第 1 章直流电路分析基础

第1章直流电路分析基础

第一章直流电路分析基础 学习要点： 1.物理量的定义和参考方向的概念。 2. KCL和KVL的概念和支路电流法的解题方法 3.，用叠加定理，节点电位和戴维南定理解题的异同点，注意通过一题多解的练习来体会用不同的方法求解同一个问题的思路和技巧。

1.1 引言 1.1.1 电路电子学基础课程研究的问题电路电子学基础课程研究的内容是：处理各类信号的电子系统的基本组成和工作原理。信号是信息的载体，描述信号的基本方法是写出它的数学表达式，此表达式通常是时间的函数，根据此函数绘制的图像称为信号的波形。按照时间函数取值的连续性与离散性可将信号分为连续时间信号和离散时间信号。

连续时间信号的幅度变化可以是连续的，也可以是不连续的。在电子电路中，将幅度的变化是连续的连续时间信号称为模拟信号；将幅度的变化是离散的离散时间信号称为数字信号。连续时间信号的幅度变化可以是连续的，也可以是不连续的。在电子电路中，将幅度的变化是连续的连续时间信号称为模拟信号；将幅度的变化是离散的离散时间信号称为数字信号。

1．1．2 电路和电路模型 • 电路是电流流通的路径。电路通常由电源、负载和中间环节三部分组成。 • 电源是指电路中可将其他形式的能量转换成电能，并向电路提供能量的那些设备，如干电池，发电机等。电源通常被分成两类，一类为电压源（为电路提供电压的器件），另一类为电流源（为电路提供电流的器件）。在课程中除了有电压源和电流源之外，还有受控电压源（输出电压受外界输入信号控制的电压源）和受控电流源（输出电流受外界输入信号控制的电流源。

负载是指电路中能将电能转换为其他形式的能量并对外作功的用电器，如电灯、电动机、电热器等，负载在电路中通常表示成电阻，用字母R来表示。负载是指电路中能将电能转换为其他形式的能量并对外作功的用电器，如电灯、电动机、电热器等，负载在电路中通常表示成电阻，用字母R来表示。中间环节是指将电源与负载连接成闭合电路的导线、开关、保护设备，测量仪表等。 • 搭建各种电路都有一定的目的但它们的功能大致可概括为两大类： • 一是作为能量的传输或转换，如，照明和动力电路等； • 二是作为信号的传递和处理，如，计算机和通信电路等。

交流电流强度的表达式为 电流强度的单位为安培，简称安（A）。大型电力变压器中的电流可达几百到上千安培，而晶体管电路中的电流往往只有千分之几安培，对于很小的电流可用毫安（mA）或微安（μA）来表示 • 1．1．3 描述电路工作状态的几个物理量 • 1、电流 • 电荷的定向运动形成电流，习惯上将正电荷运动的方向规定为电流的流动方向。电流大小称为电流强度，简称电流，用英语字母I来表示。 • 电流强度的定义为：单位时间内通过导体横截面的电量。如果任一瞬间，通过导体横截面的电量是大小和方向均不随时间变化的Q，则电流强度I 的表达式为

电场中a，b两点间电压Uab的定义为：Uab在数值上等于把单位正电荷从a点移到b点时，电场力所作的功。电压的定义式为电场中a，b两点间电压Uab的定义为：Uab在数值上等于把单位正电荷从a点移到b点时，电场力所作的功。电压的定义式为 • 电压也常写成电位差的形式 • 2、电压在物理学课程中已知，电荷在电场中移动时，电场力将对电荷做功。描述电场力对电荷做功能力大小的物理量是电压。 • 式中的Ua和Ub分别表示电场中a、b两点对零电压点的电压。

在课程中，通常将处在高电压的a端用“+”号来表示，而用“-”来表示处在低电压的b端，电压的方向是由高电压点指向低电压点。即，由a指向b。在课程中，通常将处在高电压的a端用“+”号来表示，而用“-”来表示处在低电压的b端，电压的方向是由高电压点指向低电压点。即，由a指向b。 • 电动势的方向由低指向高。随时间变化的电压表达式为 3.电动势表征电源特征的物理量是电动势E 注意区分电压和电动势概念的异同点 • 在国际单位制中电压的单位为伏特（V），简称伏。1伏电压在数值上等于将1库仑的正电荷从a点移到b点，电场力作了1焦耳的功。

