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STATISIK

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STATISIK

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  1. STATISIK LV Nr.: 1375 SS 2005 12. April 2005

  2. Nichtparametrische Tests • Nichtparametrische Tests (v.a. wenn Annahme der Normalverteilung nicht erfüllt ist). • Rangtests für Lageparameter • Zeichentest • Wilcoxon Vorzeichenrangtest für das Symmetriezentrum einer Verteilung • Verteilungsfreie Lokationsvergleiche • Wilcoxon Rangsummentest oder Mann-Whitney U Test

  3. Rangtests für Lagemarameter Zeichentest (Ordinalskala ausreichend) • Annahme: unabhängige Beobachtungen x1, ..., xn stammen aus einer Grundgesamtheit mit stetiger Verteilungsfunktion F. • Test für den Median ξ0,5 der Grundgesamtheit • Einseitige Hypothesen: • H0: ξ0,5  ξ0 gegen H1: ξ0,5 > ξ0 • H0: ξ0,5  ξ0 gegen H1: ξ0,5 < ξ0 • Zweiseitige Hypothese: • H0: ξ0,5 = ξ0 gegen H1: ξ0,5  ξ0

  4. Rangtests für Lagemarameter • Vorgehensweise: • Transformation der Beobachtungswerte: • xi‘ = xi - ξ0 • Bestimmung von yi • yi = 1 falls xi‘ > 0, yi = 0 falls xi‘ < 0, Bindungen: yi = ½ falls xi‘ = 0

  5. Rangtests für Lagemarameter • Teststatistik: Unter H0 ist T ~ B(n, ½) • Approximation durch N(0,1): • Entscheidung: Vergleich von Z mit kritischen Werten der N(0,1) Verteilung

  6. Rangtests für Lagemarameter • Beispiel für Zeichentest (Hartung, S. 243): • Alter von Frauen bei der Geburt des ersten Kindes. H0: ξ0,5  25 gegen H1: ξ0,5 > 25. Zufällige Auswahl von n = 36 Müttern.

  7. Rangtests für Lagemarameter • Beispiel • Approximation durch N-Vt • Entscheidung (bei α=0,05): Z < 1,645 Lehne H0: ξ0,5  25 nicht ab.

  8. Rangtests für Lagemarameter • Wilcoxon Vorzeichenrangtest für das Symmetriezentrum einer Grundgesamtheit • Basiert auf Rangzahlen der Beobachtungen • Annahme: n unabhängige Beobachtungen (x1, ..., xn) stammen aus einer Grundgesamtheit mit Verteilungsfunktion F • Frage: Ist die Verteilung symmetrisch um einen Wert ξ0, d.h. gilt F(ξ0-y) = 1-F(ξ0+y)?

  9. Rangtests für Lagemarameter

  10. Rangtests für Lagemarameter • Wilcoxon Vorzeichenrangtest für das Symmetriezentrum ξ0 einer Grundgesamtheit • Einseitige Hypothesen: • H0: F symmetrisch um ξ ξ0 • H0: F symmetrisch um ξ ξ0 • Zweiseitige Hypothese: • H0: F symmetrisch um ξ= ξ0

  11. Rangtests für Lagemarameter • Vorgehensweise: • Transformation der Beobachtungswerte: • xi‘ = xi - ξ0 • Ohne Berücksichtigung der Vorzeichen der xi‘ Rangzahlen Ri zuweisen (1 für kleinsten Wert, ..., n für größten Wert). • Den Rangzahlen werden die Vorzeichen der zugehörigen xi‘ Werte zugewiesen => Rangstatistik R̃i

  12. Rangtests für Lagemarameter • Teststatistik: mit ci = 0 falls R̃i < 0 und ci = 1 falls R̃i > 0 • Entscheidung: Vergleich von T+ mit kritischen Werten wn,α des Vorzeichenrang-test von Wilcoxon (z.B. Hartung S. 245)

  13. Rangtests für Lagemarameter • Approximation durch N(0,1) Verteilung: • Teststatistik T* (keine Bindungen): mit E T+ = n(n+1) / 4 und Var T+ = n(n+1)(2n+1) / 24 (Beim Auftreten von Bindungen: T* laut Hartung, S. 246) • Vergleich von T* mit kritischen Werten der N(0,1) Verteilung

  14. Rangtests für Lagemarameter • Beispiel Wilcoxon Vorzeichenrangtest Psychologischer Test, Bewertung durch Punkte xi H0: F symmetrisch um ξ= ξ0 = 61, α = 0,05 • Teststatistik: ci = 0 falls R̃i < 0 und ci = 1 falls R̃i > 0

  15. Rangtests für Lagemarameter • Beispiel: • T+ = 1·10,5+0·(-3)+1·3+0·(-7)+1·7+1·9+0·(-3)+1·5+1·1 +1·10,5+1·7 = 53

  16. Rangtests für Lagemarameter • Beispiel: • Kritische Werte aus Tabelle: wn;α/2 = w11;0,025 = 11 und wn;1-α/2 = w11;0,975 = 54 • Entscheidung: w11;0,025 = 11 < T+ = 53 < 54 = w11;0,975 Daher: lehne H0 nicht ab, F ist symmetrisch um ξ0 = 61.

