研究的问题: 在两个惯性系中考察同一物理事件实验室参考系运动参考系牛顿力学的绝对时空：长度和时间的测量与参照系无关。问题：在不同的惯性系中，考察同一物理事件。开始两个参考系对表

正变换 逆变换正变换逆变换（一）伽利略变换Galilean transformation t时刻，物体到达P点分量式速度变换

加速度变换 正变换逆变换惯性系在两个惯性系中（二）牛顿的相对性原理 Newton Principle of relativity 牛顿力学中：相互作用是客观的，分析力与参考系无关。质量的测量与运动无关。

带电粒子受力： 电场力洛仑兹力与参照系无关宏观低速物体的力学规律在任何惯性系中形式相同。或牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变。或牛顿力学规律是伽利略不变式。牛顿力学的困难： 1) 电磁场方程组不服从伽利略变换 2) 光速C —在哪个参考系中测的? 3) 高速运动的粒子 1. 伽利略变换不是经典电磁定律的对称操作

洛仑兹力： 垂直于决定的平面由经典电磁理论与参考系选择无关因速度与参考系有关，所以经伽利略变换后洛仑兹力将发生变化，经典电磁定律不具有伽利略变换的不变性。推广：一切与速度有关的力都不具有伽利略变换的不变性。 2. 与高速运动(光的传播)的实验结果不符真空中的光速： c 由伽利略变换速度与参考系选择有关。

彼此矛盾！ 实验检验：双星观察实验枪沿圆周运动，并以恒定速率 u 发射子弹。观察者接收到的子弹密度会呈周期性变化。对双星星光的观测，没有类似结果！光速与光发射体的运动无关，不遵从伽利略变换。

相对性原理的普遍性（对称性） 伽利略变换（经典力学）三者无法协调电磁学定律解决困难的途径： ①否定相对性原理的普遍性，承认惯性系对电磁学定律不等价，寻找电磁学定律在其中成立的特殊惯性系。 ②改造电磁学理论，重建具有对伽利略变换不变性的电磁学定律。 ③重新定位伽利略变换，改造经典力学，寻求对电磁理论和改造后的力学定律均为对称操作的“新变换”。 ①②无一例外遭到失败，爱因斯坦选择③取得成功。

爱因斯坦的选择来自坚定的信念： 自然的设计是对称的，不仅力学规律在所有的惯性系中有相同的数学形式，所有的物理规律都应与惯性系的选择无关。实验结果说明，在所有惯性系中，真空中的光速恒为c ，伽利略变换以及导致伽利略变换的牛顿绝对时空观有问题，必须寻找新的变换，建立新的时空观。 • “爱因斯坦把方法倒了过来，他不是从已知的方程组出发去证明协变性是存在的，而是把协变性应当存在这一点作为假设提出来，并且用它演绎出方程组应有的形式。” • ———洛仑兹

爱因斯坦1931年会见迈克尔孙 “我尊敬的迈克尔孙博士，您开始工作时，我还是个孩子，只有1米高，正是您将物理学家引向新的道路，通过您精湛的实验工作，铺平了相对论发展的道路，您揭示了光以太的隐患，激发了洛仑兹和菲兹杰诺的思想，狭义相对论正是由此发展而来的。没有您的工作，相对论今天顶多也只是一个有趣的猜想，您的验证使之得到最初的实验基础。” “我的实验竟然对相对论这个怪物的诞生起了作用，我对此感到十分遗憾。” 1905爱因斯坦提出了狭义相对论，描述了一种新的时空观，认为时间和空间是相互联系的，且时间的流逝和空间的延拓与物质和运动有关。

四、平行轴定理

四、平行轴定理

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