4、电位 • 电位又称电势，它是描述电场中某一点与零电位参考点之间电位差的物理量。 • 在电子电路课程中，常用电位的概念来分析电路中元件的工作状态。应用电位的概念还可以简化电路图的画法，便于分析计算。

5、电荷 • 电荷是物质的一种属性。它描述了带电荷的物体具有吸引轻小物体的性质。电荷在电路分析的课程中用符号Q来表示。某带电体在t时刻所带的电荷量q（t）为 • 电路中用来储存电荷的容器称为电容器。电容器由电介质隔开的两金属电极片组成，电容器在电路中常用的符号是 “ ”。表征电容器性质的物理量称为电容器的电容，用字母C来表示。电容C的定义为：电容器上所储存的电荷量Q与两极板的电位差Uab之比，即电容的单位为法拉（F），常用的为微法拉（μF）和微微法拉（pF）。电容器在电路中是一个储能元件，电容器中所储存的电能为

6、电感 • 将导线绕制成N匝螺线管，就构成一个电感线圈。没有铁磁物质的线圈称为线性电感线圈，线性电感线圈通常用符号为 “ ” 。 • 当线圈中通有电流I时，线圈内部就会产生磁通Ф。对于N匝线圈，乘积NФ称为线圈的磁通匝链数，简称磁链，用字母Ψ来表示。实验表明线性电感线圈的磁链Ψ与流过线圈中的电流I成正比的关系，其比值为 • 电感线圈在电路中也是一个储能元件，电感线圈内所储存的电能为 • 式中的L称为自感系数，简称电感。它是表征线圈性质的物理量，表示单位电流在线圈中所产生磁链数的大小。 • 电感的单位用亨利（H），常用的是毫亨（mH），微亨（μH）。

1．1．4 电流、电压和电动势的参考方向 • 中学物理在分析和计算电路问题的时候，电流、电压和电动势的方向是统一约定的。即，电流I在外电路中从电源的正极出发，流向负极；在内电路中从电源的负极出发流向正极。电压U的方向是从电源的正极指向负极，电动势E的方向是从电源的负极指向正极。这种约定的方向与电路中电流、电压和电动势的实际方向相一致，在分析、计算简单电路（单电源电路）的问题时是可行的，但在分析、计算复杂电路问题时却有困难。 • 在分析和计算复杂电路问题的时候，电路中电流和电压的实际方向往往事先无法确定，在电流、电压的方向无法确定的情况下，没有办法对电路进行分析和计算。为了解决这一问题，引入电流、电压和电动势参考方向的概念。 • 电流、电压和电动势的参考方向指的是：在分析和计算复杂电路的问题之前，为了分析和计算的需要而假设的电流、电压和电动势的方向，这些方向通常用箭头来表示。

在图中I1、I2和I3旁边的箭头表示电流I1、I2和I3的参考方向，U1、U2和U3旁边的箭头表示电阻R1、R2和R3两端电压的参考方向，E1和E2表示电源1和2电动势的参考方向，Us1和Us2上下的正、负号表示电压源输出电压的参考方向参考方向的假设是任意的，任意假设的参考方向与电流、电压和电动势的实际方向之间存在着差别，这种差别体现在，在某些电路中参考方向与实际的方向相一致，而在另一些电路中，参考方向与实际的方向则相反，但不论属于那种情况，都不会影响电路分析和计算结论的正确性。这是因为按参考方向求解得出的电压和电流的值有大于零和小于零两种可能。大于零，为正值，说明该参考方向与实际的方向相一致；小于零，为负值，说明该参考方向与实际的方向相反。顺便指出，在进行电路分析和计算的时候，在没有标明电流或电压参考方向的前提下，就讨论电流或电压的正、负值是没有意义的。