  17. Vt.-freie Lokationsvergleiche • Wilcoxon Rangsummentest oder Mann-Whitney U Test • Annahme: zwei unabhängige Messreihen, zugrundeliegenden Verteilungsfunktionen sind stetig und vergleichbar (d.h. sie schneiden einander nicht). • Frage: Besteht ein Unterschied in den Verteilungen? Sind z.B. die Werte der einen Messreihe „im Durchschnitt größer“ als die der anderen?

  18. Vt.-freie Lokationsvergleiche

  19. Vt.-freie Lokationsvergleiche • Einseitige Hypothesen: • H0: F1(x)  F2(x) gegen H1: F1(x)  F2(x) und für mind. ein x gilt: F1(x) < F2(x) • H0: F1(x)  F2(x) gegen H1: F1(x)  F2(x)und für mind. ein x gilt: F1(x) > F2(x) • Zweiseitig Hypothese: • H0: F1(x) = F2(x) gegen H1: F1(x)  F2(x)

  20. Vt.-freie Lokationsvergleiche • Vorgehensweise: • Gemeinsame Rangzahlen der beiden Messreihen bilden: r1, ..., rn1, rn1+1, ..., rn1+n2 • Teststatistik: • Kritische Werte des Wilcoxon-Rangsummen-Tests aus Tabelle (siehe z.B. Hartung 518)

  21. Vt.-freie Lokationsvergleiche • Entscheidung: • H0: F1(x)  F2(x), H0 verwerfen falls Wn1,n2 > Wn1;n2;1-α • H0: F1(x)  F2(x), H0 verwerfen falls Wn1,n2 < Wn1;n2;α • Zweiseitig Hypothese: • H0: F1(x) = F2(x) H0 verwerfen falls Wn1,n2 < Wn1;n2;α/2 oder Wn1,n2 > Wn1;n2;1-α/2

  22. Vt.-freie Lokationsvergleiche • Beispiel: Behandlung von Pilzen mit Vitamin B1. Führt diese Behandlung zu (signifikant) höherem Gewicht?

  23. Vt.-freie Lokationsvergleiche • Beispiel: H0: FB(x) ≥ FK(x) bzw. XB ist stochastisch kleiner als XK, α = 0,05. • Teststatistik: Summe der Ranzahlen der ersten Messreihe (Behandlungsgruppe): Wn1,n2 = 220. • Kritischer Wert: wn1;n2;0,95 = 191 • Entscheidung: 220 > 191 => H0 ablehnen. D.h. die Behandlung führt zu einem signifikant höheren Gewicht.

  24. Varianzanalyse Varianzanalyse od. ANOVA • Frage: Hat ein Faktor Einfluss auf ein Merkmal? • Faktor: Nominal skalierte Größe, Faktorausprägungen = Ebenen oder Stufen • Merkmal (durch Faktor beeinflusst): Metrische Größe

  25. Varianzanalyse Varianzanalyse • Einfache Varianzanalyse: Ein Faktor • Zweifache Varianzanalyse: Zwei Faktoren • …

  26. Varianzanalyse • Test, für arithmetische Mittel von zwei oder mehr Grundgesamtheiten. • Test, ob die Differenz der arithmetischen Mittel von zwei oder mehr als zwei Grundgesamtheiten signifikant von Null verschieden ist.

  27. Varianzanalyse • Modellannahmen der Varinazanalyse: • Unabhängigkeit der Stichproben (i=1,…,r) • Normalverteilung der Merkmale mit µi und σi² • Varianzhomogenität (Homoskedastizität), d.h. σi² = σ²

  28. Varianzanalyse • Nullhypothese: Alle Gruppen haben den gleichen Mittelwert µ H0: µ1 = µ2 = … = µ • Alternativhypothese: Nicht alle Gruppen haben den gleichen Mittelwert µ H1: mindestens zwei µi sind ungleich

  29. Varianzanalyse • Frage: Beeinflusst der Faktor (nominal-skalierte Größe) das Merkmal (metrisch-skalierte Größe)? • Unter H0: µi = µ für alle i (i = 1,…,r Faktorstufen). • Abweichung, die dem Faktor zuzuschreiben sind: αi = µi - µ (i = 1,…,r) heißen wahre Effekte auf der i-ten Ebene.

  30. Varianzanalyse • Modell der einfachen Varianzanalyse: • xij = µ + αi + eij • µ … Gesamtmittelwert • αi … Effekt auf der i-ten Ebene • eij … Versuchsfehler = die Abweichung eines zufällig aus der i-ten Ebene des Faktors herausgegriffenen Beobachtungswertes xik vom Mittelwert µi dieser Ebene. eij = xij – µi = xij – (µ + αi)