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2 ． 2.2 　平面与平面平行的判定

2 ． 2.2 　平面与平面平行的判定. 1 ．判定定理：如果一个平面内有两条 直线分别 于另一个平面，那么这两个平面平行．用数学符号表示 . 2 ．推论：如果一个平面内有两条 直线，分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行． 用符号表示为 ， . 3 ． α ∥ β ， a ⊂ α ⇒. 相交. 平行. a ∥ α ， b ∥ α ， a ⊂ β ， b ⊂ β ， a ∩ b ＝ A ⇒ α ∥ β. 相交. a ∥ c ， b ∥ d ， a ∩ b ＝ A ， a ⊂ α ， b ⊂ α. c ⊂ β ， d ⊂ β ⇒ α ∥ β. a ∥ β.

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2 ． 2.2 　平面与平面平行的判定

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Presentation Transcript

  1. 2．2.2　平面与平面平行的判定

  2. 1．判定定理：如果一个平面内有两条直线分别于另一个平面，那么这两个平面平行．用数学符号表示.1．判定定理：如果一个平面内有两条直线分别于另一个平面，那么这两个平面平行．用数学符号表示. • 2．推论：如果一个平面内有两条直线，分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行． • 用符号表示为，. • 3．α∥β，a⊂α⇒. 相交 平行 a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，a∩b＝A⇒α∥β 相交 a∥c，b∥d，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α c⊂β，d⊂β⇒α∥β a∥β

  3. 本节学习重点：平面与平面平行的判定定理． • 本节学习难点：平行关系的相互转化．

  4. 1．由面面平行的定义知，若α∥β，则α与β无公共点，若a⊂α，则a与β无公共点，从而a∥β.这样我们可以由“面面平行”得到“线面平行”．1．由面面平行的定义知，若α∥β，则α与β无公共点，若a⊂α，则a与β无公共点，从而a∥β.这样我们可以由“面面平行”得到“线面平行”． • 应用判定定理时，应特别注意“两相交直线”这个条件，否则如右图α∩β＝a，a1∥a，a2∥a，……，a1、a2……都与α平行，但显然α不与β平行．

  5. 2．判定两平面平行的方法 • (1)依定义采用反证法． • (2)依判定定理通过一平面内有两相交直线与另一平面平行来判定两平面平行(线面平行⇒面面平行)． • 3．用推论：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．

  6. [分析]要证平面EFG∥平面ABC，依据判定定理需在平面EFG内寻找两条相交直线分别与平面ABC平行，考虑已知条件的比例关系可产生平行线，故应从比例关系入手先找线线平行关系．[分析]要证平面EFG∥平面ABC，依据判定定理需在平面EFG内寻找两条相交直线分别与平面ABC平行，考虑已知条件的比例关系可产生平行线，故应从比例关系入手先找线线平行关系．

  7. [解析]在△PAB中， • ∴EF∥AB， • ∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， • ∴EF∥平面ABC，同理FG∥平面ABC， • ∵EF∩FG＝F，且EF、FG⊂平面EFG， • ∴平面EFG∥平面ABC.

  8. 总结评述：欲证“面面平行”，可证“线面平行”；证“线面平行”，可通过证“线线平行”来完成，这是立体几何最常用的化归与转化的思想．总结评述：欲证“面面平行”，可证“线面平行”；证“线面平行”，可通过证“线线平行”来完成，这是立体几何最常用的化归与转化的思想．

  9. ∵E、F分别为AB、BC中点，∴EF∥AC， • ∵A1C1∥AC，∴PQ∥EF；同理QR∥FG， • 又PQ∩QR＝Q，EF∩FG＝F，PQ，QR⊂平面PQR，EF，FG⊂平面EFG，∴平面PQR∥平面EFG. • [点评]应用定理时，一定要把定理的条件找全.

  10. [例2]　已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．[例2]　已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．

  11. [分析1]观察图形容易看出SG∥平面DEF.要证明此结论成立，只须证明SG与平面DEF内的一条直线平行．考虑到题设条件中众多的中点，可应用三角形中位线性质．[分析1]观察图形容易看出SG∥平面DEF.要证明此结论成立，只须证明SG与平面DEF内的一条直线平行．考虑到题设条件中众多的中点，可应用三角形中位线性质． • 观察图形可以看出：连结CG与DE相交于H，连结FH，FH就是适合题意的直线． • 怎样证明SG∥FH？只需证明H是CG的中点．

  12. [证法1]连结CG交DE于点H， • ∵DE是△ABC的中位线， • ∴DE∥AB. • 在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点． • ∴FH是△SCG的中位线， • ∴FH∥SG. • 又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF， • ∴SG∥平面DEF.

  13. [分析2]由题设条件中，D、E、F都是棱的中点，不难得出DE∥AB，DF∥SA，从而平面DEF∥平面SAB，[分析2]由题设条件中，D、E、F都是棱的中点，不难得出DE∥AB，DF∥SA，从而平面DEF∥平面SAB， • 又SG⊂平面SAB，从而得出SG∥平面DEF. • [证法2]∵EF为△SBC的中位线， • ∴EF∥SB. • ∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB， • ∴EF∥平面SAB. • 同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F， • ∴平面SAB∥平面DEF， • 又∵SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.

  14. [点评]要证面面平行，应先证线线或线面平行，已知面面平行也可以得出线面平行，它们之间可以相互转化．[点评]要证面面平行，应先证线线或线面平行，已知面面平行也可以得出线面平行，它们之间可以相互转化．

  15. 一、选择题 • 1．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数 • () • A．有限个　 B．无限个　 • C．没有　 D．没有或无限个 • [答案]D • [解析]两平面相交或平行，故选D.

  16. 二、填空题 • 2．直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a、b的位置关系为______________． • [答案]平行或异面

  17. 三、解答题 • 3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，点Q在CC1上． • 问：点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

  18. [分析]观察图形特征，要得到平面D1BQ∥平面PAO，由条件不难得知PQ∥BD1，自然会想到可能AP∥BQ，什么时候会有AP∥BQ呢，考虑这是一个正方体，P为DD1的中点，应有Q也为CC1的中点，取CC1的中点Q考察获解．[分析]观察图形特征，要得到平面D1BQ∥平面PAO，由条件不难得知PQ∥BD1，自然会想到可能AP∥BQ，什么时候会有AP∥BQ呢，考虑这是一个正方体，P为DD1的中点，应有Q也为CC1的中点，取CC1的中点Q考察获解．

  19. [解析]当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. • 证明如下：在正方体ABCD－A1B1C1D1中连接PQ. • ∵P，Q分别为DD1，CC1的中点， • ∴PQ綊CD，CD綊AB. • ∴PQ綊AB，∴四边形ABQP是平行四边形， • ∴PA∥QB. • 又∵QB⊂平面D1BQ，PA⊄平面D1BQ， • ∴PA∥平面D1BQ. • 同理可得PO∥平面D1BQ. • 又∵PA∩PO＝P， • ∴平面D1BQ∥平面PAO.

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