电压的参考方向除了用箭头表示之外，还可以用正、负号或下标ab等来表示。电压的参考方向除了用箭头表示之外，还可以用正、负号或下标ab等来表示。 • 图中的符号Uab、Ubc不仅表示电压Uab、Ubc值的大小，也表示该电压的参考方向是从a指向b，从b指向c。 • 在用电位表示电路中某一点的电压值时，该电压的参考方向是确定的，都是从该点指向零电位点。 • 参考方向的假设是任意的，在电路分析的计算中，将两个相同方向的参考方向称为关联参考方向；反之称为非关联参考方向。 • 虽然参考方向的假设是任意的，但为了分析计算的方便，通常将同一个电路的无源器件（如电阻元件等）上电流和电压的参考方向设定成相关联的，而将电源电动势和电源两端电压的参考方向设定成非关联的。

对于一段仅含电阻R的电路，欧姆定律表示流过电阻R的电流I与电阻两端的电压U成正比的关系，其数学表达式为对于一段仅含电阻R的电路，欧姆定律表示流过电阻R的电流I与电阻两端的电压U成正比的关系，其数学表达式为或写成 • 注意：上两式成立的条件是电流和电压的参考方向为相关联。当电压和电流的参考方向为非关联时，上式的左边必须加上一个负号。即 1．1．5欧姆定律欧姆定律是电路的基本定律之一，它说明流过电阻的电流与该电阻两端电压之间的关系，反映了电阻元件的特性。

（a） • 因为Uab为正，说明 Uab的实际方向和参考方向相同，从a指向b。（b） • 因为Uab为负，说明 Uab的实际方向和参考方向相反，从b指向a （c）（d） • 因为Uab为负，说明 Uab的实际方向和参考方向相反，从b指向a。 • 因为Uab为正，说明 Uab的实际方向和参考方向相同，a指向b 。 • 【例1-1】求图1-8所示四段电路电压Uab的大小，并说明电压的实际方向，已知电阻R为5Ω。 • 【解】图（a）和图（b）电路中电流和电压的参考方向为相关联，根据欧姆定律可得 • 图（c）和图（d）电路中电流和电压的参考方向为非关联，欧姆定律的形式为U=-IR，根据欧姆定律可得

根据电压的定义式，正电荷Q在电场力作用下，从a点通过负载RL移动到b点的过程中，电场力所做的功W为根据电压的定义式，正电荷Q在电场力作用下，从a点通过负载RL移动到b点的过程中，电场力所做的功W为 • 功W就是负载在时间t内所消耗的电场能量。当负载是纯电阻器件时，可将欧姆定律代入可得纯电阻RL所消耗的电场能量 • 1．1．6 电功率、电源和负载的判断 • 电流在电路中流动，用电器要吸收电场的能量，并将其转换成其他形式的能量，研究电路能量转换的问题，也是对电路进行分析和计算的一个重要内容。 • 在图所示的电路中，电源电动势E为电路提供电能，在忽略电源内阻的情况下，负载电阻RL上消耗的电能可根据电压的定义式来计算。

在国际单位制中，电能的单位用焦耳（J）来表示。单位时间内负载所吸收的电能称为电功率，简称功率，用字母P来表示，在国际单位制中，功率的单位是瓦特（P）。功率P的表达式为在国际单位制中，电能的单位用焦耳（J）来表示。单位时间内负载所吸收的电能称为电功率，简称功率，用字母P来表示，在国际单位制中，功率的单位是瓦特（P）。功率P的表达式为对于线性电阻电路，功率P的表达式为 • 注意：当电流和电压的参考方向为相关联时，式P=IU对任何器件均适用，而后面两式仅适用于线性电阻电路。当电流和电压的参考方向为非关联时，式P=IU的右边需加一负号。即

当电路的电流和电压均是时间的函数时，功率也是时间的函数，在电流和电压的参考方向相关联时，计算功率的表达式为当电路的电流和电压均是时间的函数时，功率也是时间的函数，在电流和电压的参考方向相关联时，计算功率的表达式为 • 【例1-2】图1-10电路中的A、B、C为三个不同性质的电子器件，各器件上电流、电压参考方向的设定如图所示。已知I1=2A，I2= I3= -2A，U1=20V，U2=5V，U3= -15V，计算各器件的功率，并根据计算结果判断各器件的性质。【解】因为器件A、B上电流和电压的参考方向为非关联，而器件C上电流和电压的参考方向为关联，根据式1-19和式1-17可得 • 根据PA小于零的计算结果，可得器件A的性质是电源；根据PB和PC大于零的计算结果，可得器件B和器件C的性质是负载。

