第三章 应变状态

1. 第三章 应变状态 物体变形 位移与应变的基本关系－几何方程 应变状态分析 位移的单值连续性质

2. 目录 §3.1 变形与应变概念 §3.2 主应变与主应变方向 §3.3 应变协调方程

3. 由于外部因素 物体内部各点空间位置发生变化 位移形式 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。 §3.1变形与应变概念 ——载荷或温度变化 位移——

4. §3.1 变形2 位移u，v，w是单值连续函数 进一步分析位移函数具有连续的三阶导数 一点的变形通过微分六面体单元描述 微分单元体的变形，分为两部分讨论 正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变

5. §3.1 变形3 几何方程 位移分量和应变分量之间的关系 几何方程又称柯西方程 微分线段伸长——正应变大于零 微分线段夹角缩小——切应变分量大于零

6. 几何方程——位移导数表示的应变 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形 原因是没有考虑单元体位置的改变 ——单元体的刚体转动 刚性位移可以分解为平动与转动 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产生变形。 §3.1 变形4

7. §3.1 变形5 转动矢量描述微分单元体的刚性转动 转动分量 位移增量是由两部分组成的 刚体转动位移增量 变形位移增量 微分单元体的刚性转动与协调相关

8. 变形通过应变描述 坐标变换时，应变分量是随之坐标改变而变化。 应变分量的转轴公式 应变张量 §3.2主应变与主应变方向 应变状态——

9. §3.2 主应变2 • 应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 • 坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。 • 主应变与应变主轴 • 切应变为0的方向 • 应变主轴方向的正应变 应变主轴—— 主应变——

10. §3.2 主应变3 主应变确定 ——应变主轴方向变形 l，m，n齐次线性方程组 非零解的条件为方程系数行列式的值为零 应变状态特征方程 展开

11. 应变不变量 §3.2 主应变4 第一，第二和第三应变不变量 • 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐标变换不影响应变状态是确定的。 • 应变不变量就是应变状态性质的表现

12. §3.2 主应变5 • 应力张量——应变张量 • 应力不变量——应变不变量 • 主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性类似 • 各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的 公式比较

13. 体积应变 ——弹性体一点体积的改变量 引入体积应变有助于 简化公式 解释 §3.2 主应变6

14. 数学意义： 几何方程——6个应变分量通过3个位移分量描述 力学意义——变形连续 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束 §3.3应变协调方程

15. §3.3 应变协调2 • 例3-1 设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。 • 解： • 显然该应变分量没有对应的位移。 • 要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。

16. §3.3 应变协调3 要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。 从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和x求二阶偏导数，然后相加可得 • 将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数 • 前后两式相加并减去中间一式，则

17. §3.3 应变协调4 • 将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数 • 前后两式相加并减去中间一式，则 对x求一阶偏导数，则 分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式

18. §3.3 应变协调5 • 应变协调方程 • ——圣维南 （Saint Venant）方程

19. §3.3 应变协调6 • 变形协调方程的数学意义 • 使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。 • 变形协调方程的物理意义 • 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 • 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。

20. §3.3 应变协调7 • 证明——应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。 • 变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。 • 目标——如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。 • 利用位移和转动分量的全微分，则 轮换x , y, z，可得du，dv和dwy，dwz

21. §3.3 应变协调8 如通过积分，计算出 保证单值连续的条件是积分与积分路径无关 是单值连续的，则问题可证。

22. §3.3 应变协调9 根据格林公式 回代

23. §3.3 应变协调10 回代到第四式 wx单值连续的必要与充分条件是 • 同理讨论wy，wz的单值连续条件，可得其它4式——变形协调方程。 • 由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件。

24. §3.3 应变协调11 • 变形协调方程—— • 单连通域位移单值连续的必要和充分条件 • 多连通域位移单值连续的必要条件 • 充分条件是位移的连续补充条件

25. §3.3 应变协调12 位移边界条件 应变满足变形协调方程，保证弹性体内部的变形单值连续。 边界变形协调要求边界位移满足位移边界条件。 位移边界条件——临近表面的位移或和变形与已知边界位移或变形相等。

26. §3.3 应变协调13 • 如果物体表面的位移已知，称为位移边界 • 位移边界用Su表示。 • 如果物体表面的位移 • 已知 • 边界条件为 • 称为位移边界条件

27. §3.3 应变协调14 • 设物体表面为S • 位移已知边界Su • 面力已知边界Ss 则 S＝Su＋Ss • 弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边界构成的。 • 任意一段边界，可以是面力边界，或者位移边界。 • 面力边界和位移边界在一定条件下是可以转换的，例如静定问题。

28. §3.3 应变协调15 • 某些问题，边界部分位移已知，另一部分面力已知，这种边界条件称为混合边界条件。 不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，弹性体任意边界的边界条件数目不能超过或者少于3个，必须等于3个。