1．2 电器设备的额定值和电路的三种工作状态 1．2．1电器设备的额定值电器设备的额定值是由制造厂家根据设计、材料及制造工艺等因素给出的各项性能指标和技术数据。电器设备的额定值用字母加下标N来表示。电器设备的额定值包括额定功率PN、额定电压UN、额定电流IN、额定温升等。铭牌上只给出主要的额定值，其它的可根据公式来计算。例如一个标有1W、400Ω的电阻，表示该电阻的阻值为400Ω，额定功率为lW，由P=I2R的关系，可求得它的额定电流为0.05A。 • 额定值是规定设备运行时所允许的上限值。超过额定值运行，设备将会毁坏或缩短使用寿命。例如，当流过上述电阻中的电流值超过0.05A时，电阻就会因电流太大而过热，严重时会损坏该电阻。在低于额定值下使用设备也是不可取的，如220V、100W的电烙铁，在低于220V电压下使用时，不能充分发挥电烙铁的作用，既不经济也不合理。

1．2．2电路的三种工作状态 • 当电源与负载通过中间环节连接成电路后，电路可能处于如图所示的通路、开路或短路的工作状态下。 • 图（a）表示通路的状态，（b）表示开路的状态，（c）表示短路的状态。下面以该电路为例，分别讨论在三种工作状态下，电路中电流和电压的关系。

1．通路 • 当开关K闭合时，电源Ｕs与负载RL接通，电路处于通路的状态。电路中的电流I为电源的输出电流 • 式中的R0是电源的内电阻，通常R0很小。电源的输出电压U为负载电阻RL两端的电压UL，根据欧姆定律可得电源输出电压U的表达式为 • 由上式可知，在Ｕs保持不变的情况下，R0越大，电源输出的电压越小，这就是新、旧电池输出电压不同的原因。

处在开路状态下的电路，负载与电源没有接通，电路中的电流为零，负载电阻两端的电压UL也为零，电源输出电压U在数值上等于电压源的电压值Ｕs，U又称为电路的开路电压。处于开路状态下的电路，其电流和电压的关系为处在开路状态下的电路，负载与电源没有接通，电路中的电流为零，负载电阻两端的电压UL也为零，电源输出电压U在数值上等于电压源的电压值Ｕs，U又称为电路的开路电压。处于开路状态下的电路，其电流和电压的关系为 • 处在短路工作状态下的电路，由于外电路负载为零，电源输出电压UL也为零，电源输出电流IS称为短路电流，短路电流很大，会烧坏电源。 • 2.开路 • 当开关K断开时，电源未与负载接通，电路处于开路的状态。 • 3、短路 • 当电源两端a、b处，或者在负载电阻两端直接相碰，都会造成电源短路，使电路处在短路的工作状态下。

【例1-3】 一热水器额定功率为800W，额定电压为220V，求该热水器的额定电流和电阻。若将该热水器接在电压为110V的电路上，求该热水器的输出功率。【解】在电流和电压的参考方向相关联时用MATLAB编程计算的程序为 %例1.3的计算程序 PN=800;UN=220;U=110; %输入参数 IN=PN/UN %计算IN的公式 R=UN^2/PN %计算R的公式 P=U^2/R, %计算P的公式该程序运行的结果为 IN =3.6364；R =60.5000；P =200。 • 计算的结果说明用电器在低电压下工作不能正常发挥用电器的功率。

1．3 基尔霍夫定律和支路电流法 基尔霍夫定律是分析电路的基本定律之一。基尔霍夫定律阐述了在电路的结构确定之后，电路中汇于节点的电流、闭合回路中电压之间的关系。基尔霍夫定律包括两个内容。一是基尔霍夫电流定律(缩写为KCL)，二是基尔霍夫电压定律(缩写为KVL)。

1．3．1名词术语 • 1，支路 • 二端元件或若干个二端元件串联组成不分岔的一段电路称为支路。支路中的元件流过同一个电流。含有电源元件的支路称为有源支路，不含电源元件的支路称为无源支路。在电路图中，有abc、ac和adc三条支路。其中ac为无源支路，abc和adc为有源支路。 2．节点电路中三条或三条以上支路的联接点称为节点。在电路图中，a和c点是三条支路的联接点，所以，a和c点是节点。 • 3，回路 • 电路中任何一个闭合的路径称为回路。在电路图中，有abca、abcda和acda三个回路。 4，网孔内部不含其它支路的回路，称为网孔。在电路图中，回路abca和acda是网孔

KCL指出：任一瞬间，流入一个节点的电流等于流出该节点的电流。KCL指出：任一瞬间，流入一个节点的电流等于流出该节点的电流。 • 在规定流入节点的电流为正，流出节点的电流为负的前提下，也可将KCL叙述成：任一瞬间，流入一个节点的电流代数和为零。利用KCL可确定图中流入节点a的电流关系为 + - = 或写成 I I I 0 1 2 3 1．3．2基尔霍夫电流定律(KCL) 注意：由于KCL方程中电流的正、负号是由电流的流向来确定的，所以，在列KCL方程时应首先在电路图上设定电流的参考方向，再根据设定的参考方向来列方程。

KCL不仅适用于电路中的节点，也可推广应用到如图所示虚线框所围的封闭面。在这种情况下，KCL指出：任一瞬间，流入一个封闭面的电流等于流出该封闭面的电流。即，KCL不仅适用于电路中的节点，也可推广应用到如图所示虚线框所围的封闭面。在这种情况下，KCL指出：任一瞬间，流入一个封闭面的电流等于流出该封闭面的电流。即，在规定流入虚线框的电流为正，流出为负的情况下，应用KCL可得由KCL可知，任何瞬间，在电路任何地点，均不会发生电荷堆积或减少的现象，这种现象称为电流的连续性原理，体现了物理学中电荷守恒定律的内容。

KVL指出：任一瞬间，沿任何闭合回路环绕一圈，各段电压的代数和为零。即KVL指出：任一瞬间，沿任何闭合回路环绕一圈，各段电压的代数和为零。即 1．3．3 基尔霍夫电压定律(KVL) 在应用KVL列方程之前，同样必须先设定各支路电流及元件两端电压的参考方向，然后，再选定环绕方向。当电压的参考方向与环绕方向相一致时，该电压前取正号；当电压的参考方向与环绕方向相反时，该电压前取负号。

设电路中的某个回路如图所示，电流、电压的参考方向和环绕方向（虚线）在图中已标出。按图中设定的方向，根据KVL可列出设电路中的某个回路如图所示，电流、电压的参考方向和环绕方向（虚线）在图中已标出。按图中设定的方向，根据KVL可列出将欧姆定律代入上式得应用KVL列方程时应注意区分电压和电动势的概念，KVL说的是电压的代数和为零，与电动势无关，环绕时遇到电源的电动势，应根据电动势和端电压的关系，将电动势转换成端电压。如，上式中US1和US2分别为E1和E2电源的端电压，列KVL方程时，我们用US1和US2，而不用E1和E2。

2、根据KCL对节点a和c分别列节点电流方程为 节点a 节点c 1．3．4 支路电流法支路电流法是以支路电流为未知量，根据基尔霍夫定律列方程式，然后求出各支路电流的分析法。电路共有两个节点（a、c），三条支路（abc、ac、adc），三个回路（abca、adca、abcda），两个网孔（abca、adca），应用支路电流法可以很方便的求出三条支路的电流I1，I2和I3。解题的步骤是： 1、先设三条支路的电流分别为I1、I2和I3，并在图中标出三条支路电流的参考方向。在分析有n条支路的电路问题时，应设n个支路电流为未知量。两个方程是一样的。说明两个节点，只能列一个独立的节点电流方程。当电路有三个节点时，可以证明，独立的节点电流方程只有两个；对于有N个节点的电路，独立的节点电流方程只有N-1个，另一个可由这N-1个方程联立求得。

即对acba回路，设环绕的方向也是acba，KVL的方程式为 3、在电路中标出各元件两端电压的参考方向，选择合适的回路，设定环绕方向，列KVL方程式。电路中有几个回路，就可以列几个KVL方程式。注意：电路中，R1电阻上电流和电压的参考方向设为非关联，在写欧姆定律时，IR表达式前应加负号（上式括号内的乘积项）。为了解题的方便，一般不提倡将电阻R上电流和电压的参考方向设置成这种形式。

对adca回路，设环绕方向也是adca，KVL方程式为 即对adcba回路，设环绕方向也是adcba，KVL方程式为即因为，最后一式可由前面的式子相加求得，所以，它也不是独立的方程。一般在平面电路内，可选网孔作为回路，列网孔KVL方程，以保证方程的独立性。所谓平面电路，指的是将电路画成一个平面图时，不出现任何交叉支路的电路。当电路的支路数为M，节点数为N时，应用KVL可列出独立的方程数为L=M-（N-1）

【例1-4】 设如图所示的电路中R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，US1=3V，US2=1V。求：各支路电流I1、I2、I3和各电阻两端的电压U1、U2、U3。【解】根据图中所标的参考方向，选节点a和回路acba、adca列方程，利用基尔霍夫定律可得 %求解例1-4的程序 R1=1;R2=2;R3=3;Us1=3;Us2=1; %定义电路的参数 a=[1,1,-1;R1,0,R3;0,R2,R3]; %定义矩阵a b=[0;Us1;Us2]; %定义矩阵b c=a\b %解矩阵 c = 1.0909 -0.4545 0.6364 上式说明I1=1.0909，I2=-0.4545，I3=0.6364。解的结果是I1和I3为正，说明这两个量的实际方向和参考方向相一致，I2为负，说明这个量的实际方向和参考方向相反。

【例1-5】 求如图所示电路中电阻R3上的电流I3。已知R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，US1=5V，US=5I1。该电路是将上个例题电路中的电压源Us2变换成受控电压源Us=5I1而得到,根据图中所标的参考方向，选节点a和回路acba、adca来列方程，利用基尔霍夫定律可得运行的结果为 c = 0.9615 -0.3846 1.3462 %求解例1-5的程序 R1=1;R2=2;R3=3;Us1=5;A=5; %定义电路的参数 a=[1,-1,-1;R1,0,R3;A,R2,-R3]; %定义矩阵a b=[0;Us1;0]; %定义矩阵b c=a\b %解矩阵

图中的V2电源是流控电压源，万用表面板上的数据与理论计算的结果相吻合图中的V2电源是流控电压源，万用表面板上的数据与理论计算的结果相吻合

1．4 电阻电路的等效变换法 1．4．1电阻的串联串联分压公式串联电路的特点有三个： 1.串联电路的电流I处处相等。I=I1=I2 2.串联电路总电阻等于各分电阻的和。R=R1+R2 3.串联电路总电压等于各分电压的和。U=U1+U2

2.并联电路总电阻等于各分电阻倒数和的倒数 引入物理量电导(电阻的倒数)，用符号G来表示，可以将上面的公式写成与串联电路相类似的形式，并联分流公式 1．4．2 电阻的并联并联电路的特点有三个 1.并联电路的电压U处处相等;U=U1=U2 3.并联电路的总电流等于各分电流的和。I=I1+I2

1．4．3电阻的混联 电阻串并联的组合为电阻混联。处理混联电路的方法是：利用电阻串联或并联的公式对电路进行等效变换，将复杂的混联电路转化成简单的电路。【例1-6】求如图所示电路的等效电阻Rab，已知图中各电阻的阻值均为20Ω。【解】解决此类问题的关键是：将电阻串、并联关系不清晰的电路图整理成串、并联关系清晰的电路。整理的方法是：先确定电路的节点数，并在每个节点上添加如图所示的辅助字母，以标记各节点之间的连接关系。具体的做法是：先将a、b两点画成上下平行的两条线，然后依次从a线出发，通过各电阻走到b线，并将所经过的各个电阻画在两线中间，走的过程中如遇到另外的节点，将节点画在图上，并在旁边标上刚才所添加的辅助字母，（如，从a线出发，经电阻R2到节点c，从节点c出发，再经过电阻R5到b线），使各电阻串并联的关系变清晰。 Rab=7.5Ω

1．4．4 电阻Y形连接和Δ连接的等效变换 如图所示的电路是一种具有桥形结构的电路，它是测量和传感器中常用的电桥电路。该电路中的电阻既非简单的串联，又非简单的并联，不经处理没有办法利用前面所介绍的方法，对电路进行等效变换的化简处理。但可以利用电路中电阻连接的对称关系进行等效变换，而不改变电路的外特性。电阻连接的对称关系有Y形连接（或称星形连接）和Δ形连接（或称三角形连接）。图中的电阻R1、R3和R5构成一个Y形连接电路，电阻R1、R2和R5构成一个Δ形连接电路。

两电路实现等效变换必需满足的条件是：变换后两电路的外特性要保持不变。两电路的外特性是：端子电压和流入端子的电流。两电路实现等效变换必需满足的条件是：变换后两电路的外特性要保持不变。两电路的外特性是：端子电压和流入端子的电流。根据如图所示的电路可以看出Y形连接和Δ形连接的特点是：在Y形连接中，各个电阻都有一端接在一个公共的端点上，另一端引出三个端子与外界连接；在Δ形连接中，各个电阻分别接在3个端子的每两个之间。为了区别Y形连接和Δ形连接中的电阻，我们规定Y形连接中与端子1、2、3相连的电阻分别用R1、R2和R3来表示，Δ形连接中跨接在端子1、2、3上的电阻分别用R12、R23和R31来表示；流入Y形连接1、2、3端口的电流分别用I1、I2和I3来表示，流入Δ形连接1、2、3端口上的电流分别用I1’、I2’和I3’来表示。在两电路相同字母的端子上加相同的电压，即可实现两电路端子电压保持不变的条件，流入端子电流保持不变的方程式为

设各电流的参考方向如图所示，利用基尔霍夫定律可列出在两种连接方式下，各个电流，电压相互关系的方程式。对于Y形连接有设各电流的参考方向如图所示，利用基尔霍夫定律可列出在两种连接方式下，各个电流，电压相互关系的方程式。对于Y形连接有该矩阵用MATLAB语言求解的程序为 syms R1 R2 R3 U12 U23 a=sym('[1,1,1;R1,-R2,0;0,R2,-R3]'); b=sym('[0;U12;U23]'); c=inv(a)*b; simple(c) 运行结果ans = (U12*R3+U12*R2+R2*U23)/(R2*R3+R1*R3+R1*R2) -(U12*R3-R1*U23)/(R2*R3+R1*R3+R1*R2) -(U12*R2+R2*U23+R1*U23)/(R2*R3+R1*R3+R1*R2)

将U12+U23=U13=-U31代入上述解的结果可得 对于Δ形连接有

两式相等的条件是：各个端子电压前的系数要相等。即U12、U23和U31前的系数要相等，比较系数得，Y形连接变Δ形连接电阻等效关系式为两式相等的条件是：各个端子电压前的系数要相等。即U12、U23和U31前的系数要相等，比较系数得，Y形连接变Δ形连接电阻等效关系式为将左边的三式相加后通分可得，Δ形连接变Y形连接的电阻等效关系式为

+ + R R R R R R = 1 2 2 3 3 1 R 12 R 3 + + R R R R R R = 1 2 2 3 3 1 R 23 R 1 + + R R R R R R = 1 2 2 3 3 1 R 31 R 2 为了便于记忆，以上的变换公式可归纳为：

转换以后的电阻表示成 如图所示的【例1-7】求如图所示电路的总电阻Rab。已知R1=R2=R3=2Ω，R4=R5=R6=1Ω。【解】：因为节点1、2、3和2、3、4内部的电路为Δ形连接，而节点1、2、4和1、3、4内部的电路为Y形连接，分别以节点3和2为公共点。任意选择一部分电路进行变换即可实现电路的化简。先将节点1、2、3内部的Δ形连接电路转换成Y形连接，为了计算等效阻的方便，将参与变换电阻的标号写成标准的形式。

根据图（b）的电路图解得 对照原电路可知；R12=R31=R3=2Ω，R4=R23=R6=1Ω。根据公式得

将参与变换的电阻标号写成标准的形式，并用 与原电阻的标号相区别，如图1-27（a）所示。转换以后的电阻用来表示，转换后的电路如图1-27（b）所示。对照原电路可知；根据图1-27（b）的电路图解得

第 1 章 直流电路分析基础